第1章 數(shù)學(xué)建模基本知識(shí)

1.1 數(shù)學(xué)建模簡(jiǎn)介

1.1.1 什么是數(shù)學(xué)建模

提到數(shù)學(xué)，也許你的腦海里會(huì)浮出這樣一幅畫(huà)面：鴉雀無(wú)聲的教室，監(jiān)考老師用警惕的目光掃視著全場(chǎng)，考生們分秒必爭(zhēng)，瘋狂地寫(xiě)下心中那一道道數(shù)學(xué)難題的答案。

那什么是“數(shù)學(xué)建模”？

數(shù)學(xué)建模是指對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的某一特定對(duì)象，為了特定的目的，做出一些重要的簡(jiǎn)化和假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具得到一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，用它來(lái)解釋特定現(xiàn)象的現(xiàn)實(shí)性態(tài)，預(yù)測(cè)對(duì)象的未來(lái)狀況，提供處理對(duì)象的優(yōu)化決策和控制，設(shè)計(jì)滿足某種需要的產(chǎn)品等。

你玩過(guò)“人鬼過(guò)河”的游戲嗎？三個(gè)人和三個(gè)鬼要過(guò)河，只有一條船，船上最多可以乘兩個(gè)人或兩個(gè)鬼或一人一鬼，但河岸上鬼的數(shù)量不能大于人的數(shù)量，否則人會(huì)被鬼所吞噬。那么，怎樣合理設(shè)計(jì)過(guò)河路線才能保證這三個(gè)人安全渡到河的對(duì)岸呢？顯然這是一個(gè)鍛煉人的邏輯思維的游戲，也許你會(huì)一遍遍地嘗試，尋找合理的過(guò)河方法。而它，從邏輯思維角度分析就是一道數(shù)學(xué)建模題目。因此，我們可以通俗地說(shuō)，數(shù)學(xué)建模是生活中的智力游戲。

你喜歡旅游嗎？你想把全中國(guó)的每個(gè)省市的名勝景點(diǎn)都走一遍嗎？那么怎樣設(shè)計(jì)一條旅行路線才能讓我們的行程最短，所需費(fèi)用最少呢？或許你會(huì)打開(kāi)百度地圖，一遍遍地計(jì)算，尋找最短行程。但是走進(jìn)數(shù)學(xué)建模的世界，你會(huì)發(fā)現(xiàn)只需要在電腦上敲出幾行代碼，做一個(gè)小程序，就可以輕松地計(jì)算出最短距離。這就是數(shù)學(xué)建模里面著名的“TSP”問(wèn)題。顯然，我們也可以說(shuō)數(shù)學(xué)建模是幫助我們解決生活中的小問(wèn)題，讓我們更好地享受生活。

你們班有60人，現(xiàn)有一個(gè)出國(guó)留學(xué)的名額，那么你能夠擁有這個(gè)機(jī)會(huì)的可能性有多少？也許你會(huì)不假思索地給出答案：1/60。也許你的答案是正確的，但是從數(shù)學(xué)建模的角度分析，你的答案就不是那么有說(shuō)服力了，因?yàn)槟愫雎粤耸虑榈那疤釛l件。考慮到每個(gè)同學(xué)的家庭經(jīng)濟(jì)狀況及同學(xué)的性別、年齡、意愿等諸多因素，你出國(guó)留學(xué)的概率又會(huì)是多少呢？數(shù)學(xué)建模可以幫助我們解決這些學(xué)習(xí)或工作中的問(wèn)題。

講述了這三個(gè)生活中常見(jiàn)的小事，不知你對(duì)建模是否有了更進(jìn)一步的了解。從理論上講，數(shù)學(xué)建模，雖名曰數(shù)學(xué)，但又與純數(shù)學(xué)競(jìng)賽有著天壤之別。它既不是純粹的數(shù)學(xué)競(jìng)賽，也不是純粹的計(jì)算機(jī)競(jìng)賽，而是涉及多學(xué)科、多領(lǐng)域，考查學(xué)生處理實(shí)際問(wèn)題的綜合能力。它不像考試，更像是一個(gè)課題小組在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)完成一項(xiàng)任務(wù)。

