13.4　隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

本節(jié)重點(diǎn)知識(shí)：

1.隱函數(shù)的定義.

2.隱函數(shù)的求導(dǎo)方法.

1.隱函數(shù)的定義

前面討論的函數(shù)求導(dǎo)方法，都是對(duì)于因變量y已寫(xiě)成自變量x的顯性表達(dá)式y(tǒng)=f（x）來(lái)說(shuō)的，這樣的函數(shù)稱做顯函數(shù).但有時(shí)還會(huì)遇到函數(shù)關(guān)系不是用顯函數(shù)形式表示的情形.例如，中心在原點(diǎn)的單位圓方程x2+y2=1.又例如ey=xy，它們都表示x，y之間的函數(shù)關(guān)系.我們把由方程F（x，y）=0表示的因變量y與自變量x的函數(shù)關(guān)系，稱為隱函數(shù).

2.隱函數(shù)的求導(dǎo)方法

有些隱函數(shù)可以化為顯函數(shù)，但有些隱函數(shù)很難或不能化為顯函數(shù)y=f（x）的形式.例如ey=xy就是這樣.因此，我們需要尋找一種不需要把隱函數(shù)化為顯函數(shù)，直接從確定隱函數(shù)關(guān)系的方程中計(jì)算出隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法.下面舉例說(shuō)明隱函數(shù)的求導(dǎo)方法.

例1　求由方程x2+y2=1所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)y′.

解　將方程兩端對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，注意y2是y的函數(shù)，而y=f（x）又是x的函數(shù)，故y2是復(fù)合函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則，得

2x+2yy′=0，

隱函數(shù)的求導(dǎo)法：

（1）方程兩端對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，注意y是x的函數(shù)y=f（x），y的函數(shù)就是x的復(fù)合函數(shù)，利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則.

（2）從（1）的所得式中解出y′即可.

例2　求由方程ey=xy所確定的隱函數(shù)y的導(dǎo)數(shù).

解　方程兩端對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得

eyy′=y+xy′，

例3　求由方程x=y-sin（xy）所確定的隱函數(shù)y的導(dǎo)數(shù).

解　方程兩端對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得

1=y′-cos（xy）（y+xy′），

例4　求由xy+ln y=1所確定的隱函數(shù)y在給定點(diǎn)的導(dǎo)數(shù).

解　方程兩端對(duì)x求導(dǎo)數(shù)，得