13.3　復合函數的導數

本節重點知識：

1.復合函數的求導法則.

2.引入中間變量求復合函數的導數.

3.省略中間變量求復合函數的導數.

目前為止我們已經會求不少簡單函數的導數，但實際中遇到的函數多是復合函數，因此需要研究復合函數的導數.

1.引例　y=sin 2x，是否y′=cos 2x？

上述答案是錯誤的.這是因為

y′=（sin 2x）′=（2sin x cos x）′=2（cos2x-sin2x）=2cos 2x.

為什么會錯？這是因為求導數時，誤把y=sin 2x看成是一個簡單的正弦函數，實際上它是由y=sin u和u=2x復合而成的復合函數.因此必須建立復合函數的求導法則.

由于y=sin u，y′u=cos u；u=2x，u′x=2.因而

y′u·u′x=2cos u=2cos 2x.

2.復合函數的求導法則

定理　如果函數u=φ（x）在點x可導，函數y=f（u）在其對應點u=φ（x）也可導，則復合函數y=f（φ（x））在點x可導，且

例1　求下列函數的導數：

（1）y=（2x-3）5；　　（2）y=cos（x2+1）；　　（3）.

解　（1）引入中間變量，令y=u5，u=2x-3，則

y′x=y′u·u′x=5u4·2=10（2x-3）4·

（2）引入中間變量，令y=cos u，u=x2+1，則

y′x=y′u·u′x=-sin u·2x=-2xsin（x2+1）.

（3）引入中間變量，令，u=tan x，則

注意　　（1）根據復合函數的求導法則，若設函數u=u（x）在點x可導，則導數的基本公式可變形為下列公式：

如若u=x2，則 ；　（sin x2）′=cos x2·（x2）′.

如若 ，則 .

（2）重復應用上述定理，可以把復合函數的求導法則推廣到多次復合的情形，例如，設

y=f（u），u=φ（v），v=ω（x），

則復合函數的導數

或 .

（3）復合函數的求導方法熟悉之后，引入中間變量這一步就可以省略，只需從外向里，逐層求導即可.

例2　求下列函數的導數：

（1）；　　（2）y=ln sin 3x；　　（3）.

想一想

下面的計算是否正確，如果不正確，請改正.

（1）[（ax+b）2]′=2（ax+b）；

（2）（sin 3x）′=cos 3x；

（3）[sin（1-x）]′=-cos（1-x）；

（4）（e-x）′=e-x.

練一練

（1）[（5x-3）5]′=5（5x-3）4（　）；

（2）（1+sin2x）′=2sin x（　）；

（3）[（1-x2）2cos 3x]′=2（1-x2）（　）（　）+（1-x2）2（　）

例3　求下列函數的導數：

（1）；　　（2）y=sin3x·cos 3x；

（3）y=e-xln（1-x）；　　（4）.

（2）y′=3sin2x（sin x）′·cos 3x+sin3x·（-sin 3x）（3x）′

　=3sin2x cos x cos 3x-3sin3x sin 3x

　=3sin2x（cos x cos 3x-sin x sin 3x）

　=3sin2x cos 4x.