7.1　數列

本節重點知識：

1.數列的概念.

2.數列的表示法.

3.數列的通項公式.

7.1.1　數列的概念

引例　我國有用十二生肖紀年的習俗，每年都用一種動物來命名，12年輪回一次.2011年（農歷辛卯年）是21世紀的第一個兔年，請列出21世紀所有兔年的年份.

分析　由于12年就輪回一次，所以21世紀的第二個兔年的年份是

2011+12=2023

21世紀的第三個兔年的年份是

2011+12×2=2035，

……

21世紀第八個兔年的年份是

2011+12×7=2095.

把21世紀所有兔年的年份排成一列，得到

2011，2023，2035，2047，2059，2071，2083，2095.　?。?）

像（1）這樣按一定次序排列的一列數，稱做數列.

定義　按一定次序排列的一列數，稱做數列.在數列中的每一個數稱做這個數列的項，各項依次稱做這個數列的第1項（或首項）、第2項……第n項.比如，2011是數列（1）的第1項，2095是數列（1）的第8項.

我們還可以舉出一些數列的例子，例如，大于2小于10的自然數排成一列

3，4，5，6，7，8，9；　?。?）

正奇數從小到大依次排成一列

1，3，5，7，9，…；　?。?）

正整數的倒數排成一列

-1的1次冪，2次冪，3次冪，4次冪，…排成一列

-1，1，-1，1，-1，…；　?。?）

無窮多個1排成一列

1，1，1，1，1，1，…；（6）

這些都是數列.

項數有限的數列稱做有窮數列，項數無限的數列稱做無窮數列.例如上面數列（1）、（2）是有窮數列，數列（3）～（6）是無窮數列.

想一想

（1）請你舉出幾個實際生活中的數列的例子.

（2）根據數列的定義判斷，下面數的排列是數列嗎？

①0，1，0，1，0，1.

②2，2，2.

（3）根據數列的定義，判斷下面各題中的兩個數列是否是相同的數列.

①1，2，3，…和0，1，2，3，…；

②1，3，5，7，9和1，3，5，7，9，…；

7.1.2　數列的表示法

數列從第1項開始，按順序與正整數對應.所以數列的一般形式可以寫成

a1，a2，a3，…，an，…，

其中an是數列的第n項，稱做數列的通項，n稱做an的序號.并把數列簡記為{an}.例如，把數列

2，4，6，8，…，2n，…，

簡記為{2n}.把數列

簡記為

7.1.3　數列的通項公式

如果an（n=1，2，3，…）與n之間的關系可用

an=f（n）

來表示，那么這個關系式稱做這個數列的通項公式.例如：

把正整數從小到大排成數列1，2，3，…的通項公式是

an=n，

把正奇數從小到大排成數列1，3，5，…的通項公式是

an=2n-1.

想一想

下面各數列與正整數列有著密切關系，請分別寫出它們的通項公式：

（1）4，5，6，7，8，…；

（2）20，21，22，23，24，…；

（3）-1，-2，-3，-4，-5，…；

（4）0，1，2，3，4，…；

如果已知一個數列的通項公式，只要依次用正整數1，2，3，…去代替公式中的n，就可以求出數列中的各項.

例1　根據下面數列{an}的通項公式，分別寫出它們的前5項與第20項：

（2）an=（-1）n（2n+1）.

解　（1）在通項公式中依次取n=1，2，3，4，5，20，可得到

（2）在通項公式中依次取n=1，2，3，4，5，20，可得到

a1=-3，a2=5，a3=-7，a4=9，a5=-11，a20=41.

例2　寫出數列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數：

解　（1）數列前4項的分母都是序號加上1，分子都與序號相同，所以通項公式是

（2）數列前4項的分母都是序號加上1，分子都是分母的平方減去1，所以通項公式是

（3）數列的前4項的絕對值都等于序號與序號加上1的積的倒數，且奇數項為負，偶數項為正，所以通項公式是

練習

1.根據下列數列{an}的通項公式，說出它的前5項（口答）：

（1）an=n3；　?。?）an=n（n+2）；

（3）an=5×（-1）n+1；　?。?）an=1+（-1）n

2.觀察下列數列的特點，用適當的數填空，并寫出它的通項公式：

（1）2，4，（?。?，8，10，（　），14，…；an=_________；

（2）2，4，（　），16，32，（?。?，128，…；an=_________；

（3）（?。?，9，16，25，（?。?，49，…；an=_________；

（5）3，（?。?，1，0，-1，（?。?，-3，…；an=_________.

3.題組訓練：

寫出數列的一個通項公式，使它的前5項分別是下列各數：

（1）0，1，0，1，0，…；

（2）1，3，5，7，9，…；

（3）-1，2，-3，4，-5，…