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13.1 導(dǎo)數(shù)的概念

本節(jié)重點(diǎn)知識(shí):

1.導(dǎo)數(shù)的定義.

2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義.

3.可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系.

4.高階導(dǎo)數(shù).

13.1.1 引例

17與18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們常把自己的數(shù)學(xué)活動(dòng)與各種不同自然領(lǐng)域(物理、化學(xué)、力學(xué)、技術(shù))中的研究活動(dòng)聯(lián)系起來,并由實(shí)際需要提出了許多數(shù)學(xué)問題.歷史上,導(dǎo)數(shù)概念產(chǎn)生于以下兩個(gè)實(shí)際問題的研究.第一,求變速直線運(yùn)動(dòng)的速度;第二,曲線的切線問題.

引例1 變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度.

分析 對于勻速直線運(yùn)動(dòng),物體在任何時(shí)刻的速度都相同,且.而對于變速直線運(yùn)動(dòng),物體在不同時(shí)刻的速度不全相同.設(shè)物體從某一時(shí)刻開始到時(shí)刻t所走過的路程為s,則s是t的函數(shù)s=s(t),當(dāng)時(shí)間t從時(shí)刻t0變到時(shí)刻t0+Δt,物體運(yùn)動(dòng)的路程為

Δs=s(t0+Δt)-s(t0),

這段時(shí)間的平均速度為

因物體作變速直線運(yùn)動(dòng),它在任一時(shí)刻的速度隨t的不同而不同.當(dāng)Δt很小時(shí),速度的變化不大,可用平均速度近似地表示物體在時(shí)刻t0的速度,顯然Δt越小,近似的程度越好,平均速度就越趨近于時(shí)刻t0的速度v(t0),也就是說,當(dāng)Δt→0時(shí),平均速度無限趨近于時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度v(t0),即

此例將勻速直線運(yùn)動(dòng)與變速直線運(yùn)動(dòng)聯(lián)系起來,局部以勻速代替變速,以平均速度代替瞬時(shí)速度,然后通過取極限,從瞬時(shí)速度的近似值過渡到瞬時(shí)速度的精確值.

引例2 平面曲線的切線斜率.

設(shè)曲線y=f(x)的圖形如圖13-1所示.

圖 13-1

分析 在曲線y=f(x)上取一點(diǎn)M(x0,y0)及鄰近的另外一點(diǎn)M1(x0+Δx,y0+Δy),作割線MM1,則割線的斜率為

當(dāng)Δx→0時(shí),動(dòng)點(diǎn)M1沿曲線y=f(x)無限趨近于定點(diǎn)M,使得割線MM1的位置也隨著變動(dòng)而無限趨近于極限位置MT,則稱直線MT為曲線y=f(x)在點(diǎn)M(x0,y0)處的切線,顯然,此時(shí)割線的斜率無限趨近于切線的斜率,即切線MT的斜率為

此例先以割線代替切線,算出割線的斜率,然后通過取極限,從割線過渡到切線,求出切線的斜率.

以上兩個(gè)實(shí)例雖然實(shí)際意義不同,但是解決問題的思路和方法完全相同,最終都?xì)w結(jié)為計(jì)算自變量的改變量趨于零時(shí),函數(shù)的改變量與自變量的改變量比值的極限.在數(shù)學(xué)中,把此特殊類型的極限稱做函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

13.1.2 導(dǎo)數(shù)的定義

定義 設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,當(dāng)自變量x在點(diǎn)x0處取得改變量Δx(Δx≠0)時(shí),函數(shù)y=f(x)取得相應(yīng)改變量Δy=f(x0+Δx)-f(x0),如果當(dāng)Δx→0時(shí),的極限存在,即

存在,則稱此極限值為函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù),記作f′(x0),或 ,或 ,或 .即

并稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo).如果 不存在,則稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0不可導(dǎo).

例1 求函數(shù)y=x2在點(diǎn)x=2處的導(dǎo)數(shù)

 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)通常分三步:

(1)求Δy=f(x0+Δx)-f(x0).

 Δy=(2+Δx)2-22=4Δx+(Δx)2.

(2)求.

(3)求.

因此f′(2)=4.