鄭州大學(xué)的石東洋教授解釋道：“數(shù)學(xué)建模就是以各學(xué)科知識(shí)為基礎(chǔ)，利用計(jì)算機(jī)和網(wǎng)絡(luò)等工具，來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題的一種智力活動(dòng)。它既不是傳統(tǒng)的解題，也不同于其他賽事，而是更重視應(yīng)用與創(chuàng)新，以及動(dòng)手能力的考查。”

隨著社會(huì)的發(fā)展，數(shù)學(xué)在社會(huì)各領(lǐng)域中的應(yīng)用越來(lái)越廣泛，不僅運(yùn)用于自然科學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域，而且滲透到經(jīng)濟(jì)、軍事、管理及社會(huì)活動(dòng)的各個(gè)領(lǐng)域。但社會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)的需求并不只是需要專門(mén)從事數(shù)學(xué)研究的人才，而且需要在各部門(mén)中從事實(shí)際工作的人善于運(yùn)用數(shù)學(xué)的思維方法來(lái)解決他們每天面臨的大量的實(shí)際問(wèn)題。對(duì)于生活中復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)其內(nèi)部規(guī)律，用數(shù)學(xué)語(yǔ)言將其描述出來(lái)，進(jìn)而把這個(gè)復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)簡(jiǎn)化的數(shù)學(xué)問(wèn)題，這就是數(shù)學(xué)模型，建立數(shù)學(xué)模型的過(guò)程就是數(shù)學(xué)建模。當(dāng)然，復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題中有許多因素，在建立模型中不可能毫無(wú)遺漏地將其全部考慮在內(nèi)，只考慮其中最主要的因素就可以了，這樣就可以用數(shù)學(xué)工具和數(shù)學(xué)方法去解答工作生活中的實(shí)際問(wèn)題。

那么你見(jiàn)過(guò)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的場(chǎng)面是什么樣的嗎？它和常規(guī)的數(shù)學(xué)競(jìng)賽一樣兩個(gè)小時(shí)一張?jiān)嚲韱幔慨?dāng)然不是。有人這樣描述：全國(guó)乃至世界范圍內(nèi)的大學(xué)生，來(lái)自不同學(xué)院、不同專業(yè)的建模愛(ài)好者們，三人一隊(duì)，一起參加歷時(shí)三天三夜或四天四夜的建模比賽。他們有的在嫻熟地操作著電腦，聚精會(huì)神地凝視著電腦屏幕上的一篇篇文獻(xiàn)；有的兩眼緊緊盯著屏幕上來(lái)回滾動(dòng)的數(shù)字和符號(hào)，仿佛在看武俠小說(shuō)、偵探片、世界杯；有的則在堆積如山的建模書(shū)里翻來(lái)覆去地搜索著。每位建模者都有對(duì)賽題的獨(dú)特觀點(diǎn)和見(jiàn)解，他們彼此交流，只為找到自己建模思路中的某個(gè)“元件”，從而完善自己的建模大廈。當(dāng)然，數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽并沒(méi)有一個(gè)固定的答案，完成數(shù)學(xué)建模賽題的關(guān)鍵在于團(tuán)隊(duì)的創(chuàng)新能力。而人的創(chuàng)造力是沒(méi)有頂峰的，每個(gè)團(tuán)隊(duì)都應(yīng)竭盡全力，沒(méi)有最好，只有更好。因此每年全國(guó)評(píng)出的優(yōu)秀答卷幾乎都有不足之處，這并不奇怪，因?yàn)榇鹁淼膬?yōu)秀與否是相對(duì)而言的。

數(shù)學(xué)建模的益處當(dāng)然不僅僅在于比賽的過(guò)程使人增長(zhǎng)知識(shí)，開(kāi)闊視野，更在于對(duì)我們?nèi)蘸蟮膶W(xué)習(xí)或工作也有很大幫助。中國(guó)科學(xué)院攻讀空間物理博士學(xué)位的一位建模愛(ài)好者說(shuō)：“我目前的工作是分析衛(wèi)星數(shù)據(jù)，從中抽取相關(guān)物理規(guī)律。這是個(gè)非常煩瑣的過(guò)程，并且還需要學(xué)習(xí)一些計(jì)算機(jī)語(yǔ)言、編程序、看大量英文文獻(xiàn)、和導(dǎo)師及一些專家合作討論。可以說(shuō)，在數(shù)學(xué)建模活動(dòng)中鍛煉的這幾年，讓我對(duì)目前的這些困難能夠應(yīng)付自如。”

