12.1　集合與函數

本節重點知識：

1.集合.

2.函數.

3.初等函數.

4.函數的應用.

12.1.1　集合

1.集合的概念

集合在數學領域具有無可比擬的特殊重要性.集合論的基礎是由德國數學家Cantor在19世紀70年代奠定的，經過一大批卓越的數學家半個世紀的努力，到20世紀20年代已確立了其在現代數學理論體系中的基礎地位.可以說，當今數學各個分支的所有結果都幾乎構筑在嚴格的集合理論上.所以學習現代數學，應該由集合入手.

把具有某種特定屬性的對象所組成的總體稱為集合.把組成集合的每一個對象稱為這個集合的元素.

一般用大寫字母A，B，C，…表示集合，用小寫字母a，b，c，…表示集合的元素.用“a∈A”表示a是集合A的元素或稱“a屬于A”，用“a?A”表示a不是集合A的元素或稱“a不屬于A”.屬于關系是元素與集合之間的關系，故屬于符號“∈”兩邊就分別是元素和集合.集合有時簡稱集.

元素為數的集合稱為數集，常見的數集如表12-1所示.

本書所討論的數集一般都是實數集.

2.集合的表示法

列舉法　把集合中的元素一一列舉出來，并記在{}內，這種表示集合的方法稱為列舉法.

例如，方程x2-5x+6=0的解的集合是{2，3}.

描述法　把集合中所包含元素的共同特性，用描述性短語或數學表達式寫在{}內，這種表示集合的方法稱為描述法.

例如，方程x2-5x+6=0的解的集合用描述法表示為{x|x2-5x+6=0}.

3.區間與鄰域

區間　區間是介于兩個實數間的所有實數的集合.

開區間　設a<b，稱數集{x|a<x<b}為開區間，記為（a，b），即

（a，b）={x|a<x<b}.

閉區間　[a，b]={x|a≤x≤b}稱為閉區間.

半開區間　[a，b）={x|a≤x<b}，（a，b]={x|a<x≤b}稱為半開區間.如表12-2所示，其中a和b稱為區間的端點，b-a稱為區間的長度.

以上區間稱為有限區間，區間的端點均為常數.除此之外，還有無限區間，如表12-3所示.

練一練

1.把下列不等式的解集用區間和數軸上的點集表示：

-3<x<5；　-1≤x<2；　x≥-2；　x≤-4；　 ；

；　|x|≤3；　|x|>2.

2.把下列不等式組的解集用區間和數軸上的點集表示：

鄰域　設δ是任意正數，則開區間（a-δ，a+δ）稱為點a的δ鄰域，記作U（a，δ），即

U（a，δ）={x||x-a|<δ}=（a-δ，a+δ）.

其中，點a稱為鄰域的中心，δ稱為鄰域的半徑，如圖12-1（a）所示.稱

U（a，δ）={x|0<x-a|<δ}

為點a的去心δ鄰域，如圖12-1（b）所示.

練一練

1.把下列鄰域用區間和數軸上的點集表示：

U（1，0.5）；　U（0，0.7）；　U（-1，0.2）；　U（x0，δ）；

U（1，0.5）；　U（-2，0.3）；　U（x0，δ）；

2.把下列不等式的解集用區間和數軸上的點集表示：

（1）-2≤x≤3；　　（2）-3<x≤4；　　（3）-2≤x<3；

（4）-3<x<4；　　（5）x>3；　　（6）x≤4.

3.把下列不等式的解集用區間表示：

（1）x≤0；　　（2）-2≤x<1；　　（3）x>-1；　　（4）9≤x≤10.

4.把下列區間用集合和數軸上的點集表示：

（1）（-4，0）；　　（2）（-8，7]；　　（3）[-1，2）；　　（4）[3，1].

12.1.2　函數

函數是數學中最重要的概念之一，函數是指兩個數集之間的一種特殊對應關系.

