思考與總結

一、函數、極限與連續的概念與結論

1.函數的概念

（1）函數.

以x為自變量的函數y=f（x）是數集D到數集M的__________.對于數集D中的__________，數集M中都有__________和它對應.其中數集D稱為函數y=f（x）的__________，和x對應的y的值就是函數值，函數值的全體構成的集合稱為函數的__________.

函數的表示法通常有三種__________、__________、__________.其中用圖像法表示函數是基于函數圖像的概念，即坐標平面上的點集__________稱為函數y=f（x），x∈D的圖像.

（2）函數的簡單特性包括__________、__________和__________.

（3）基本初等函數有六個，分別是__________、__________、__________、__________、__________、__________.

（4）復合函數.

若y=f（u），u=φ（x），當u=φ（x）的值域全部或部分落在f（u）的定義域內時，得到一個以__________為自變量__________為因變量的函數，稱其為由函數__________和函數__________構成的復合函數，記為__________，變量__________稱為中間變量.

（5）初等函數.

由__________經過有限次的四則運算和有限次的復合所構成的函數，稱為初等函數.

2.極限的概念

（1）數列的極限.

如果數列{xn}，當n無限增大時，數列{xn}的取值__________一個確定的常數A，我們就稱A是數列{xn}的極限，或稱數列{xn}收斂于A，記作__________.

如果當n→∞數列{xn}不趨于一個確定的常數，我們就說數列{xn}__________，或稱數列{xn}是__________的.

（2）函數的極限.

x→∞時，函數f（x）的極限

如果當自變量x的絕對值無限增大（記作x→∞）時，對應的函數值__________一個確定的常數A，則稱A為函數f（x）當x→∞時的極限，記作__________.

x→x0時，函數f（x）的極限

設函數f（x）在點x0的某個去心鄰域內有定義，如果當x從x0的左右兩側__________趨近于x0且__________x0時，函數f（x）__________于一個確定的常數A，則稱A是函數f（x）當x趨近于x0時的極限，記作__________.

x→∞的含義為；x→x0的含義為.

3.無窮小量與無窮大量

如果在自變量的變化過程中，函數f（x）的極限為__________，那么稱函數f（x）為這個變化過程中的無窮小量（簡稱無窮小）.

如果在自變量的變化過程中，函數f（x）的絕對值__________，那么稱函數f（x）為這個變化過程中的無窮大量（簡稱無窮大）.

在自變量的同一變化過程中，無窮大量的倒數是__________，非零的無窮小量的倒數是__________.

4.函數的連續性

（1）如果__________則稱函數f（x）在點x0是連續的.

（2）f（x）在點x0連續必須滿足三個條件__________、__________和__________.

（3）如果函數f（x）在x0不連續，則稱f（x）在x0__________，x0稱為f（x）的__________.

（4）一切初等函數在__________內都是連續的.

二、運算法則、基本性質與基本公式

1.極限存在的充要條件

（1）的充要條件是__________.

（2）的充要條件是__________.

2.極限運算法則

（1）=__________；

（2）=__________；

（3）=__________；

（4）=__________；

（5）=__________；

（6）=__________.

上述法則使用的前提條件是__________.

3.無窮小量的基本性質

（1）有限個無窮小的和__________；

（2）有界函數與無窮小的乘積__________；

（3）常數與無窮小的乘積__________；

（4）有限個無窮小的乘積__________.

4.兩個重要極限

（1）=__________；

（2）=__________.

5.等價無窮小替換定理

若當x→x0時，α～α′，β～β′，且存在，則=__________.

當x→0時，sinx～＿＿＿＿；tanx～＿＿＿＿；1-cosx～＿＿＿＿；arcsinx～＿＿＿＿；arctanx～＿＿＿＿；ln（1+x）～＿＿＿＿；ex-1～＿＿＿＿.

三、極限與連續的關系

函數f（x）在點x0連續，則f（x）在點x0的極限一定＿＿＿＿，函數f（x）在點x0的極限存在，f（x）在點x0＿＿＿＿連續.