畢業(yè)后走入工作崗位的一位建模愛(ài)好者這樣描述：“目前我在一家大型電子商務(wù)公司做平臺(tái)運(yùn)營(yíng)，負(fù)責(zé)七個(gè)店鋪在四個(gè)平臺(tái)中的日常銷售。電子商務(wù)中無(wú)數(shù)的數(shù)據(jù)之間相互影響、相互依托，讓我更樂(lè)于用建模的思維去思考因子之間的相關(guān)性，進(jìn)行客戶的行為分析、地域分析，分析訪客量、瀏覽量、轉(zhuǎn)化率對(duì)成交金額的影響，提升店鋪DSR評(píng)分，提高轉(zhuǎn)化率，促進(jìn)成交金額，使我在平凡的工作中表現(xiàn)得更加自信，在復(fù)雜的數(shù)據(jù)之間更加從容。”

21世紀(jì)以來(lái)，人類已經(jīng)進(jìn)入到以計(jì)算機(jī)、網(wǎng)絡(luò)、數(shù)碼、光纖、多媒體為主要標(biāo)志的信息時(shí)代，定量化、數(shù)字化的技術(shù)得到了飛速發(fā)展，并應(yīng)用于各個(gè)領(lǐng)域，培養(yǎng)應(yīng)用型數(shù)字人才已迫在眉睫。數(shù)學(xué)建模，不僅豐富了大學(xué)生的課余生活，開(kāi)拓了他們的視野，讓全國(guó)乃至世界的大學(xué)生站在同一個(gè)平臺(tái)上角逐，更為他們以后順利走入工作崗位奠定了基礎(chǔ)。

現(xiàn)在，你該知道什么是數(shù)學(xué)模型和數(shù)學(xué)建模了吧！從錯(cuò)綜復(fù)雜的實(shí)際問(wèn)題中，經(jīng)過(guò)合理的分析、假設(shè)，抓住主要矛盾、忽略次要矛盾，得到一個(gè)用數(shù)學(xué)的符號(hào)和語(yǔ)言描述的表達(dá)式，這就是數(shù)學(xué)模型。綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，選擇適當(dāng)?shù)姆椒右越鉀Q就是數(shù)學(xué)模型的求解。這種從實(shí)際中提出問(wèn)題、建立數(shù)學(xué)模型到模型求解的完整過(guò)程就是數(shù)學(xué)建模。

1.1.2 初等數(shù)學(xué)模型案例

數(shù)學(xué)模型是將現(xiàn)象加以歸納、抽象的產(chǎn)物，它源于現(xiàn)實(shí)，又高于現(xiàn)實(shí)；只有當(dāng)數(shù)學(xué)建模的結(jié)果經(jīng)受住現(xiàn)實(shí)對(duì)象的檢驗(yàn)時(shí)，才可以用來(lái)指導(dǎo)實(shí)際，完成實(shí)踐——理論——實(shí)踐這一過(guò)程。

現(xiàn)實(shí)世界中有很多問(wèn)題，它的機(jī)理比較簡(jiǎn)單，一般用靜態(tài)、現(xiàn)態(tài)、確定性模型描述就能達(dá)到建模的目的，基本上可以用初等數(shù)學(xué)模型的方法來(lái)構(gòu)造和求解模型。

初等數(shù)學(xué)模型中的大多數(shù)問(wèn)題都是很早就提出來(lái)了，這些問(wèn)題簡(jiǎn)直像天方夜譚似的極其有趣，表面上看無(wú)從下手。而數(shù)學(xué)建模則是將原型進(jìn)行適當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化、提煉而構(gòu)成的一種原型代替物。這種代替物并不是原型原封不動(dòng)的復(fù)制品。原型有各個(gè)方面和各種層次的特征，模型只反映了與某種目的有關(guān)的那些方面和層次的特征，從而達(dá)到解決某個(gè)具體問(wèn)題的目的。

例1：人、貓、鳥(niǎo)、米均要過(guò)河，船上除1人劃船外，最多還能運(yùn)載1物，而人不在場(chǎng)時(shí)，貓要吃鳥(niǎo)，鳥(niǎo)要吃米，問(wèn)人、貓、鳥(niǎo)、米應(yīng)如何過(guò)河？

模型假設(shè)

