13.5　微分

本節重點知識：

1.微分的概念.

2.微分的運算.

13.5.1　微分的概念

微分概念的引入來自于計算函數改變量的估值，在實際問題中，經常要計算當自變量有一微小改變量Δx時，相應的函數的改變量Δy的大小.如果函數比較復雜，計算函數的改變量

Δy=f（x0+Δx）-f（x0）

也會很復雜.能否找到一種既簡單，又有較高精確度的計算Δy近似值的方法，就是本節要討論的微分.

微分和導數本質上是一致的.利用微分可估算函數的改變量，計算函數的近似值，微分的概念在后繼內容（不定積分、常微分方程）中都有重要的應用，應熟練掌握.

引例　一正方形的金屬薄片受溫度影響，其邊長由x0變化到x0+Δx，其面積A（x）=x2相應的改變量為

分析　如圖13-2所示，陰影部分表示ΔA.它由兩部分組成：第一部分2x0·Δx，它是Δx的一次函數；第二部分（Δx）2，當|Δx|很小時，它也非常小，可以忽略不計.所以我們可以用第一部分2x0·Δx近似地表示ΔA，即ΔA≈2x0·Δx.由于A（x）=x2，則A′（x0）=2x0.故上式又可以寫成ΔA≈A′（x0）Δx.

一般地，當|Δx|很小時，函數的改變量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）也可以近似地用f′（x0）Δx表示，誤差非常小，即Δy≈f′（x0）Δx.我們就把f′（x0）Δx稱做函數y=f（x）在點x0處的微分.

定義　設函數y=f（x）在點x0處可導，則稱f′（x0）Δx是函數y=f（x）在點x0處的微分，記作，即.此時，也稱函數y=f（x）在點x0處可微.

例如，函數y=sin x在點處的微分為

函數y=f（x）在任意點x處的微分，稱做函數y=f（x）的微分，記作dy=f′（x）Δx.

對于函數y=x，它的微分dy=dx=（x）′Δx=Δx.因此，我們規定：自變量的微分dx就等于自變量的改變量Δx，即dx=Δx.于是，函數y=f（x）的微分又可寫成dy=f′（x）dx.從而，即函數的導數f′（x）等于函數的微分與自變量的微分之商，故導數又稱為微商.

注意

導數與微分的概念雖有本質區別，但可導與可微是等價的.

例1　求函數y=x2sin x的微分.

解　dy=（x2sin x）′dx=x（2sin x+xcos x）dx.

一般地，當|Δx|很小時，Δy≈dy，在實際中往往用函數的微分來求函數改變量的近似值.

13.5.2　微分的運算

根據微分的定義dy=f′（x）dx，計算微分只需求出導數f′（x）再乘以dx即可，于是根據導數的基本公式和運算法則可直接得出微分的基本公式和運算法則.

1.微分的基本公式

（1）d（c）=0（c為常數）；　　（2）d（xα）=αxα-1dx（α∈R）；

（3）d（ax）=axlnadx；　　（4）d（ex）=exdx；

（7）d（sin x）=cos xdx；　　（8）d（cos x）=-sin xdx；

（9）d（tan x）=sec2xdx；　（10）d（cotx）=-csc2xdx；

（11）d（secx）=secxtan xdx；　（12）d（cscx）=-cscxcotxdx；

2.微分的四則運算法則

設u，v都是可導函數，則

（1）d（u±v）=du±dv；　　（2）d（uv）=vdu+udv；

（3）d（cu）=cdu（c為常數）；　　（4）；

（5）（c為常數）.

3.微分形式的不變性　（復合函數的微分法則）

設函數y=f（u）的導數f′（u）存在，且

（1）若u是自變量時，其微分為dy=f′（u）du.

（2）若u不是自變量時，而是另一自變量x的可導函數u=φ（x），則y就是以u為中間變量的復合函數，根據復合函數的求導法則，y對自變量x的導數為

y′=f′（u）·φ′（x），

于是其微分為

dy=f′（u）·φ′（x）dx，

而　　du=φ′（x）dx，

所以　　dy=f′（u）du.

這就是說，無論u是自變量還是中間變量，函數y=f（u）的微分形式總是dy=f′（u）du.這個性質就稱做微分形式的不變性.

由此可知，基本初等函數的微分公式，其意義可以推廣，例如d（sin u）=cos udu，d（eu）=eudu等.這里，u不僅可以是自變量，也可以是一個函數.這對于求復合函數的微分，十分方便.

例2　求下列函數的微分：

（1）；　　（2）y=e-xsin 2x；　　（3）.

（2）dy=sin 2xd（e-x）+e-xd（sin 2x）

　=e-xsin 2xd（-x）+e-xcos 2xd（2x）

　=-e-x（sin 2x-2cos 2x）dx.