1.函數的概念

引例1　圓的面積與半徑的對應關系A=πr2，r∈（0，+∞）

分析　對于（0，+∞）內的每一個半徑取值，都有唯一確定的面積取值與之對應.面積A對半徑r的這種依賴關系就是函數關系.其中半徑r是主動變化的，稱為自變量，隨著半徑r的變化，面積A被動地變化，稱為因變量.當自變量r在（0，+∞）內取任一數值時，因變量A相應有唯一確定的數值.

定義1　設D、M是兩個給定的數集，若按照某種法則f，使得對數集D中的每一個數x，都可以找到數集M中唯一確定的數y與之對應，則稱這個對應法則f是數集D到數集M的一個函數，記為

f：D→M

x→y=f（x）

集合D稱為函數f的定義域，記為Df.D中的每一個x，根據對應法則f，對應于一個y，記作y=f（x），稱為函數f在x的函數值，全體函數值的集合

Rf={y|y=f（x），x∈（D}?M

稱為函數f的值域，x稱為f的自變量，y稱為因變量.

即，函數是定義域集合中的每個元素恰好有值域中的一個元素與之對應.

一般情況下，可以把函數記法中的第一行省略，只要寫成

y=f（x），x∈D（=Df）

即可，讀作“函數y=f（x）”或“函數f”.這里f表示一種對應法則，對于每一個x∈D，它確定了唯一的y=f（x）與x對應，如圖12-2所示.

注意

（1）記號f和f（x）的含義是有區別的，前者表示自變量x和因變量y之間的對應法則（即函數），而后者表示與自變量x對應的函數值.但為了敘述方便，習慣上常用記號“f（x），x∈D”或“y=f（x），x∈D”來表示定義在D上的函數，這時應理解為由它所確定的函數f.

（2）函數符號.函數y=f（x）中表示對應關系的記號f也可改用其他字母，例如“φ”，“F”等.此時函數就記作y=φ（x），y=F（x）.

概括起來，構成一個函數必須具備下列兩個基本要素：

①數集D，即定義域Df=D；

②對應法則f，使每一個x∈D，有唯一確定的y=f（x）與之對應.

當兩個函數不僅對應法則相同，而且定義域也相同時（于是它們的值域必然相同），它們表示的是相同的函數，至于此時自變量和因變量采用什么符號是無關緊要的，例如y=x2，x∈（-∞，+∞）與u=v2，v∈（-∞，+∞）表示的就是同一函數.即函數只與定義域和對應法則有關，而與變量采用的符號無關.

練一練

判斷下列各組函數是否相同，并說明原因：

（1） 與y=x；　　（2）y=ln x2與y=2ln x；

（3） 與y=x；　　（4）y=1-sin2x與y=cos2x；

（5） 與y=|x|；　　（6） 與y=sin x；

（7） 與 .

給出一個函數y=f（x），如果f（x）是一個代數式，它的定義域是指，使得

（1）分母不為零；

（2），　x≥0；

（3）ln x，　x>0；

（4）同時含有上述三項時，要求使各部分都成立的交集.

例1　求下列函數的定義域：

解　（1）要使有意義，須使分母x-3≠0，即x≠3，所以這個函數的定義域是Df={x|x≠3}，用區間表示為Df=（-∞，3）∪（3，+∞）.

（2）要使有意義，須使被開方數x+2≥0且對數的真數5-x>0，即x≥-2且x<5，所以這個函數的定義域是Df={x|-2≤x<5}，用區間表示為Df=[-2，5）.

（3）要使有意義，須使分母x2≠1即x≠-1且x≠1，所以這個函數的定義域是Df={x|x≠-1且x≠1}，用區間表示為Df=（-∞，-1）∪（-1，1）∪（1，+∞）.

練一練

求下列函數的定義域：

如果y=f（x）是一個代數式，要求x=a時的函數值f（a），只要用a替換式子中的x計算即可.例如對于函數f（x）=-x2+x+2，則

f（-1）=-（-1）2+（-1）+2=0，f（3）=-32+3+2=-4.