人、貓、鳥(niǎo)、米要從河的南岸到河的北岸，由題意，在過(guò)河的過(guò)程中，兩岸的狀態(tài)要滿足一定條件，所以該問(wèn)題為有條件的狀態(tài)轉(zhuǎn)移問(wèn)題。

模型建立

我們用（w,x,y,z），w,x,y,z=0或1，表示南岸的狀態(tài)，例如（1,1,1,1）表示它們都在南岸，（0,1,1,0）表示貓、鳥(niǎo)在南岸，人、米在北岸；很顯然有些狀態(tài)是允許的，有些狀態(tài)是不允許的，用窮舉法可列出全部10個(gè)允許狀態(tài)向量，(1,1,1,1)(1,1,1,0)(1,1,0,1)(1,0,1,1)(1,0,1,0)(0,0,0,0)(0,0,0,1)(0,0,1,0)(0,1,0,0)(0,1,0,1)。

模型求解

將10個(gè)允許狀態(tài)用10個(gè)點(diǎn)表示，并且僅當(dāng)某個(gè)允許狀態(tài)經(jīng)過(guò)一個(gè)允許決策仍為允許狀態(tài)，則這兩個(gè)允許狀態(tài)間存在連線，從而構(gòu)成一個(gè)圖，如圖1-1所示。在其中尋找一條從（1,1,1,1）到（0,0,0,0）的路徑，這樣的路徑就是一個(gè)解，可得下述路徑圖。

由圖1-1可見(jiàn)，以上兩個(gè)解都是經(jīng)過(guò)7次運(yùn)算完成的，均為最優(yōu)解。

模型推廣

這里講述的是一種規(guī)格化的方法，所建立的多步?jīng)Q策模型可以用計(jì)算機(jī)求解，從而具有推廣的意義，適當(dāng)?shù)卦O(shè)置狀態(tài)和決策，確定狀態(tài)轉(zhuǎn)移律，建立多步?jīng)Q策模型，是有效解決很廣泛的一類問(wèn)題的方法。

例2：某新婚夫婦急需一套屬于自己的住房。他們看到一則房產(chǎn)廣告：“名流花園之高尚住宅公寓，供工薪階層選擇。一次性付款優(yōu)惠價(jià)40.2萬(wàn)元。若不能一次性付款也沒(méi)關(guān)系，只付首期款為15萬(wàn)元，其余每月1977.04元等額償還，15年還清（公積金貸款月利息為3.675‰）。問(wèn)貸款額為多少？

模型假設(shè)

貸款期限內(nèi)利率不變；銀行利息按復(fù)利計(jì)算。

符號(hào)定義

A（元）：貸款額（本金）；n（月）：貨款期限；r：月利率；B（元）：月均還款額；Ck：第k個(gè)月還款后的欠款。

模型建立

將該遞推數(shù)列變形為：

利用等比數(shù)列得到一般項(xiàng)公式為：

由有：

模型求解

帶入：=180、=0.003675、=1977.04

則：=260000（元）（因每月還款1977.04只能精確到分，實(shí)際計(jì)算結(jié)果為259999.4元）。

例3：世界紀(jì)錄的賽跑數(shù)據(jù)如表1-1所示。

研究運(yùn)動(dòng)員跑過(guò)的距離長(zhǎng)度是怎么影響其成績(jī)的？

模型假設(shè)

運(yùn)動(dòng)員的成績(jī)僅與跑過(guò)的距離長(zhǎng)度相關(guān)，即不考慮運(yùn)動(dòng)員的自身差異及場(chǎng)地、環(huán)境等差異的影響。

模型建立

在坐標(biāo)系上將數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)一一標(biāo)出來(lái)，如圖1-2所示，這些點(diǎn)大致分布在一條直線附近，猜想兩者之間有線性關(guān)系。

