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13.3 復合函數的導數

本節重點知識:

1.復合函數的求導法則.

2.引入中間變量求復合函數的導數.

3.省略中間變量求復合函數的導數.

目前為止我們已經會求不少簡單函數的導數,但實際中遇到的函數多是復合函數,因此需要研究復合函數的導數.

1.引例 y=sin 2x,是否y′=cos 2x?

上述答案是錯誤的.這是因為

y′=(sin 2x)′=(2sin x cos x)′=2(cos2x-sin2x)=2cos 2x.

為什么會錯?這是因為求導數時,誤把y=sin 2x看成是一個簡單的正弦函數,實際上它是由y=sin u和u=2x復合而成的復合函數.因此必須建立復合函數的求導法則.

由于y=sin u,y′u=cos u;u=2x,u′x=2.因而

y′u·u′x=2cos u=2cos 2x.

2.復合函數的求導法則

定理 如果函數u=φ(x)在點x可導,函數y=f(u)在其對應點u=φ(x)也可導,則復合函數y=f(φ(x))在點x可導,且

例1 求下列函數的導數:

(1)y=(2x-3)5;  (2)y=cos(x2+1);  (3).

 (1)引入中間變量,令y=u5,u=2x-3,則

y′x=y′u·u′x=5u4·2=10(2x-3)4·

(2)引入中間變量,令y=cos u,u=x2+1,則

y′x=y′u·u′x=-sin u·2x=-2xsin(x2+1).

(3)引入中間變量,令,u=tan x,則

注意  (1)根據復合函數的求導法則,若設函數u=u(x)在點x可導,則導數的基本公式可變形為下列公式:

如若u=x2,則 ; (sin x2)′=cos x2·(x2)′.

如若 ,則 .

(2)重復應用上述定理,可以把復合函數的求導法則推廣到多次復合的情形,例如,設

y=f(u),u=φ(v),v=ω(x),

則復合函數的導數

.

(3)復合函數的求導方法熟悉之后,引入中間變量這一步就可以省略,只需從外向里,逐層求導即可.

例2 求下列函數的導數:

(1);  (2)y=ln sin 3x;  (3).

想一想

下面的計算是否正確,如果不正確,請改正.

(1)[(ax+b)2]′=2(ax+b);

(2)(sin 3x)′=cos 3x;

(3)[sin(1-x)]′=-cos(1-x);

(4)(e-x)′=e-x.

練一練

(1)[(5x-3)5]′=5(5x-3)4( );

(2)(1+sin2x)′=2sin x( );

(3)[(1-x22cos 3x]′=2(1-x2)( )( )+(1-x22( )

例3 求下列函數的導數:

(1);  (2)y=sin3x·cos 3x;

(3)y=e-xln(1-x);  (4).

(2)y′=3sin2x(sin x)′·cos 3x+sin3x·(-sin 3x)(3x)′

 =3sin2x cos x cos 3x-3sin3x sin 3x

 =3sin2x(cos x cos 3x-sin x sin 3x)

 =3sin2x cos 4x.

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