例2　函數f（x）=2x2-5x+1，求（1）f（a）；（2）.

解（1）f（a）=2a2-5a+1；

（2）f（a+h）=2（a+h）2-5（a+h）+1=2（a2+2ah+h2）-5（a+h）+1

　　　　　　=2a2+4ah+2h2-5a-5h+1.

表示函數的主要方法有三種：表格法、圖像法、解析法（公式法），這在中學已經熟悉.其中，用圖像法表示函數是基于函數圖像的概念，即坐標平面上的點集

{（x，f（x））|x∈D}

稱為函數y=f（x），x∈D的圖像，如圖12-3（a）所示；同時也可以在圖像中找到函數的定義域和值域，如圖12-3（b）所示.

練一練

1. ，求f（0），f（a），f（t+h）.

2.f（x）=4-3x+x2，求 .

3. ，求 .

4.做出下列函數的圖像（列表、描點、作圖）：

（1）f（x）=2x-1；　　（2）f（x）=x2-1.

2.分段函數

引例2　旅客攜帶行李乘飛機旅行時，行李不超過20kg不收費用，若超過20kg，每超過1kg收運費a元，建立運費y與行李重量x的函數關系.

分析　因為當0≤x≤20時，運費y=0；當x>20時，超過的部分（x-20）按每千克收運費a元，此時y=a（x-20）.所以函數y可以寫成：

這樣就建立了行李運費y與行李重量x之間的函數關系，這樣的函數稱為分段函數.

定義2　對自變量的不同變化范圍，對應法則用不同式子來表示的函數稱為分段函數.

例如，函數

是一個分段函數，其定義域為Df=[0，1]∪（1，+∞）=[0，+∞）.即分段函數的定義域是x取值范圍的并集.

當0≤x≤1時，；當x>1時，y=1+x.

特征函數是一個分段函數，其中A是數集，此函數常用于計數統計.

例3　函數.求（1）定義域；（2）f（-2），f（-1），f（0）；（3）做出函數的圖像.

解　（1）函數的定義域Df=（-∞，-1]∪（-1，+∞）=（-∞，+∞）.

（2）因為-2≤-1，所以f（-2）=1-（-2）=3.

因為-1≤-1，所以f（-1）=1-（-1）=2.

因為0>-1，所以f（0）=02=0.

（3）當x≤-1時，f（x）=1-x，所以函數的這部分圖像是一條截止于點（-1，2）的射線，點（-1，2）包括在其中；當x>-1時，f（x）=x2，所以函數的這部分圖像是一條從點（-1，1）開始的拋物線，并且點（-1，1）不在其中，其圖像如圖12-4所示.

例4　做出函數的圖像.

解　該函數稱為絕對值函數.其定義域為Df=（-∞，+∞），值域為Mf=[0，+∞），如圖12-5所示.

注意　分段函數是用幾個式子合起來表示一個函數，而不是表示幾個函數.

練一練

1.設函數 .

求（1）函數的定義域；（2）f（0.5），f（1.5），f（3）；（3）做出函數的圖像.

2.求下列函數的定義域，并作出函數的圖像：

（3）符號函數 ；

（4）單位階躍函數 .

3.函數的簡單特性

有界性　若存在兩個常數m和M，使函數y=f（x）滿足

m≤f（x）≤M　x∈D，

則稱f在D有界.其中m是它的下界，M是它的上界.

注意　當一個函數有界時，它的上界與下界不唯一.由上面的定義可知，任意小于m的數也是f的下界，任意大于M的數也是f的上界.

有界函數的另一定義是“存在正數M，使函數y=f（x）滿足|f（x）|≤M，x∈D”，可以證明這兩種定義是等價的.

例如，函數f（x）=sin x在（-∞，+∞）內是有界的，因為無論x取任何實數，|sin x|≤1都能成立.這里M=1（也可取大于1的任何數作為M，而|sin x|≤M成立）.