模型修正

由于數(shù)據(jù)點(diǎn)并不嚴(yán)格在一條線上，設(shè)想其誤差由長(zhǎng)度以外的其他因素所導(dǎo)致，因此，模型修改為

模型求解

利用二元函數(shù)最小值的方法，不難求得：

例4：投擲鉛球的最佳角度問(wèn)題。

用數(shù)學(xué)方法研究體育運(yùn)動(dòng)是從20世紀(jì)70年代開(kāi)始的。1973年，美國(guó)的應(yīng)用數(shù)學(xué)家J·B·開(kāi)勒發(fā)表了賽跑的理論，并用他的理論訓(xùn)練中長(zhǎng)跑運(yùn)動(dòng)員，取得了很好的成績(jī)。幾乎同時(shí)，美國(guó)的計(jì)算專家艾斯特運(yùn)用數(shù)學(xué)和力學(xué)，并借助計(jì)算機(jī)研究了當(dāng)時(shí)鐵餅投擲世界冠軍的投擲技術(shù)，從而提出了他自己的研究理論，據(jù)此改進(jìn)了投擲技術(shù)的訓(xùn)練措施，并使這位世界冠軍在短期內(nèi)將成績(jī)提高了4?m。這些都說(shuō)明了數(shù)學(xué)在體育訓(xùn)練中發(fā)揮著越來(lái)越明顯的作用。

在鉛球投擲訓(xùn)練中，教練關(guān)心的核心問(wèn)題是投擲距離。而距離的遠(yuǎn)近主要取決于兩個(gè)因素：速度和角度。在這兩個(gè)因素中，哪個(gè)更為重要呢？

模型假設(shè)

鉛球投擲訓(xùn)練涉及的變量很多，為簡(jiǎn)化問(wèn)題，我們?cè)谙旅娴哪Ｐ椭校瑢⒉豢紤]鉛球運(yùn)動(dòng)員在投擲區(qū)域內(nèi)身體的轉(zhuǎn)動(dòng)，只考慮鉛球的出手速度與投射角度這兩個(gè)因素。并作如下假設(shè)：

（1）忽略鉛球在運(yùn)行過(guò)程中的空氣阻力作用；

（2）投射角度與投射初速度是相互獨(dú)立的兩個(gè)量；

（3）將鉛球視為一個(gè)質(zhì)點(diǎn)。

模型建立

先考慮鉛球從地平面以初速度ν和角度θ投擲出的情形。如圖1-3所示，鉛球在點(diǎn)P處落地。

先來(lái)求鉛球的運(yùn)動(dòng)方程。

設(shè)鉛球在時(shí)刻t的動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y)，得運(yùn)動(dòng)方程：

消去方程中的參變量t，得到關(guān)于x,y的關(guān)系式：

為了求出鉛球落地處的坐標(biāo)，只需令y=0，解得：

其中x1是鉛球起點(diǎn)的坐標(biāo)，x2是鉛球落地時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)。

若ν固定，則投擲距離是投射角θ的函數(shù)。當(dāng)時(shí)，投擲距離達(dá)到最大值，這時(shí)的投擲距離為。這就是說(shuō)，按角投擲時(shí)，投擲的距離最遠(yuǎn)。

然而，上述模型與實(shí)際是有差距的。這是因?yàn)椋U球不是從地面上出手的，而是從一定的高度處出手的。因而上面的方程應(yīng)調(diào)整為：

消去t，得到：

令y=0，得方程：

解之得：

舍去負(fù)根，得到點(diǎn)P的坐標(biāo)為：

即鉛球的射程為：

數(shù)值模擬：

取g=10?m/s2，h=1.6?m，利用這一公式，列表給出速度與角度對(duì)投擲距離的影響，如表1-2所示。

從表1-2可以看出，當(dāng)ν =11.5?m/s時(shí)，最佳角度為（可用微積分知識(shí)得到）。當(dāng)角度在到之間變化時(shí)，產(chǎn)生的距離差是0.097?m，角度%的偏差引起距離0.06%的偏差。速度從11m/s變到12m/s引起了距離從14.032?m到16.359?m的偏差，也就是說(shuō)，速度9%的增加導(dǎo)致了距離16.8%增加。這個(gè)結(jié)果表明，教練在訓(xùn)練運(yùn)動(dòng)員時(shí)，應(yīng)集中主要精力來(lái)增加投擲的初始速度。

模型評(píng)價(jià)

（1）上面的模型比較粗糙，還有許多因素沒(méi)有考慮到，例如運(yùn)動(dòng)員的身體轉(zhuǎn)動(dòng)，投擲者的手臂長(zhǎng)度，肌肉的爆發(fā)力、鉛球的質(zhì)量，等等。加上以上諸因素后，得出的公式自然會(huì)更精確，但處理起來(lái)會(huì)復(fù)雜得多。

