13.1　導(dǎo)數(shù)的概念

本節(jié)重點(diǎn)知識(shí)：

1.導(dǎo)數(shù)的定義.

2.導(dǎo)數(shù)的幾何意義與物理意義.

3.可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系.

4.高階導(dǎo)數(shù).

13.1.1　引例

17與18世紀(jì)的數(shù)學(xué)家們常把自己的數(shù)學(xué)活動(dòng)與各種不同自然領(lǐng)域（物理、化學(xué)、力學(xué)、技術(shù)）中的研究活動(dòng)聯(lián)系起來，并由實(shí)際需要提出了許多數(shù)學(xué)問題.歷史上，導(dǎo)數(shù)概念產(chǎn)生于以下兩個(gè)實(shí)際問題的研究.第一，求變速直線運(yùn)動(dòng)的速度；第二，曲線的切線問題.

引例1　變速直線運(yùn)動(dòng)的瞬時(shí)速度.

分析　對于勻速直線運(yùn)動(dòng)，物體在任何時(shí)刻的速度都相同，且.而對于變速直線運(yùn)動(dòng)，物體在不同時(shí)刻的速度不全相同.設(shè)物體從某一時(shí)刻開始到時(shí)刻t所走過的路程為s，則s是t的函數(shù)s=s（t），當(dāng)時(shí)間t從時(shí)刻t0變到時(shí)刻t0+Δt，物體運(yùn)動(dòng)的路程為

Δs=s（t0+Δt）-s（t0），

這段時(shí)間的平均速度為

因物體作變速直線運(yùn)動(dòng)，它在任一時(shí)刻的速度隨t的不同而不同.當(dāng)Δt很小時(shí)，速度的變化不大，可用平均速度近似地表示物體在時(shí)刻t0的速度，顯然Δt越小，近似的程度越好，平均速度就越趨近于時(shí)刻t0的速度v（t0），也就是說，當(dāng)Δt→0時(shí)，平均速度無限趨近于時(shí)刻t0的瞬時(shí)速度v（t0），即

此例將勻速直線運(yùn)動(dòng)與變速直線運(yùn)動(dòng)聯(lián)系起來，局部以勻速代替變速，以平均速度代替瞬時(shí)速度，然后通過取極限，從瞬時(shí)速度的近似值過渡到瞬時(shí)速度的精確值.

引例2　平面曲線的切線斜率.

設(shè)曲線y=f（x）的圖形如圖13-1所示.

分析　在曲線y=f（x）上取一點(diǎn)M（x0，y0）及鄰近的另外一點(diǎn)M1（x0+Δx，y0+Δy），作割線MM1，則割線的斜率為

當(dāng)Δx→0時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M1沿曲線y=f（x）無限趨近于定點(diǎn)M，使得割線MM1的位置也隨著變動(dòng)而無限趨近于極限位置MT，則稱直線MT為曲線y=f（x）在點(diǎn)M（x0，y0）處的切線，顯然，此時(shí)割線的斜率無限趨近于切線的斜率，即切線MT的斜率為

此例先以割線代替切線，算出割線的斜率，然后通過取極限，從割線過渡到切線，求出切線的斜率.

以上兩個(gè)實(shí)例雖然實(shí)際意義不同，但是解決問題的思路和方法完全相同，最終都?xì)w結(jié)為計(jì)算自變量的改變量趨于零時(shí)，函數(shù)的改變量與自變量的改變量比值的極限.在數(shù)學(xué)中，把此特殊類型的極限稱做函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

13.1.2　導(dǎo)數(shù)的定義

定義　設(shè)函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，當(dāng)自變量x在點(diǎn)x0處取得改變量Δx（Δx≠0）時(shí)，函數(shù)y=f（x）取得相應(yīng)改變量Δy=f（x0+Δx）-f（x0），如果當(dāng)Δx→0時(shí)，的極限存在，即

存在，則稱此極限值為函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′（x0），或 ，或 ，或 .即

并稱函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0可導(dǎo).如果 不存在，則稱函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0不可導(dǎo).

例1　求函數(shù)y=x2在點(diǎn)x=2處的導(dǎo)數(shù)

解　根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)數(shù)通常分三步：

（1）求Δy=f（x0+Δx）-f（x0）.

　Δy=（2+Δx）2-22=4Δx+（Δx）2.

（2）求.

（3）求.

因此f′（2）=4.

