12.4　極限的運算法則

本節重點知識：

1.極限的運算法則.

2.運用極限的運算法則求函數極限.

定理　如果當x→x0時f（x）和g（x）的極限都存在，且，，則

例1　求下列極限：

例2　求（1）；　　（2）.

解　（1）x→3時，分子、分母的極限都是零，所以商的極限的運算法則不能應用，但是

分子、分母有公因式（x-3），在求x→3的極限時，要求x≠3，所以x-3≠0，

（2）這個極限與（1）類似，x→0時，分子、分母的極限都是零，所以商的極限的運算法則不能應用，但是分母有理化之后

分子、分母有公因式x，求x→0的極限時，要求x≠0，從而

例3　求.

解　x→1時，分母的極限為零，分子的極限是-1，商的極限的運算法則不能應用，但其倒數的極限

利用無窮小與無窮大的關系可知 .

想一想

如下寫法是否正確？

例4　求下列極限：

解　（1）先用x3去除分子及分母，然后取極限

（2）先用x3去除分子及分母，然后取極限

（3）由（2）可知

討論：有理函數怎樣求極限？能得出那些結果？寫出你的結論

例5　求.

解　當x→∞時，分子及分母的極限都不存在，故商的極限的運算法則不能應用，因為，而

利用有界函數與無窮小的乘積仍為無窮小，得 .

注意

（1）運用極限運算法則時，只有各項極限都存在（除式還要分母不為零）才適用；

（2）如果所求極限呈現 或 等形式，不能直接用極限運算法則，必須先對原式進行恒等變形（約分、通分、有理化、變量代換等），然后再求極限；

（3）利用無窮小的性質以及無窮小與無窮大的關系求極限.

想一想

如下寫法是否正確？

例6　求，設函數

解　求x→1的極限時，要求x≠1，所以

例7　如果，求

解　因為當x>4時，，所以；而當x<4時，f（x）=8-2x，所以；左、右極限存在且相等，所以.

例8　求.

解　，，左、右極限不相等，所以不存在.