4.4　凸輪機構的設計

在凸輪機構的設計過程中，當根據工作條件的要求，選定了凸輪機構的形式、凸輪轉向、凸輪的基圓半徑和從動件的運動規律后，就可以進行凸輪輪廓曲線的設計。凸輪輪廓曲線的設計方法有圖解法和解析法。圖解法簡便易行，比較直觀，但設計精度較低，一般適用于低速或對從動件的運動規律要求不太嚴格的凸輪機構設計。解析法設計精度較高，常用于運動精度較高的凸輪（如儀表中的凸輪或高速凸輪等）設計，由于其計算工作量較大，適宜在計算機上計算。但這兩種設計方法的基本原理是相同的，本節僅討論圖解法。

4.4.1　凸輪機構類型的確定

設計凸輪機構時，要根據凸輪機構在機器傳動鏈中的位置、作用和所要完成的動作及其過程，確定凸輪機構的類型。例如確定采用擺動從動件還是直動從動件；采用對心從動件還是偏心從動件；采用滾子從動件還是平底從動件；采用盤形凸輪還是圓柱凸輪等。

4.4.2　從動件運動規律的選擇

凸輪機構的類型確定后，還需要選擇從動件的運動規律，再根據凸輪的（角）位移升程轉角等參數寫出運動方程（對于解析法設計凸輪輪廓），或繪制從動件的位移線圖（對于圖解法設計凸輪輪廓），就可以設計凸輪的輪廓曲線了。

凸輪的輪廓曲線完全取決于從動件的位移運動規律。圖解法設計凸輪輪廓所使用的位移線圖由凸輪的（角）位移與從動件的（角）位移的對應點及其對應點之間的過渡曲線所組成。對應點是根據凸輪機構的功能要求所確定的，而過渡曲線的形式首先應滿足凸輪機構的功能要求。若凸輪機構的功能對過渡曲線的形式無特殊要求，則應根據動力特性和加工工藝特性等條件選擇上節所介紹的從動件位移規律作為過渡曲線。

4.4.3　圖解法設計凸輪輪廓曲線

傳統的凸輪輪廓曲線是采用圖解法進行設計的，凸輪輪廓曲線設計所采用的基本方法是虛擬的反轉法。

以圖4.9所示的尖底對心移動從動件盤形凸輪機構為例，若凸輪的角速度為ω，則假想給整個凸輪機構加上一個與凸輪的角速度大小相等、方向相反的繞凸輪轉動中心的虛擬角速度-ω，使之成為虛擬的凸輪機構。此時凸輪與從動件之間的相對運動關系不會改變。但虛擬的凸輪則成為靜止不動的構件，而虛擬的從動件一邊隨著導路以-ω的角速度繞凸輪轉動中心線回轉，一邊又按預期的從動件運動線圖在導路中作相對移動。

由于從動件的尖底始終與凸輪輪廓線相接觸，所以虛擬凸輪機構反轉一圈后，從動件尖底的運動軌跡就是實際的凸輪輪廓曲線。

這種將凸輪看成是靜止不動，而將導路與原來往復移動的從動件看成是反轉運動的方法稱為虛擬反轉法。該方法是圖解法繪制凸輪輪廓曲線的基本方法。

1.移動尖底從動件盤形凸輪輪廓繪制

（1）對心移動尖底從動件盤形凸輪輪廓繪制　對心移動指移動從動件的軸線通過凸輪的轉動中心。

繪制該凸輪輪廓曲線之前，要先按與凸輪相同的比例繪制出從動件的位移線圖（見圖4.10b），并確定凸輪的基圓半徑rb。

凸輪以等角速度按順時針方向轉動，對心移動尖底從動件盤形凸輪的輪廓的設計步驟如下：

①取長度比例尺μl和角度比例尺μφ，作從動件的位移線圖S=S（φ）（見圖4.10b）；

②將位移線圖的升程轉角φ0=180°和回程角φ2=90°分為若干等份，通過各點作縱坐標S軸的平行線與位移曲線相交，即得相應凸輪各轉角時從動件的位移量11′、22′…；

