- 五年制高職數學(第三冊)
- 張瑾 鄒秀英 趙春芳
- 1276字
- 2020-06-29 11:36:39
思考與總結
一、函數、極限與連續的概念與結論
1.函數的概念
(1)函數.
以x為自變量的函數y=f(x)是數集D到數集M的__________.對于數集D中的__________,數集M中都有__________和它對應.其中數集D稱為函數y=f(x)的__________,和x對應的y的值就是函數值,函數值的全體構成的集合稱為函數的__________.
函數的表示法通常有三種__________、__________、__________.其中用圖像法表示函數是基于函數圖像的概念,即坐標平面上的點集__________稱為函數y=f(x),x∈D的圖像.
(2)函數的簡單特性包括__________、__________和__________.
(3)基本初等函數有六個,分別是__________、__________、__________、__________、__________、__________.
(4)復合函數.
若y=f(u),u=φ(x),當u=φ(x)的值域全部或部分落在f(u)的定義域內時,得到一個以__________為自變量__________為因變量的函數,稱其為由函數__________和函數__________構成的復合函數,記為__________,變量__________稱為中間變量.
(5)初等函數.
由__________經過有限次的四則運算和有限次的復合所構成的函數,稱為初等函數.
2.極限的概念
(1)數列的極限.
如果數列{xn},當n無限增大時,數列{xn}的取值__________一個確定的常數A,我們就稱A是數列{xn}的極限,或稱數列{xn}收斂于A,記作__________.
如果當n→∞數列{xn}不趨于一個確定的常數,我們就說數列{xn}__________,或稱數列{xn}是__________的.
(2)函數的極限.
x→∞時,函數f(x)的極限
如果當自變量x的絕對值無限增大(記作x→∞)時,對應的函數值__________一個確定的常數A,則稱A為函數f(x)當x→∞時的極限,記作__________.
x→x0時,函數f(x)的極限
設函數f(x)在點x0的某個去心鄰域內有定義,如果當x從x0的左右兩側__________趨近于x0且__________x0時,函數f(x)__________于一個確定的常數A,則稱A是函數f(x)當x趨近于x0時的極限,記作__________.
x→∞的含義為;x→x0的含義為
.
3.無窮小量與無窮大量
如果在自變量的變化過程中,函數f(x)的極限為__________,那么稱函數f(x)為這個變化過程中的無窮小量(簡稱無窮小).
如果在自變量的變化過程中,函數f(x)的絕對值__________,那么稱函數f(x)為這個變化過程中的無窮大量(簡稱無窮大).
在自變量的同一變化過程中,無窮大量的倒數是__________,非零的無窮小量的倒數是__________.
4.函數的連續性
(1)如果__________則稱函數f(x)在點x0是連續的.
(2)f(x)在點x0連續必須滿足三個條件__________、__________和__________.
(3)如果函數f(x)在x0不連續,則稱f(x)在x0__________,x0稱為f(x)的__________.
(4)一切初等函數在__________內都是連續的.
二、運算法則、基本性質與基本公式
1.極限存在的充要條件
(1)的充要條件是__________.
(2)的充要條件是__________.
2.極限運算法則
(1)=__________;
(2)=__________;
(3)=__________;
(4)=__________;
(5)=__________;
(6)=__________.
上述法則使用的前提條件是__________.
3.無窮小量的基本性質
(1)有限個無窮小的和__________;
(2)有界函數與無窮小的乘積__________;
(3)常數與無窮小的乘積__________;
(4)有限個無窮小的乘積__________.
4.兩個重要極限
(1)=__________;
(2)=__________.
5.等價無窮小替換定理
若當x→x0時,α~α′,β~β′,且存在,則
=__________.
當x→0時,sinx~____;tanx~____;1-cosx~____;arcsinx~____;arctanx~____;ln(1+x)~____;ex-1~____.
三、極限與連續的關系
函數f(x)在點x0連續,則f(x)在點x0的極限一定____,函數f(x)在點x0的極限存在,f(x)在點x0____連續.