通過上例容易看出,給定函數(shù)y=f(x)后,其導(dǎo)數(shù)f′(x0)僅與x0有關(guān).如果函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一點(diǎn)都可導(dǎo),則稱函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo).這時(shí),對于區(qū)間(a,b)內(nèi)的每一個(gè)x值,均有對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值f′(x),因此f′(x)也是x的函數(shù),稱其為函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),簡稱為導(dǎo)數(shù).記作f′(x),y′,,.即

注意 導(dǎo)數(shù)f′(x0)與導(dǎo)函數(shù)f′(x)的區(qū)別和聯(lián)系.

區(qū)別:f′(x0)是常數(shù),f′(x)是函數(shù).

聯(lián)系:函數(shù)f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0)就是導(dǎo)函數(shù)f′(x)在x=x0處的函數(shù)值,即.注意f′(x0)≠[f(x0)]′

例2 求函數(shù)y=x2的導(dǎo)數(shù),并算出f′(1).

?。?)Δy=f(x+Δx)-f(x)=(x+Δx)2-x2=2xΔx+Δx2.

因此(x2)′=2x,從而f′(1)=(x2)′|x=1=2x|x=1=2.

上例進(jìn)一步可推廣為(xα)′=αxα-1(α為任意實(shí)數(shù))利用這個(gè)公式,可以很方便地計(jì)算冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù).例如

練一練

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):

(1)y=x2;y=x3; .

(2) ; ; .

(3) ; ; .

例3 求函數(shù)y=sin x的導(dǎo)數(shù).

因此?。╯in x)′=cos x.

類似地,可得到導(dǎo)數(shù)的基本公式:

(cos x)′=-sin x; (c)′=0(c為常數(shù));

(ax)′=axlna(a>0,a≠1); (ex)′=ex;

練一練

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù):

(1)y=2x;y=3x ; ;y=e5; .

(2)y=log2x;y=log4x;y=lgx; ;y=lg2.

13.1.3 導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義

1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

由引例2可知,函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′(x0),就是它所表示曲線在點(diǎn)M(x0,y0)處切線的斜率.即k=f′(x0).根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式,曲線y=f(x)在點(diǎn)M(x0,y0)處的切線方程為

y-y0=f′(x0)(x-x0).

如果f′(x0)≠0,曲線y=f(x)在點(diǎn)M(x0,y0)處的法線方程為

例4 求曲線在點(diǎn)(1,1)處的切線的斜率,并寫出在該點(diǎn)處的切線方程和法線方程.

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義,所求切線的斜率為

從而所求切線方程為y-1=-1(x-1),即x+y-2=0.

法線方程為y-1=1·(x-1),即x-y=0.

練一練

求曲線y=sin x在點(diǎn) 處的切線方程.

2.導(dǎo)數(shù)的物理意義

由引例1可知,若物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為s=s(t),則物體在時(shí)刻t的瞬時(shí)速度v(t)就是s=s(t)在點(diǎn)t處的導(dǎo)數(shù),即v(t)=s′(t).與此類似,許多物理量其實(shí)質(zhì)就是某一函數(shù)的導(dǎo)數(shù).例如,加速度a(t)是速度v(t)關(guān)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù),即a(t)=v′(t).

13.1.4 可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

定理 如果函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo),則它在點(diǎn)x0處一定連續(xù).

證明 因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)在點(diǎn)x0可導(dǎo)

故函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處一定連續(xù).

但反過來,在點(diǎn)x0連續(xù)的函數(shù),不一定在點(diǎn)x0處可導(dǎo).

注意 函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)只是函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)的必要條件,而不是充分條件.

13.1.5 高階導(dǎo)數(shù)

如果函數(shù)y=f(x)的導(dǎo)數(shù)y′=f′(x)在點(diǎn)x處可導(dǎo),則稱f′(x)的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)y=f(x)的二階導(dǎo)數(shù),記作

f″(x)或y″.

類似地,二階導(dǎo)數(shù)y″=f″(x)的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)y=f(x)的三階導(dǎo)數(shù),記作

f?(x)或y?.

一般地,函數(shù)y=f(x)的(n-1)階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)y=f(x)的n階導(dǎo)數(shù),記作

f(n)(x)或y(n).

二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù).

例5 求y=ex的各階導(dǎo)數(shù).

 y′=ex,y″=ex,…,y(n)=ex.

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