③取同樣長度比例尺μl，以O為圓心、OB0=rb/μl為半徑畫基圓。此基圓與從動件導路中心線的交點B0即為從動件尖底的起始位置；

④在圖4.10a中，自OB0沿-ω的方向，根據位移圖中各運動角的前后順序分別作角度φ0=180°、φ1=30°、φ2=90°和φ3=60°，并將它們分成與圖4.10b對應的若干等分，得OC1、OC2、OC3…點。連接并延長OC1、OC2、OC3…，它們便是反轉以后從動件導路中心線的各個位置；

⑤在位移線圖中量取各位移量，并取B1C1=11′、B2C2=22′、B3C3=33′…，得反轉后從動件尖底的一系列位置B1、B2、B3…；

⑥將B0、B1、B2…各點連成光滑曲線，即得所要求的凸輪輪廓曲線。

（2）偏置移動尖底從動件盤形凸輪輪廓繪制　偏置指移動從動件的軸線不通過凸輪的轉動中心。轉動中心到從動件的軸線的距離稱為偏心距e。

繪制該凸輪輪廓曲線之前，同樣要先按與凸輪相同的比例繪制出從動件的位移線圖，并確定凸輪的基圓半徑rb。下面仍以圖4.10b所示的位移曲線為偏置移動尖底從動件盤形凸輪的位移曲線，介紹繪制其輪廓線的步驟。

如圖4.11所示，設凸輪仍以等角速度按順時針方向轉動，凸輪從動件的偏置方向在凸輪軸線的左邊。

①取長度比例尺μl，以O為圓心、OB0=rb/μl為半徑畫基圓；

②以O為圓心，以e/μl為半徑畫偏心圓；

③過B0點作與偏心圓相切的直線；

④將升程轉角和回程轉角分成與其位移曲線圖相同的等分；每隔一等分，逆時針作一條與偏心圓相切的直線，這些直線分別與凸輪的基圓相交。

⑤在位移線圖中（見圖4.10b）量取各位移量，并取…，可得到反轉后偏置尖底從動件的一系列位置B1、B2、B3…；

⑥將B0、B1、B2…各點連成光滑曲線，即得所要求的凸輪輪廓曲線。

2.對心移動滾子從動件盤形凸輪輪廓的繪制

對心移動滾子從動件盤形凸輪輪廓的繪制方法，與對心移動尖底從動件盤形凸輪的繪制方法基本相同。如圖4.12所示，將滾子中心視為尖底從動件的尖點，按上述方法求出的凸輪輪廓η稱為凸輪的理論輪廓。然后以η上各點為圓心，以從動件的滾子的半徑rT/μl為半徑畫一系列滾子圓，則此圓族的內包絡線η′（對于凹槽凸輪還應作外包絡線η″），即為凸輪與滾子從動件直接接觸的輪廓，該輪廓稱為凸輪的實際輪廓，或稱凸輪的工作輪廓。相應的η稱為凸輪的理論輪廓。由以上作圖過程可知，以凸輪的轉動中心為圓心，以凸輪理論輪廓的最小向徑為半徑所作的圓，稱為凸輪的理論輪廓的基圓。所以，對于對心移動滾子從動件盤形凸輪，圖中的rb是指凸輪理論輪廓的基圓半徑。

偏置移動滾子從動件盤形凸輪輪廓的繪制方法，與偏置移動尖底從動件盤形凸輪的繪制方法基本相同，只是將其繪制的凸輪輪廓線作為理論廓線，然后再以理論廓線的各點為圓心，繪制一簇與滾子半徑相同的圓，這些圓的內包絡線即為該凸輪的實際輪廓線。

3.對心移動平底從動件盤形凸輪輪廓的繪制

繪制平底移動從動件盤形凸輪輪廓的方法與上述方法相似。如圖4.13所示，首先按照尖底從動件盤形凸輪的設計方法求出從動件的各尖點B1、B2、B3…，將各點作為從動件導路中心線與平底的交點，然后過B1、B2、B3…作一系列表示平底位置的直線，此直線族的包絡線即為該凸輪的實際輪廓線。由于從動件的平底與凸輪實際輪廓的切點是隨機構位置而變化的，所以為了保證在所有位置上平底都能與輪廓相切，從動件的平底左右兩側的長度必須分別大于導路至左右最遠切點的距離。