單調性　如圖12-6所示，曲線從A到B是上升的，從B到C是下降的，從C到D是上升的，此時稱函數f（x）在[a，b]上單調增加，在[b，c]上單調減少，在[c，d]上單調增加.

設函數f（x）的定義域為D，（a，b）?D

（1）如果對任意的x1、x2∈（a，b），且x1<x2，恒有f（x1）<f（x2），則稱函數f（x）在（a，b）內是單調增加的.

（2）如果對任意的x1、x2∈（a，b），且x1<x2，恒有f（x1）>f（x2），則稱函數f（x）在（a，b）內是單調減少的.單調增加和單調減少的函數統稱為單調函數.

如果函數y=f（x）在（a，b）內是增函數（或是減函數），則稱函數f（x）在區間（a，b）內是單調函數，區間（a，b）稱為函數f（x）的單調區間.函數在區間（a，b）內的單調增加或單調減少的性質，稱為函數的單調性.

例如，圖12-7是函數y=x2和y=x3的圖像.

由圖可知，函數y=x2在區間[0，+∞）內是單調增加的，在區間（-∞，0]內單調減少的；在區間（-∞，+∞）內函數y=x2不是單調的.

函數y=x3在區間（-∞，+∞）內是單調增加的.

函數的奇偶性　設函數f（x）的定義域為D，如果對于任意的x∈D，恒有f（-x）=f（x），則稱f（x）為偶函數；如圖12-8（a）所示；如果恒有f（-x）=-f（x），則稱f（x）為奇函數，如圖12-8（b）所示.

例如，f（x）=x2是偶函數，因為f（-x）=（-x）2=x2=f（x）；而f（x）=x3是奇函數，因為f（-x）=（-x）3=-x3=-f（x）.

偶函數的圖像關于y軸對稱，奇函數的圖像關于原點對稱.

函數y=sin x是奇函數，函數y=cos x是偶函數.

函數y=sin x+cos x既非奇函數，也非偶函數，稱為非奇非偶函數.

例5　判斷下列函數的奇偶性：

（1）f（x）=x5+x；　　（2）g（x）=1-x4；　　（3）h（x）=2x-x2.

解　（1）f（-x）=（-x）5+（-x）=（-1）5（x）5+（-x）=-x5-x

　　　　　　=-（x5+x）=-f（x），

所以f（x）=x5+x是奇函數.

（2）g（-x）=1-（-x）4=1-x4=g（x），

所以g（x）=1-x4是偶函數.

（3）h（-x）=2（-x）-（-x）2=-2x-x2，

h（-x）≠h（x），且h（-x）≠-h（x），所以h（x）=2x-x2是非奇非偶函數.

周期性　設函數f（x）的定義域為D.若存在不為零的數T，使得對于任意的x∈D，都有x±T∈D，且

f（x+T）=f（x）

恒成立，則稱f（x）為周期函數，其中T稱為函數的周期，通常周期函數的周期是指它的最小正周期.

例如，sin（x+2π）=sin x，cos（x+2π）=cos x，所以y=sin x，y=cos x都是以2π為周期的周期函數；tan（x+π）=tan x，cot（x+π）=cotx，所以y=tan x，y=cotx都是以π為周期的周期函數.

練一練

判定下列函數的奇偶性：

（4）f（x）=x|x|；（5）f（x）=1+3x2-x4；（6）f（x）=1+3x3-x5；

12.1.3　初等函數

1.基本初等函數

常數函數　函數y=c稱為常數函數.其定義域Df=（-∞，+∞），無論x為何值，y均為常數c，如圖12-9所示.

冪函數　函數y=xμ（μ為常數，μ∈R）稱為冪函數.冪函數y=xμ的定義域隨μ的取值而變化，但不論μ取什么值，冪函數在（0，+∞）內總有定義.且圖像都過點（1，1）.

