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思考與總結

一、函數、極限與連續的概念與結論

1.函數的概念

(1)函數.

以x為自變量的函數y=f(x)是數集D到數集M的__________.對于數集D中的__________,數集M中都有__________和它對應.其中數集D稱為函數y=f(x)的__________,和x對應的y的值就是函數值,函數值的全體構成的集合稱為函數的__________.

函數的表示法通常有三種__________、__________、__________.其中用圖像法表示函數是基于函數圖像的概念,即坐標平面上的點集__________稱為函數y=f(x),x∈D的圖像.

(2)函數的簡單特性包括__________、__________和__________.

(3)基本初等函數有六個,分別是__________、__________、__________、__________、__________、__________.

(4)復合函數.

若y=f(u),u=φ(x),當u=φ(x)的值域全部或部分落在f(u)的定義域內時,得到一個以__________為自變量__________為因變量的函數,稱其為由函數__________和函數__________構成的復合函數,記為__________,變量__________稱為中間變量.

(5)初等函數.

由__________經過有限次的四則運算和有限次的復合所構成的函數,稱為初等函數.

2.極限的概念

(1)數列的極限.

如果數列{xn},當n無限增大時,數列{xn}的取值__________一個確定的常數A,我們就稱A是數列{xn}的極限,或稱數列{xn}收斂于A,記作__________.

如果當n→∞數列{xn}不趨于一個確定的常數,我們就說數列{xn}__________,或稱數列{xn}是__________的.

(2)函數的極限.

x→∞時,函數f(x)的極限

如果當自變量x的絕對值無限增大(記作x→∞)時,對應的函數值__________一個確定的常數A,則稱A為函數f(x)當x→∞時的極限,記作__________.

x→x0時,函數f(x)的極限

設函數f(x)在點x0的某個去心鄰域內有定義,如果當x從x0的左右兩側__________趨近于x0且__________x0時,函數f(x)__________于一個確定的常數A,則稱A是函數f(x)當x趨近于x0時的極限,記作__________.

x→∞的含義為;x→x0的含義為.

3.無窮小量與無窮大量

如果在自變量的變化過程中,函數f(x)的極限為__________,那么稱函數f(x)為這個變化過程中的無窮小量(簡稱無窮小).

如果在自變量的變化過程中,函數f(x)的絕對值__________,那么稱函數f(x)為這個變化過程中的無窮大量(簡稱無窮大).

在自變量的同一變化過程中,無窮大量的倒數是__________,非零的無窮小量的倒數是__________.

4.函數的連續性

(1)如果__________則稱函數f(x)在點x0是連續的.

(2)f(x)在點x0連續必須滿足三個條件__________、__________和__________.

(3)如果函數f(x)在x0不連續,則稱f(x)在x0__________,x0稱為f(x)的__________.

(4)一切初等函數在__________內都是連續的.

二、運算法則、基本性質與基本公式

1.極限存在的充要條件

(1)的充要條件是__________.

(2)的充要條件是__________.

2.極限運算法則

(1)=__________;

(2)=__________;

(3)=__________;

(4)=__________;

(5)=__________;

(6)=__________.

上述法則使用的前提條件是__________.

3.無窮小量的基本性質

(1)有限個無窮小的和__________;

(2)有界函數與無窮小的乘積__________;

(3)常數與無窮小的乘積__________;

(4)有限個無窮小的乘積__________.

4.兩個重要極限

(1)=__________;

(2)=__________.

5.等價無窮小替換定理

若當x→x0時,α~α′,β~β′,且存在,則=__________.

當x→0時,sinx~____;tanx~____;1-cosx~____;arcsinx~____;arctanx~____;ln(1+x)~____;ex-1~____.

三、極限與連續的關系

函數f(x)在點x0連續,則f(x)在點x0的極限一定____,函數f(x)在點x0的極限存在,f(x)在點x0____連續.

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