通過上例容易看出，給定函數(shù)y=f（x）后，其導(dǎo)數(shù)f′（x0）僅與x0有關(guān).如果函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)的每一點(diǎn)都可導(dǎo)，則稱函數(shù)f（x）在開區(qū)間（a，b）內(nèi)可導(dǎo).這時(shí)，對于區(qū)間（a，b）內(nèi)的每一個(gè)x值，均有對應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值f′（x），因此f′（x）也是x的函數(shù)，稱其為函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，簡稱為導(dǎo)數(shù).記作f′（x），y′，，.即

注意　導(dǎo)數(shù)f′（x0）與導(dǎo)函數(shù)f′（x）的區(qū)別和聯(lián)系.

區(qū)別：f′（x0）是常數(shù)，f′（x）是函數(shù).

聯(lián)系：函數(shù)f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′（x0）就是導(dǎo)函數(shù)f′（x）在x=x0處的函數(shù)值，即.注意f′（x0）≠[f（x0）]′

例2　求函數(shù)y=x2的導(dǎo)數(shù)，并算出f′（1）.

解?。?）Δy=f（x+Δx）-f（x）=（x+Δx）2-x2=2xΔx+Δx2.

因此（x2）′=2x，從而f′（1）=（x2）′|x=1=2x|x=1=2.

上例進(jìn)一步可推廣為（xα）′=αxα-1（α為任意實(shí)數(shù)）利用這個(gè)公式，可以很方便地計(jì)算冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù).例如

練一練

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

（1）y=x2；y=x3； .

（2） ； ； .

（3） ； ； .

例3　求函數(shù)y=sin x的導(dǎo)數(shù).

因此?。╯in x）′=cos x.

類似地，可得到導(dǎo)數(shù)的基本公式：

（cos x）′=-sin x；　（c）′=0（c為常數(shù)）；

（ax）′=axlna（a>0，a≠1）；　（ex）′=ex；

練一練

求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：

（1）y=2x；y=3x； ； ；y=e5； .

（2）y=log2x；y=log4x；y=lgx； ； ；y=lg2.

13.1.3　導(dǎo)數(shù)的實(shí)際意義

1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義

由引例2可知，函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)f′（x0），就是它所表示曲線在點(diǎn)M（x0，y0）處切線的斜率.即k=f′（x0）.根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式，曲線y=f（x）在點(diǎn)M（x0，y0）處的切線方程為

y-y0=f′（x0）（x-x0）.

如果f′（x0）≠0，曲線y=f（x）在點(diǎn)M（x0，y0）處的法線方程為

例4　求曲線在點(diǎn)（1，1）處的切線的斜率，并寫出在該點(diǎn)處的切線方程和法線方程.

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，所求切線的斜率為

從而所求切線方程為y-1=-1（x-1），即x+y-2=0.

法線方程為y-1=1·（x-1），即x-y=0.

練一練

求曲線y=sin x在點(diǎn) 處的切線方程.

2.導(dǎo)數(shù)的物理意義

由引例1可知，若物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律為s=s（t），則物體在時(shí)刻t的瞬時(shí)速度v（t）就是s=s（t）在點(diǎn)t處的導(dǎo)數(shù)，即v（t）=s′（t）.與此類似，許多物理量其實(shí)質(zhì)就是某一函數(shù)的導(dǎo)數(shù).例如，加速度a（t）是速度v（t）關(guān)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)，即a（t）=v′（t）.

13.1.4　可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

定理　如果函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0可導(dǎo)，則它在點(diǎn)x0處一定連續(xù).

證明　因?yàn)楹瘮?shù)y=f（x）在點(diǎn)x0可導(dǎo)

故函數(shù)y=f（x）在點(diǎn)x0處一定連續(xù).

但反過來，在點(diǎn)x0連續(xù)的函數(shù)，不一定在點(diǎn)x0處可導(dǎo).

注意　函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)只是函數(shù)在該點(diǎn)可導(dǎo)的必要條件，而不是充分條件.

13.1.5　高階導(dǎo)數(shù)

如果函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)y′=f′（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)，則稱f′（x）的導(dǎo)數(shù)為函數(shù)y=f（x）的二階導(dǎo)數(shù)，記作

f″（x）或y″.

類似地，二階導(dǎo)數(shù)y″=f″（x）的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)y=f（x）的三階導(dǎo)數(shù)，記作

f?（x）或y?.

一般地，函數(shù)y=f（x）的（n-1）階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為函數(shù)y=f（x）的n階導(dǎo)數(shù)，記作

f（n）（x）或y（n）.

二階及二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù).

例5　求y=ex的各階導(dǎo)數(shù).

解　y′=ex，y″=ex，…，y（n）=ex.