下面介紹一些常見的冪函數.

（1）μ=n（μ∈N+），y=xn，此時函數的定義域為（-∞，+∞）.

當n=1，2，3，4時，有函數y=x，y=x2，y=x3，y=x4，如圖12-10所示.

y=xn圖像的形狀依n是奇數還是偶數來決定.如果n是奇數，那么y=xn是奇函數，圖像與y=x3相似，如果n是偶數，那么y=xn是偶函數，圖像與y=x2相似.

當n=2時，，定義域是[0，+∞）；當n=3時，，定義域為（-∞，+∞），如圖12-11所示.

圖像的形狀依n是奇數還是偶數來決定.如果n是奇數，那么的定義域為（-∞，+∞），圖像與相似，如果n是偶數，的定義域為[0，+∞），圖像與相似.

（3）μ=-1，，函數的定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），為奇函數，如圖12-12所示.

指數函數　函數y=ax（a>0，a≠1且a為常數）稱為指數函數.其定義域是實數集R，即區間（-∞，+∞），因為無論x取任何實數值，總有ax>0，又a0=1，所以指數函數y=ax（a>0且a≠1）的圖像，總在x軸的上方，指數函數的值域是（0，+∞），且通過點（0，1），如圖12-13所示.

若a>1，指數函數ax是單調增加的（見圖12-13（a））；若0<a<1，指數函數ax是單調減少的（見圖12-13（b））.

對數函數　函數y=logax（a>0，a≠1，且a為常數）稱為對數函數，其定義域是正實數集R+，即區間（0，+∞），值域是R，如圖12-14所示.

y=logax（a>0，a≠1，a為常數）的圖像總在y軸右方，且通過點（1，0）.

若a>1，對數函數y=logax是單調增加的，在開區間（0，1）內函數值為負，而在區間（1，+∞）內函數值為正（圖12-14（a））.

若0<a<1，對數函數y=logax是單調減少的，在開區間（0，1）內函數值為正，而在區間（1，+∞）內函數值為負（圖12-14（b））.

工程問題中常常遇到以常數e（e是無理數，e≈2.718）為底的對數函數，y=logex稱為自然對數函數，簡記作y=ln x.

三角函數　y=sin x、y=cos x、y=tan x、y=cot x、y=sec x、y=csc x統稱為三角函數.其中自變量x以弧度來表示.

常用的三角函數有正弦函數y=sin x、余弦函數y=cos x、正切函數y=tan x.

y=sin x和y=cos x都是以2π為周期的周期函數，它們的定義域都是（-∞，+∞），值域都是[-1，1]，如圖12-15所示.

對于所有的x∈（-∞，+∞），有

即　　|sin x|≤1；|cos x|≤1.

y=sin x是奇函數，圖像關于原點對稱；y=cos x是偶函數，圖像關于y軸對稱.

正切函數是以π為周期的周期函數，它的定義域為

，值域是（-∞，+∞），如圖12-16所示.

正切函數y=tan x為奇函數，圖像關于原點對稱.

余切函數y=cot x是正切函數的倒數，正割函數y=sec x是余弦函數的倒數，余割函數y=csc x是正弦函數的倒數，即

反三角函數

y=arcsin x　x∈[-1，1]　 ，　y=arccos x　x∈[-1，1]　y∈[0，π]，

y=arctan x　x∈R　 ，　y=arccotx　x∈R　y∈（0，π），

稱為反三角函數.

圖12-17給出的是常用的反正弦函數y=arcsin x和反正切函數y=arctan x的圖像.

下面給出一些今后在高等數學和專業課學習中常用的三角函數公式：

同角三角函數的關系

①平方關系

sin2x+cos2x=1；　1+tan2x=sec2x；　1+cot2x=csc2x.

②商數關系

③倒數關系

二倍角公式

sin 2x=2sin x cos x；

cos 2x=cos2x-sin2x=2cos2x-1=1-2sin2x.