其他凸輪機構中凸輪輪廓線的繪制原理與方法，請查閱凸輪設計手冊。

4.4.4　凸輪機構的壓力角及其許用值

設計凸輪時，要考慮凸輪與從動件之間的作用力與反作用力問題。圖4.14所示為對心移動尖底從動件盤形凸輪機構在推程中的受力情況。不考慮摩擦時，Q為作用在從動件上的載荷，其中包括工作阻力、重力、彈簧力和慣性力等。F為凸輪作用于從動件的法向力，該力沿著接觸點A處的公法線n—n方向。

根據工程力學的定義，從動件受力方向與其運動方向間所夾的銳角α稱為凸輪機構的壓力角。壓力角是凸輪機構設計中的一個重要參數。在凸輪轉動過程中，從動件與凸輪輪廓線的接觸點位置是變化的，各接觸點處的公法線方向是不同的，因而凸輪對從動件的作用力F的方向也不同。所以，凸輪輪廓線上各處的壓力角也不相同。

如圖4.14所示，將作用力F沿平行于從動件的運動方向和垂直于從動件的運動方向分解成為兩個正交的分力，各分力與法向力之間的關系為

式中　F——凸輪作用于從動件的法向力（N）；

F′——方向與從動件運動方向一致的分力（N），該分力是克服載荷Q并使從動件產生運動的主動力，所以也稱為有效分力；

F″——方向與從動件運動方向垂直的分力（N），該分力能夠使從動件緊壓在導路上，并使從動件與導路之間產生摩擦阻力，所以該力也稱為有害分力；

α——凸輪機構的壓力角（°）。

從式（4.5）可以看出，壓力角α愈小，則有效分力F′愈大，有害分力F″愈小，機構的受力情況和工作性能也就愈好。反之壓力角α愈大，則有效分力F′愈小，有害分力F″愈大，由其所產生的摩擦阻力也就愈大。當壓力角α增大到某一數值時，有效分力將小于由有害分力所產生的摩擦阻力。此時，無論凸輪給從動件施加多大的作用力F，都無法使從動件運動，此時機構處于自鎖狀態。機構開始出現自鎖現象時的壓力角稱為極限壓力角，以αlim表示。

極限壓力角的大小與多種因素有關，如運動副之間的摩擦因數、潤滑條件、從動件導路的有效長度和從動件的懸臂長度等。

在機械工程中，為改善凸輪機構的受力狀況、保持較高的傳動效率，使機構具有良好的工作性能，規定了壓力角的許用值。該許用值比極限壓力角αlim小許多，根據經驗和理論分析，推薦的凸輪機構的許用壓力角的數值如下：

回程　　[α]h=70°～80°

由于凸輪機構在回程時發生自鎖的可能性比較小，一般載荷也很小，所以許用壓力角可取得大一些。

4.4.5　凸輪基圓半徑與壓力角的關系

設計凸輪輪廓時，首先要確定凸輪的基圓半徑，所以凸輪的基圓半徑也是凸輪設計中的一個重要參數。顯然，凸輪的基圓半徑大，則凸輪機構的結構尺寸大，體積和重量也大，承載能力得到提高，反之，則凸輪機構的結構尺寸小，體積和重量也小，承載能力降低。同時凸輪基圓半徑過小，還會影響到凸輪的受力狀況、凸輪輪廓曲線的連續性和滾子從動件的半徑等。因此，設計凸輪時，應首先根據影響凸輪基圓半徑的條件之一確定基圓最小半徑，再根據其他條件校核凸輪的基圓半徑。

1.基圓半徑與壓力角的關系

當從動件的運動規律確定后，凸輪基圓半徑rb的大小將直接影響到壓力角α的大小。

如圖4.15所示，尖底從動件與盤形凸輪在A點接觸。凸輪逆時針轉動，凸輪上A點的速度為v1，從動件上A點的速度為v2，從動件與凸輪在A點的相對速度為vs，根據相對運動原理，從動件與凸輪在A點的相對速度的方向平行于凸輪在A點的切線t-t。且v1、v2與vs三者構成一個速度多邊形。