（2）關(guān)于速度與角度的偏差百分率的計(jì)算，是否可以比較還值得商榷。

（3）鉛球投擲問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，可以應(yīng)用于鐵餅、標(biāo)槍或籃球投籃等投擲問(wèn)題，讀者不妨用類似上面的方法進(jìn)行研究。

當(dāng)實(shí)際問(wèn)題需要我們對(duì)所研究的現(xiàn)實(shí)對(duì)象提供分析、預(yù)報(bào)、決策、控制等方面的定量結(jié)果時(shí)，往往都離不開(kāi)數(shù)學(xué)的應(yīng)用，而建立數(shù)學(xué)模型則是這個(gè)過(guò)程的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。

1.1.3 數(shù)學(xué)建模的基本步驟與論文寫(xiě)作

1.1.3.1 數(shù)學(xué)建模的基本步驟

通過(guò)以上幾個(gè)例子，我們發(fā)現(xiàn)，建立數(shù)學(xué)模型的基本步驟就是解決一個(gè)實(shí)際問(wèn)題的基本步驟。由于實(shí)際問(wèn)題的背景、性質(zhì)、建模的目的等方面不同，因此，建模要經(jīng)過(guò)哪些步驟并沒(méi)有固定的模式和標(biāo)準(zhǔn)。數(shù)學(xué)建模的基本步驟包括以下7個(gè)主要部分。

1.模型準(zhǔn)備及問(wèn)題分析

當(dāng)看到競(jìng)賽題目時(shí)，首先，需要剖析問(wèn)題，抓住問(wèn)題本質(zhì)和主要因素，確定問(wèn)題的關(guān)鍵詞，查閱資料和文獻(xiàn)，了解問(wèn)題的實(shí)際背景、相關(guān)數(shù)據(jù)或相關(guān)研究進(jìn)展情況，獲得關(guān)鍵資料，并初步確定研究問(wèn)題的類型。競(jìng)賽的問(wèn)題都是來(lái)自實(shí)際生活中的各個(gè)領(lǐng)域，并沒(méi)有固定的方法和標(biāo)準(zhǔn)的答案。所以，要明確問(wèn)題中所給的信息點(diǎn)，把握好解決問(wèn)題的方向和目的，仔細(xì)分析問(wèn)題關(guān)鍵詞和數(shù)據(jù)信息，可適當(dāng)補(bǔ)充一些相關(guān)信息和數(shù)據(jù)（具有一定權(quán)威性），為接下來(lái)的模型建立奠定基礎(chǔ)。

2.模型假設(shè)

競(jìng)賽題目都是來(lái)自實(shí)際生活，所涉及的方面較廣，受影響的因素較多，而在建模過(guò)程中不可能面面俱到，故需結(jié)合問(wèn)題的實(shí)際意義，適當(dāng)?shù)貙⒁恍┮蛩睾?jiǎn)化，但不能對(duì)問(wèn)題主要因素影響太大。抓住問(wèn)題關(guān)鍵、忽略次要因素，進(jìn)行合理化的簡(jiǎn)要假設(shè)，這是為建模過(guò)程中排除一些較為難處理的情況，使建立的模型更趨優(yōu)化和合理，也是評(píng)價(jià)一個(gè)模型優(yōu)劣的重要條件。

3.模型建立

通過(guò)所做的分析和假設(shè)，結(jié)合相關(guān)的數(shù)學(xué)基本原理和理論知識(shí)，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，可以用數(shù)學(xué)語(yǔ)言、符號(hào)進(jìn)行描述和表示問(wèn)題的內(nèi)在現(xiàn)象和規(guī)律。結(jié)合相關(guān)學(xué)科的專門(mén)知識(shí)，根據(jù)所提供的要求和信息，建立一個(gè)關(guān)于問(wèn)題中主要變量與主要因素間的數(shù)學(xué)規(guī)律模型，可以以數(shù)學(xué)方程式、圖形、表格、數(shù)據(jù)和算法程序等形式表示。但在建模過(guò)程中應(yīng)多創(chuàng)新，不要一味效仿，可以將多個(gè)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行穿插和結(jié)合，如基于K-means的粒子群改進(jìn)算法。還可以在算法程序上進(jìn)行改進(jìn)和優(yōu)化，體現(xiàn)模型的創(chuàng)新性。