半角公式

練一練

1.分辨下列函數的類型（冪函數、指數函數、對數函數）：

（1）y=log2x；　　（2）y=πx；　　（3）y=xπ；　　（4） ；（5）v（t）=5t.

2.從圖12-18中找出對應的函數，并解釋你的選擇.

（1）y=3x；　　（2）y=3x；　　（3）y=x3；　　（4） .

2.復合函數

若y=f（u），u=φ（x），當u=φ（x）的值域全部或部分落在f（u）的定義域內時（即兩個函數解析式中u的取值范圍有公共部分），得到一個以x為自變量y為因變量的函數，稱其為由函數y=f（u）和函數u=φ（x）構成的復合函數，記為y=f（φ（x）），變量u稱為中間變量.

例如，，u=g（x）=x2+1，y是u的函數，而u是x的函數，通過u，y是x的函數

我們稱這個函數為由 與u=g（x）=x2+1復合而成的復合函數.

但不是任意給出兩個函數都能復合，如函數y=f（u）=ln u和函數u=-2-x2不能構成復合函數，這是因為對任一x∈R，u=-2-x2均不在y=f（u）=ln u的定義域（0，+∞）內（即兩個函數解析式中u的取值范圍沒有公共部分）.

例6　函數f（u）=u2，u=g（x）=x-3，求f（g（x））.

解　f（g（x））=f（x-3）=（x-3）2.

有時，一個復合函數可能由三個或更多的函數復合而成.例如，由函數y=2u，u=sin v和v=x2+1可以復合成函數，其中u和v都是中間變量.反之，分析一個復合函數的復合結構一般由外向里，每一步大都是基本初等函數的形式.

例7　指出下列復合函數的復合過程：

（1）y=cos2x；　　（2）；　　（3）y=esin（x-1）.

解　（1）因為y=（cos x）2，通過由外向內的復合方式，得其復合過程為

y=u2，u=cos x；

（3）y=eu，u=sin v，v=x-1.

練一練

1.求由下列各組函數復合而成的復合函數：

（1）y=f（u）=u2-1，　u=g（x）=2x+1；

（2）y=f（u）=u-2，　u=g（x）=x2+3x+4；

（3）y=f（u）=1-3u，　u=g（x）=cos x；

（4）y=f（u）=3u-2，　u=g（v）=sin v，　v=x2.

2.指出下列復合函數的復合過程：

（1）y=（2x-1）4；　　（2）y=sin2x；　　（3）y=ln2（3-2x）；

3.初等函數

由基本初等函數經過有限次的四則運算和有限次的復合所構成的函數，稱為初等函數.

例如y=sin2（3x+1）、、y=ecos x、等都是初等函數.

常見的函數都是初等函數，高等數學主要研究初等函數.

分段函數一般不是初等函數，但絕對值函數除外（如）.

12.1.4　函數的應用

1.基本初等函數的應用

冪函數　用一個正方形的面積S來給出其邊長a的函數關系，即為分數指數冪

類似的，表示在一個島上所發現的物種的平均數與該島的面積的關系也會有分數指數冪，即若N是物種數量，A是島的面積，有

其中K是與島所處的地域有關的常數.

三角函數　三角函數的顯著特征是周期性，具有周期性的事物，可考慮用適當的三角函數來刻畫.如月圓月缺、交流電、經濟規律、人的心臟跳動、血壓、人的生理、情緒等都有周期性，都可以運用三角函數來描述.

例如，某地海平面（海潮）變化規律為

又如，家庭中的交流電電壓的變化規律為

V=V0cos（100πt）.

指數函數　指數函數只有兩種類型：指數增長y=ax（a>1）和指數衰減

y=ax（0<a<1）.

許多事物的變化規律都服從指數變化規律，因而指數函數是理解真實世界事物發展過程的基礎.

