2.6　長大直徑橋梁樁基動力荷載傳遞機理

樁基在使用過程中經常承受靜荷載和可能的動荷載，尤其是鐵路和公路橋梁主要承受交通車輛的作用，其樁基礎也會經常受到動荷載的作用，另外，在檢驗樁身質量、單樁靜承載力的動力測試中也涉及樁的動力特性問題。因此，研究樁的動力性狀具有重要的現實意義。樁的軸向振動理論是各種動力試樁方法的理論基礎，對動力作用下樁基礎的設計也具有重要的意義。幾十年來，很多學者圍繞此課題展開了廣泛的研究，并得出許多重要的結論。本節在考慮了樁側土分層和樁端土的彈性支承和阻尼作用基礎上，進一步考慮了樁的材料阻尼系數對振動的影響。利用拉普拉斯變換和阻抗函數的傳遞性，以及相鄰樁土層分界面兩側樁身位移和截面力連續性條件，求出了樁頂阻抗函數的解析解，然后利用卷積定理和傅立葉逆變換求出半正弦荷載激勵作用下樁頂速度響應的半解析解，最后分析了土性參數和樁的材料阻尼對基樁樁頂速度頻域響應的影響。

2.6.1　單樁縱向動力響應計算模型

（1）基本假定

單樁的計算模型如圖2-12所示。樁身的主要參數有彈性模量E、密度ρ、截面積A、長度l和材料阻尼系數cp。樁側土的主要特征參數有樁側彈性系數ki和阻尼系數ci，樁端彈性系數kb，和阻尼系數cb。基本假定如下：

①樁為有限長等截面均質桿，考慮樁身材料阻尼系數的影響；②樁處于分層均質土中，每層土對樁的作用簡化為分布式文克爾線性彈簧ki和阻尼系數ci并聯耦合方式，同一層土中動力參數相同，土層總數為n，自下而上編號為1，2，…，n，土層厚度為h1，h2，…，hn，樁底土對樁的作用簡化為線性彈簧kb和阻尼系數cb耦合方式；③縱向振動時，樁與土之間僅發生線性變形；④樁長尺寸遠大于樁徑尺寸；⑤樁土縱向振動時，樁周土水平和徑向位移可忽略。

（2）動力模型

動力荷載作用下，基樁的動力響應取決于土的動力特性、樁的受力機理和樁土之間相互作用。而土的動力特性在樁基的動力分析中極其重要，如何確定土的動力特性參數（動剛度和動阻尼）是土動力學的一個重要課題，許多學者對此進行了長期的研究，并取得了很多成果。Winkler模型法是現有計算樁土動力相互作用的最簡單有效的工程設計方法之一，它用分布在樁體周圍獨立的彈簧和阻尼器來模擬由于樁的運動而產生的土的動反力。盡管此模型只能近似模擬樁土相互作用，但是其物理概念清楚，計算量小，并且給出的解答與精確解非常接近，因此易于被工程界所接受。

Novak根據彈性動力學理論推導了樁側土的剛度系數和阻尼系數表達式，Rausche（1984）在Novak等研究的基礎上給出了更為簡潔方便的表達式：

式中　ks、cs——分別是樁側土的剛度系數和阻尼系數；

Gs——土的剪切模量；

r0——樁的半徑；

ρs——土的密度。

Lysmer和Richart（1996）根據彈性半空間理論推導出樁端土的剛度系數和阻尼系數表達式：

式中　kb、cb——樁端土的剛度系數和阻尼系數；

vs——土的泊松比。

取出第i層土中一個長度為dx的樁身微單元體，作動力平衡分析得到基本方程如下：

式中，u（x，t）表示樁身質點位移，令，則式（2-30）可簡化為：

樁的邊界條件為：

2.6.2　單樁動力響應計算

首先介紹拉普拉斯變換定義：

式中　s——復參數，F（s）=L[f（t）]。

若以第一層土中樁單元為研究對象，并假定第二層土對第1段樁上截面的作用力為f1（t），則第段樁上截面處的邊界條件為：

樁的初始條件為：

對振動方程式、邊界條件式并根據方程式進行拉普拉斯變換，得：

令，則式（2-39）可簡化為：

解的形式為：　　U1=N1cos（λ1x）+M1sin（λ1x）　　（2-40）

這樣就可以得到第一層土樁單元上截面處位移阻抗函數為：

式中　 。

然后再取第二層土中的樁單元為研究對象，根據相鄰樁土層分界面兩側的樁身位移和截面力連續性條件，可得到第2段樁單元下截面處的邊界條件，見式（2-42）。

ui（Hi，t）=ui+1（Hi，t）　　（i=1，2，L，n）　　（2-43）

并假定第3段樁對第2段樁上截面處的作用力為f2（t），則得到第2段樁上截面處的邊界條件：

根據拉普拉斯變換方程，對基本方程和邊界條件進行拉普拉斯變換。

令，根據上式可求出第2段樁單元上截面x=H2處位移阻抗函數為：

式中　 。

根據位移阻抗的傳遞性，依次遞推可求得x=0處土層樁段的位移阻抗函數：

式中　 ；

P（s）=L[p（t）]；

根據樁頂位移阻抗函數式，可得到樁頂位移響應函數：

相應的樁頂速度響應函數是：

設s=iω（i2=-1，ω為角頻率），由上式可得到速度頻率響應：

根據傅立葉變換的性質，由式（2-45）可求得單位脈沖激勵的速度響應：

由卷積定理，樁頂在任意激勵f（t）[F（iω）為f（t）的傅立葉變換]，樁頂速度響應為：

v（t）=f（t）·h（t）=IFT[F（iω）·H（iω）]　　（2-54）

（1）穩態正弦激振時樁頂動力響應

當在樁頂施加正弦激勵f（t）=Qmaxsin（θt），（t∈0，+∞），根據拉普拉斯變換，則：

式中　Qmax——加載的幅值；

θ——激振力角頻率。

利用分部積分，可得：

所以：

由式（2-50）可求得正弦激勵作用下樁頂速度響應：

（2）半正弦脈沖激勵時樁頂動力響應

當樁頂輸入半正弦脈沖激勵，（t∈0，T），T為脈沖寬度。

式中　Qmax——加載的幅值。

由式（2-53）可求得半正弦脈沖激勵作用下樁頂速度響應：

任意土層中樁頂速度的頻域和時域動力響應，可根據上面公式推導的過程，用Matlab編程計算。