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13.4 隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

本節(jié)重點(diǎn)知識(shí):

1.隱函數(shù)的定義.

2.隱函數(shù)的求導(dǎo)方法.

1.隱函數(shù)的定義

前面討論的函數(shù)求導(dǎo)方法,都是對(duì)于因變量y已寫(xiě)成自變量x的顯性表達(dá)式y(tǒng)=f(x)來(lái)說(shuō)的,這樣的函數(shù)稱做顯函數(shù).但有時(shí)還會(huì)遇到函數(shù)關(guān)系不是用顯函數(shù)形式表示的情形.例如,中心在原點(diǎn)的單位圓方程x2+y2=1.又例如ey=xy,它們都表示x,y之間的函數(shù)關(guān)系.我們把由方程F(x,y)=0表示的因變量y與自變量x的函數(shù)關(guān)系,稱為隱函數(shù).

2.隱函數(shù)的求導(dǎo)方法

有些隱函數(shù)可以化為顯函數(shù),但有些隱函數(shù)很難或不能化為顯函數(shù)y=f(x)的形式.例如ey=xy就是這樣.因此,我們需要尋找一種不需要把隱函數(shù)化為顯函數(shù),直接從確定隱函數(shù)關(guān)系的方程中計(jì)算出隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法.下面舉例說(shuō)明隱函數(shù)的求導(dǎo)方法.

例1 求由方程x2+y2=1所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y′.

 將方程兩端對(duì)x求導(dǎo)數(shù),注意y2是y的函數(shù),而y=f(x)又是x的函數(shù),故y2是復(fù)合函數(shù),利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則,得

2x+2yy′=0,

隱函數(shù)的求導(dǎo)法:

(1)方程兩端對(duì)x求導(dǎo)數(shù),注意y是x的函數(shù)y=f(x),y的函數(shù)就是x的復(fù)合函數(shù),利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.

(2)從(1)的所得式中解出y′即可.

例2 求由方程ey=xy所確定的隱函數(shù)y的導(dǎo)數(shù).

 方程兩端對(duì)x求導(dǎo)數(shù),得

eyy′=y+xy′,

例3 求由方程x=y-sin(xy)所確定的隱函數(shù)y的導(dǎo)數(shù).

 方程兩端對(duì)x求導(dǎo)數(shù),得

1=y′-cos(xy)(y+xy′),

例4 求由xy+ln y=1所確定的隱函數(shù)y在給定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).

 方程兩端對(duì)x求導(dǎo)數(shù),得

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