4.模型求解

在模型求解過(guò)程中，會(huì)用到傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)方法，如解方程、公式證明、統(tǒng)計(jì)分析等，但目前更廣泛使用的是數(shù)學(xué)軟件和計(jì)算機(jī)技術(shù)，如MatLab、Lingo、SPSS等，有時(shí)還需要掌握一門(mén)編程語(yǔ)言。所以需要具備針對(duì)實(shí)際問(wèn)題學(xué)習(xí)新知識(shí)的能力，靈活應(yīng)用新知識(shí)并將其與實(shí)際問(wèn)題結(jié)合以對(duì)模型求解。

5.結(jié)果分析與檢驗(yàn)

對(duì)所求的結(jié)果，針對(duì)問(wèn)題的實(shí)際情況和意義進(jìn)行分析。可以通過(guò)誤差分析、靈敏度分析，來(lái)表現(xiàn)模型解決實(shí)際問(wèn)題的效果及實(shí)際應(yīng)用的范圍。通過(guò)誤差分析，可以適當(dāng)調(diào)整模型，或提出出現(xiàn)誤差的可能原因或解決的方案；靈敏度分析是針對(duì)某些主要參數(shù)的，可以確定模型中主要變量和參數(shù)的誤差允許范圍。有時(shí)需要通過(guò)將所得數(shù)據(jù)進(jìn)行方差、標(biāo)準(zhǔn)差、t檢驗(yàn)或f檢驗(yàn)等。通過(guò)分析和檢驗(yàn)，充分表現(xiàn)模型的合理性和可行性。

6.論文寫(xiě)作

數(shù)學(xué)建模比賽，不僅需要我們利用各種數(shù)學(xué)、物理、智能算法等來(lái)解決問(wèn)題，還需要將研究成果撰寫(xiě)成論文，以電子版形式上交。按照數(shù)學(xué)建模的基本步驟，建立一個(gè)恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型并求解，使參賽者清晰明了地表達(dá)解題思路，以展示自己能力，也是評(píng)委評(píng)定一篇論文好壞的依據(jù)。所以完成一篇高質(zhì)量的競(jìng)賽論文不僅能展示自我才能，也能為競(jìng)賽加分。

7.模型應(yīng)用

以上是將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解并證明。在進(jìn)行大量研究和演繹后，最終還需將其回歸到實(shí)際，看其是否具有合理性和可行性，這需要用實(shí)際信息或數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證。

以下為三種數(shù)學(xué)建模基本步驟，可根據(jù)個(gè)人所需對(duì)各個(gè)部分進(jìn)行調(diào)節(jié)，如表1-3所列。

1.1.3.2 數(shù)學(xué)建模的論文寫(xiě)作

下面按照第一種數(shù)學(xué)建模基本步驟，就論文寫(xiě)作部分進(jìn)行詳細(xì)敘述。

1.摘要

摘要是一篇建模比賽論文的整體面貌，評(píng)委對(duì)論文第一輪評(píng)審就是通過(guò)對(duì)摘要進(jìn)行篩選，所以對(duì)于每個(gè)參賽隊(duì)來(lái)說(shuō)，寫(xiě)好摘要，是獲獎(jiǎng)較為重要的一步，也是論文進(jìn)一步得到評(píng)委審批的關(guān)鍵。

摘要的字?jǐn)?shù)一般在400～800字，但其內(nèi)容卻包含了參賽隊(duì)對(duì)題意理解、模型類型、建模思路、采用的求解方法及求解思路、算法特點(diǎn)、靈敏度分析、模型檢驗(yàn)、主要數(shù)值結(jié)果和結(jié)論等。

在摘要下面一行，還需列出3～5個(gè)關(guān)鍵詞，用來(lái)彰顯競(jìng)賽論文的主要內(nèi)容。

2.問(wèn)題重述（或問(wèn)題的提出與重述）

通過(guò)自己對(duì)題意的理解，用自己的語(yǔ)言重新描述問(wèn)題。如果問(wèn)題本身很簡(jiǎn)短，可以抄題，一般情況下不建議抄題。需要時(shí)，可以結(jié)合問(wèn)題的背景簡(jiǎn)明扼要地說(shuō)明解決問(wèn)題的意義所在。

3.問(wèn)題分析

需要抓住題目的關(guān)鍵詞和主要目的及要求，分析要中肯、確切。依據(jù)的原理要明確，描述要簡(jiǎn)明扼要，可列出關(guān)鍵步驟，切記不要冗長(zhǎng)，煩瑣。對(duì)問(wèn)題的分析，可以作為第三部分，也可以將其針對(duì)每個(gè)問(wèn)題寫(xiě)在模型建立中。建議采用流程圖，使思路表述更清晰。