因為v1與v2相互垂直，所以，由速度多邊形可知

v2=v1tanα=rωtanα

式中　r——凸輪上A點的向徑（mm），r=rb+s；

ω——凸輪的角速度（rad/s）。

將r代入上式后，得到

式中　rb——凸輪的基圓半徑（mm）；

s——從動件的位移（mm）。

由式（4.6）可知，在給定凸輪角速度和從動件運動規律（位移規律、速度規律和加速度規律）之后，凸輪機構的壓力角愈大，則凸輪的基圓半徑愈小，反之則增大。

所以，若從減小凸輪機構體積使其結構緊湊、減輕質量方面考慮，則凸輪機構應取較大的壓力角。但從改善機構的受力狀況、使其具有良好工作性能、提高其傳動效率方面考慮，又應取較小的壓力角。

設計凸輪機構時，應根據具體情況，合理確定其許用壓力角與凸輪的基圓半徑。

比如對機構的體積沒有嚴格要求時，可取較大的基圓半徑，以便減小壓力角，使機構具有良好的受力條件；但若要求凸輪機構的體積小、質量輕且結構緊湊，則可取較小的基圓半徑，此時壓力角會增大，最大壓力角不得超過許用壓力角。

一般在工程設計中，受力狀況和結構緊湊兩方面的要求是應兼顧的，一般的設計原則是在凸輪機構的最大壓力角不超過許用壓力角及滿足強度和穩定性的前提下，盡量使凸輪的基圓半徑最小。

設計凸輪機構，不僅要保證從動件能實現所預期的運動規律，而且還要求其傳動性能良好、體積小、結構緊湊。這些要求均與滾子半徑、基圓半徑、壓力角等因素有關。下面就來研究它們之間的關系，以便合理地確定機構各部分的尺寸，設計出質量較好的凸輪機構。

2.凸輪最小基圓半徑的確定

凸輪最小基圓半徑與凸輪傳動的強度有關，與凸輪機構的壓力角有關，與凸輪輪廓曲線的光滑連續性有關，還與凸輪機構的結構有關。因此，設計凸輪時，應首先根據有關條件，按照一定的方法確定凸輪最小基圓半徑，然后再設計凸輪輪廓。

（1）根據凸輪機構結構確定凸輪最小基圓半徑時，可根據凸輪軸的半徑r′，參考經驗公式

初步確定凸輪的最小基圓半徑。

（2）根據強度確定凸輪基圓半徑時，可參考有關凸輪強度計算的專著。

（3）根據凸輪機構許用壓力角條件確定凸輪最小基圓半徑時，可采用以下幾種方法。

①圖解法確定凸輪最小基圓半徑。該方法的精度較低，且繪圖的工作量較大。

②解析法確定凸輪最小基圓半徑。該方法就是根據式4.9，將式中的壓力角換成許用壓力角，再解方程。這一計算過程是一個非常煩瑣冗長的過程。

③諾模圖法確定凸輪最小基圓半徑。諾模圖法實際上是根據解析法，利用計算機繪制出的，便于工程上使用的一種確定凸輪最小基圓半徑的方法。

本小節只介紹確定凸輪最小基圓半徑的諾模圖法。

圖4.16所示為幾種凸輪機構從動件常用運動規律的諾模圖。圖中上半圓周的數字表示凸輪升程或回程的轉角，下半圓周的數字表示凸輪機構的最大壓力角，通過直徑的水平標尺表示從動件升程h與基圓半徑rb之比。

例4.1　已知對心移動滾子從動件盤形凸輪機構的升程按簡諧運動規律運動，升程轉角φ0=60°，升程許用壓力角[α]=35°，從動件的行程h=20mm，試按升程許用壓力角確定凸輪最小基圓半徑rb。

解：根據凸輪機構的升程轉角φ0=60°和升程許用壓力角[α]=35°在圖4.16b中找出相應的點，然后作直線連接兩點。直線與諾模圖水平標尺交點的值為0.64，則

從而，凸輪最小基圓半徑為

4.4.6　凸輪從動件偏置方向的確定

其他條件不變的情況下，從動件偏置方向和偏心距大小的改變，可以影響到凸輪機構壓力角。因此合理地選擇從動件的偏置方向和偏心距的大小，可以改善凸輪機構的受力情況，使凸輪機構的壓力角控制在允許的范圍之內。

