1.2　恒定電場的基本分析

電荷的定向運(yùn)動形成電流，電流在其周圍空間產(chǎn)生電場。恒定電流生成的電場稱為恒定電場。

1.2.1　電流與電流密度

電流用i表示，它的定義如下：

式中，Δq是Δt時間內(nèi)流過橫截面S的電荷量，其單位為安（A）。若空間電荷分布不隨時間變化，此時的電流稱為恒定電流，用I表示。為了描述電流在空間的分布狀況，引入電流密度的概念。

1.體電流密度J

電荷在一定的體積空間內(nèi)流動形成的電流稱為體電流，用體電流密度J來描述其在空間的分布。如圖1.9所示，設(shè)點(diǎn)r處正電荷運(yùn)動方向?yàn)閑v，垂直于ev方向取一面元ΔS，若流過ΔS的電流為ΔI，則定義

為點(diǎn)r處的體電流密度，單位為安/米2（A/m2）。它表示點(diǎn)r處通過垂直于電荷運(yùn)動方向的單位面積上的電流大小和方向。

若正電荷運(yùn)動速度為v，面元ΔS垂直于v，電荷體密度為ρ，則Δt時間內(nèi)通過ΔS的電荷流過的距離為vΔt，流過ΔS的電荷量為Δq=ρvΔtΔS，代入式（1.2.2），有

J=ρv　　（1.2.3）

由J可求出通過任一橫截面S的電流為

2.面電流密度JS

電荷在一個厚度可忽略不計(jì)的面上流動形成的電流稱為面電流，可用面電流密度JS描述其分布。如圖1.10所示，在垂直于電流方向上取一個線元Δl⊥，設(shè)流過Δl⊥的電流為ΔI，則定義

為點(diǎn)r處的面電流密度，單位為安/米（A/m）。

同理，可求得

JS=ρSv　　（1.2.6）

式中，ρS為面電荷密度；v為面電荷運(yùn)動速度。

若已知曲面S上的面電流密度JS，l為S上的任意有向曲線，設(shè)JS與l間的夾角為α，則垂直穿過dl的電流為dI=dlJSsinα=｜dl×JS｜，故可求得穿過曲線l的電流為

式中，en為曲面S的單位法向矢量。

3.線電流I

電荷在一條線上流動形成的電流稱為線電流，用I表示。同理有I=ρlv，其中ρl為線電荷密度，v為正電荷運(yùn)動速度。

1.2.2　電流連續(xù)性方程

實(shí)驗(yàn)表明，電荷是守恒的，它只能由一個物體流向另一個物體，不能被創(chuàng)造，也不會消失。因此，在密度為J的電流分布空間，任取一封閉曲面S，設(shè)S所包圍的體積為V，根據(jù)電荷守恒定律，單位時間內(nèi)流出閉合面S的電荷量應(yīng)等于體積V內(nèi)電荷的減少量。即

式中，q為體積V內(nèi)的總電荷量。上式右端積分是在固定體積V上進(jìn)行，故積分限與時間無關(guān)，可將積分和微分的順序調(diào)換，同時應(yīng)用散度定理，可得

因式中S和其所包圍的V都是任意的，因此上式成立時應(yīng)有

式（1.2.8）和式（1.2.9）分別稱為電流連續(xù)性方程的積分形式和微分形式。

1.2.3　恒定電場的基本方程

若電荷分布不隨時間變化，即，則構(gòu)成了恒定電流場。此時，式（1.2.8）和式（1.2.9）的電流連續(xù)性方程可改寫為

▽·J=0　　（1.2.11）

這表明從任意閉合面穿出的電流恒為0，即恒定電流場是一個無散度的場。

要在導(dǎo)電介質(zhì)中維持恒定電流，就必須存在恒定電場，電場力做功使電荷維持定向運(yùn)動形成電流。若導(dǎo)電介質(zhì)內(nèi)電荷體密度為ρ，電場為E，則單位體積內(nèi)電荷所受的電場力為ρE。又若電荷在電場力作用下以速度v運(yùn)動，則單位時間內(nèi)電場力對單位體積內(nèi)電荷所做的功為

p=ρE·v=E·J　　（1.2.12）

電場提供的功率被轉(zhuǎn)化成焦耳熱能消耗在導(dǎo)電介質(zhì)的電阻上，故p稱為導(dǎo)電介質(zhì)內(nèi)單位體積內(nèi)的焦耳損耗，單位為瓦/米3（W/m3）。式（1.2.12）稱為焦耳定律的微分形式。

實(shí)驗(yàn)表明，在線性、各向同性的導(dǎo)電介質(zhì)中，J和E之間存在線性關(guān)系：

J=σE　　（1.2.13）

式中，σ為介質(zhì)的電導(dǎo)率，單位為西/米（S/m）。一般金屬材料的電導(dǎo)率σ是一個常數(shù)，但隨溫度變化。

雖然電流是運(yùn)動電荷形成的，但在恒定電流情況下，電荷分布并不隨時間變化。因此，可以認(rèn)為恒定電場與靜電場具有相同的性質(zhì)，即它也是保守場，電場強(qiáng)度E沿任一閉合回路的線積分恒為0。

因此，恒定電場的基本方程總結(jié)為

輔助方程為　　J=σE

導(dǎo)電介質(zhì)中，σ越大，介質(zhì)的導(dǎo)電性能越好，當(dāng)σ→∞時，稱為理想導(dǎo)體。由輔助方程J=σE可看出，σ→∞時，E→0。因此理想導(dǎo)體內(nèi)電場E處處為0，而非理想導(dǎo)體內(nèi)，E不為0。這點(diǎn)與靜電場不同，靜電場中所有導(dǎo)體內(nèi)的E都為0。