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12.4 極限的運算法則

本節重點知識:

1.極限的運算法則.

2.運用極限的運算法則求函數極限.

定理 如果當x→x0時f(x)和g(x)的極限都存在,且,則

例1 求下列極限:

例2 求(1);  (2).

 (1)x→3時,分子、分母的極限都是零,所以商的極限的運算法則不能應用,但是

分子、分母有公因式(x-3),在求x→3的極限時,要求x≠3,所以x-3≠0,

(2)這個極限與(1)類似,x→0時,分子、分母的極限都是零,所以商的極限的運算法則不能應用,但是分母有理化之后

分子、分母有公因式x,求x→0的極限時,要求x≠0,從而

例3 求.

 x→1時,分母的極限為零,分子的極限是-1,商的極限的運算法則不能應用,但其倒數的極限

利用無窮小與無窮大的關系可知 .

想一想

如下寫法是否正確?

例4 求下列極限:

 (1)先用x3去除分子及分母,然后取極限

(2)先用x3去除分子及分母,然后取極限

(3)由(2)可知

討論:有理函數怎樣求極限?能得出那些結果?寫出你的結論

例5 求.

 當x→∞時,分子及分母的極限都不存在,故商的極限的運算法則不能應用,因為,而

利用有界函數與無窮小的乘積仍為無窮小,得 .

注意

(1)運用極限運算法則時,只有各項極限都存在(除式還要分母不為零)才適用;

(2)如果所求極限呈現 等形式,不能直接用極限運算法則,必須先對原式進行恒等變形(約分、通分、有理化、變量代換等),然后再求極限;

(3)利用無窮小的性質以及無窮小與無窮大的關系求極限.

想一想

如下寫法是否正確?

例6 求,設函數

 求x→1的極限時,要求x≠1,所以

例7 如果,求

 因為當x>4時,,所以;而當x<4時,f(x)=8-2x,所以;左、右極限存在且相等,所以.

例8 求.

解 ,左、右極限不相等,所以不存在.

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