例如，人口按指數增長.經研究發現，每一種指數增長型人口總數都有一個固定的倍增期，當前世界人口的倍增期約為38年.如果你活到76歲，則在你一生中，世界人口預計會增長四倍.

又如“知識爆炸”也按指數增長，有科學家提出的增長模型為y=Aekt.如科學家每50年增長10倍，論文數量10～15年增長一倍等.

2.數學建模基礎知識

我們常見有飛機模型、建筑模型、城市或單位的沙盤模型等實物模型，有地圖、電路圖、建筑圖、管理流程圖等符號模型，還有計算機三維圖片的仿真模型.

模型是對實際事物即原型的一種反映.科學研究與解決問題的主要方法是建立模型.

數學模型，從廣義上講，一切數學概念、數學理論體系、各種數學公式、各種方程式、各種函數關系，以及由公式系列構成的算法系統等等都可以稱為數學模型.從狹義上講，只有那些反映特定問題或特定的具體事物系統的數學關系的結構，才稱為數學模型.在現代應用數學中，數學模型都作狹義解釋.而建立數學模型的目的，主要是為了解決具體的實際問題.

例如，世界大國的核武器競賽中，20世紀70年代美蘇曾簽訂一項核武器協定：陸地州際導彈美國限制為1054枚，蘇聯為2000枚.為什么美國愿意簽訂這樣“一比二”的協定？后來人們才知道，美國政府曾委托美國著名的“智囊”——蘭德公司研究這一問題.蘭德公司通過實驗與研究建立了一個核彈數學模型

其中，K是核武器的傷毀值，y是威力（TNT當量），c是精度（與目標的距離）.這是一個初等數學模型，反映出核彈主要因素之間的比例關系與指數關系.即當威力增加8倍時，傷毀值增加4倍；當精度增加8倍時，傷毀值增加64倍.

結論是：核武器的發展方向是精度更重要.此后美國核武器發展的戰略為——數量較少但精度較高.

3.數學模型的建立過程

研究數學模型，建立數學模型，進而借鑒數學模型，對提高解決實際問題的能力，以及提高數學素養都是十分重要的.

具體到建立函數模型，可分為下列步驟：

（1）分析問題中哪些是變量，哪些是常量，分別用字母表示；

（2）根據所給條件，運用數學或物理知識，確定等量關系；

（3）具體寫出解析式y=f（x），并指明定義域.

例8　設有一塊邊長為a的正方形薄板，將它的四角剪去邊長相等的小正方形，制作一只無蓋盒子，如圖12-19所示，試將盒子的體積表示成小正方形邊長的函數.

解　設剪去的小正方形的邊長為x，盒子的體積為V.則盒子的底面積為（a-2x）2，高為x，因此所求的函數關系為

例9　由直線y=x，y=2-x及x軸所圍成的等腰三角形ABC（見圖12-20），在底邊上任取一點x∈[0，2].過x作垂直x軸的直線，將圖上陰影部分的面積表示成x的函數.

解　設陰影部分的面積為A，當x∈[0，1）時，，當x∈[1，2]時，.所以

例10　某一玩具公司生產x件玩具將花費（x>4且為整數）元，如果每件玩具賣48元，那么公司生產x件玩具獲得的凈利潤是多少？

解　因為凈利潤=銷售收入-成本，經過簡單分析，可以得到公司生產x件玩具獲得的凈利潤y為

例11　一汽車租賃公司出租某種汽車的收費標準為：每天的基本租金200元，另外每公里收費為15元/km.（1）試建立每天的租車費與行車路程（單位：km）之間的函數關系；（2）若某人某天付了400元租車費，問他開了多少公里？

解　（1）設每天租車費為y，行車路程公里數為x，則y為每天的基本租金200元和當天開車x（km）所收費用15x之和，即

y=200+15x.

（2）把y=400代入上式中有

400=200+15x，

x≈13.3（km）.

建立函數模型是一個比較靈活的問題，無定法可循，只有多做些練習才能逐步掌握.