具體措施為：若凸輪逆時針轉動，則從動件的軸線（或力的作用線）偏置于凸輪轉動中心的右側，若凸輪順時針轉動，則從動件的軸線（或力的作用線）偏置于凸輪轉動中心的左側。

上述措施可以減小凸輪機構升程壓力角，增大回程壓力角。但由于回程時的許用壓力角比升程時的許用壓力角大，故這種措施是可行的。

4.4.7　滾子半徑的確定

在凸輪機構的從動件形式中，使用較多的為滾子從動件。滾子從動件與凸輪之間的摩擦為滾動摩擦，從而提高了凸輪傳動的效率，延長了凸輪傳動的使用壽命。故在滾子從動件凸輪機構設計中，要解決的一個重要問題就是要合理的確定滾子的半徑，使凸輪的實際輪廓曲線為連續光滑的曲線，以確保凸輪機構運動的真實性和穩定性。

從滾子本身的結構設計和強度等方面考慮，將滾子半徑取大些較好。因為這樣有利于提高滾子的接觸強度和壽命，也便于進行滾子的結構設計和安裝。但是滾子半徑的增大受到凸輪結構和凸輪輪廓的限制，因為滾子半徑的大小對凸輪實際輪廓線的形狀有直接的影響。當滾子半徑過大時，將導致凸輪的實際輪廓線變形，從動件不能實現預期的運動規律。

如圖4.17a所示，對于外凸的凸輪輪廓線，凸輪實際輪廓線最小曲率半徑ρbmin等于凸輪的理論廓線最小曲率半徑ρmin與滾子半徑rG之差。

①當ρbmin大于零時，即

ρbmin=ρmin-rG>0

則凸輪實際輪廓線是連續光滑的曲線。一般應使凸輪實際輪廓線最小曲率半徑ρbmin大于凸輪實際輪廓線許用曲率半徑[ρb]，以確保強度和減小磨損，即

ρbmin=ρmin-rG≥[ρb]　　（4.7）

②當ρbmin小于零時，即

ρbmin=ρmin-rG<0

則凸輪實際輪廓線在該處呈現交叉，如圖4.17b所示。加工凸輪時，此處交點以外的輪廓線將被切削掉，從而無法使滾子從動件獲得預期的運動規律，該現象稱為凸輪機構的運動失真。

③當ρbmin等于零時，即

ρbmin=ρmin-rG=0

則凸輪實際輪廓線在該處呈現尖點，如圖4.17c所示。當滾子從動件經過此處時，將產生沖擊現象，凸輪也極易磨損。

對于內凹的凸輪輪廓，凸輪實際輪廓線最小曲率半徑ρbmin等于凸輪的理論廓線最小曲率半徑ρmin與滾子半徑rG之和，即

ρbmin=ρmin+rG

故無論滾子半徑的大小如何，凸輪輪廓線都是連續光滑的曲線，如圖4.17d所示。因此設計凸輪時，對于內凹的凸輪輪廓，可以不必考慮凸輪的理論廓線最小曲率半徑ρmin與滾子半徑rG的關系。

綜上所述，設計外凸的凸輪時，滾子的半徑不能太大，要考慮其對凸輪輪廓線的影響，從滾子的強度考慮，滾子半徑又不能取得過小。當滾子半徑未指定時，可按照經驗公式

rG=（0.1～0.5）rb

初步確定滾子半徑。

滾子半徑rG過小會給滾子結構設計帶來困難。如果不能滿足此要求，可適當加大凸輪的基圓半徑或對從動件的運動規律進行修改。

當外凸的凸輪輪廓設計完成后，應當按照式（4.7）校核凸輪實際輪廓的最小曲率半徑ρbmin。校核凸輪實際輪廓曲率半徑的方法有圖解法和解析法兩種。圖解法的精度低，但使用方便；解析法很精確，但需要計算機輔助計算。

圖解法校核凸輪實際輪廓曲率半徑的方法是，當繪制完成凸輪實際輪廓線后，制作一個半徑為凸輪實際輪廓線許用曲率半徑[ρb]的圓模版，用目測的方式將模版放在凸輪實際輪廓線曲率半徑最小的位置，觀察輪廓線是否滿足式（4.7）的條件。若不滿足，則需增大凸輪基圓半徑rb或減小滾子半徑rG。

在有條件的場合，解析法校核凸輪實際輪廓曲率半徑的方法已經被廣泛采用，本書不專門介紹。目前已經有商業化和非商業化的凸輪設計程序，讀者可自行參考。