4.模型假設(shè)

在對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析后，針對(duì)問(wèn)題的主要因素，舍棄次要因素的影響，采用假設(shè)的方式，使我們解決的問(wèn)題簡(jiǎn)化，模型更合理化。這部分內(nèi)容，可以單獨(dú)寫(xiě)，也可以在模型的建立時(shí)根據(jù)所需要情況再進(jìn)行描述。

5.符號(hào)說(shuō)明

對(duì)模型使用的變量加以說(shuō)明，以簡(jiǎn)要的文字表述各字母的意義，其中各個(gè)主要符號(hào)的大小寫(xiě)、英語(yǔ)和阿拉伯文字，要與正文中的符號(hào)一致。符號(hào)說(shuō)明太多時(shí)，建議采用表格形式。有時(shí)可將其分布在模型的建立中。

6.模型建立

明確題意后，簡(jiǎn)述基本思路。首先，簡(jiǎn)要介紹利用的基本原理和基本思想，再進(jìn)行構(gòu)建基本模型，如數(shù)學(xué)表達(dá)式、構(gòu)建方案、構(gòu)造圖、算法流程圖等，要明確說(shuō)明解題的思路，有邏輯性、合理性、可行性，敘述完整。結(jié)合實(shí)際問(wèn)題，改進(jìn)和完善基本模型，使其能有效地解決問(wèn)題。

7.模型求解

采用蟻群算法、模擬退火、遺傳算法、元胞自動(dòng)機(jī)、蒙特卡洛等一些智能算法時(shí)，要簡(jiǎn)要寫(xiě)明算法步驟，要闡明使用理由。計(jì)算時(shí)將一些必要的步驟列出來(lái)，不用將中間的計(jì)算過(guò)程一一列出。

8.模型檢驗(yàn)

在模型求解后，采用一些方法進(jìn)行檢驗(yàn)。可以采用原始數(shù)據(jù)和查找的數(shù)據(jù)處理效果進(jìn)行對(duì)比檢驗(yàn)；也可以采用對(duì)結(jié)果的t檢驗(yàn)、f檢驗(yàn)等，若誤差較大時(shí)，可分析原理，進(jìn)行改進(jìn)或修正。

9.模型評(píng)價(jià)和推廣

這里需要強(qiáng)調(diào)的是，衡量一個(gè)模型的優(yōu)劣在于它的應(yīng)用效果，而不是采用了多么高深的數(shù)學(xué)方法。進(jìn)一步說(shuō)，如果對(duì)于某個(gè)實(shí)際問(wèn)題，我們用初等數(shù)學(xué)的方法和高等數(shù)學(xué)的方法建立了兩個(gè)模型，它們的應(yīng)用效果相差無(wú)幾，那么受到人們歡迎并采用的一定是前者而非后者。

模型推廣，可以采用將原題要求進(jìn)行擴(kuò)展，進(jìn)一步討論模型的實(shí)用性和可行性；還可以提出問(wèn)題的展望。

10.參考文獻(xiàn)

論文提及或是直接引用的文獻(xiàn)、引用數(shù)據(jù)的出處等，需要在這部分進(jìn)行羅列。常用的文獻(xiàn)表述形式如下[1]：

（1）公開(kāi)發(fā)表的雜志。

［序號(hào)］作者，文章名字［文獻(xiàn)類型］，刊物名，出版年，出版單位，卷號(hào)（期號(hào)），起止頁(yè)碼。

如：［5］李海芳，楊紅云，張英等.四氧化三鐵/單壁碳納米管磁性復(fù)合納米粒子分散固相微萃取——高效液相色譜法測(cè)定牛奶中的香精添加劑［J］.色譜，2014，(4)413～418.

（2）公開(kāi)出版的書(shū)籍。

［序號(hào)］作者，書(shū)名［M］，版次，出版地，出版單位，出版年；起止頁(yè)碼.

如：［3］唐煥文，賀明峰.數(shù)學(xué)模型引論［Ｍ］.北京：高等教育出版社，2001.

（3）網(wǎng)頁(yè)資料類。

［序號(hào)］作者，資源標(biāo)題，網(wǎng)址，訪問(wèn)時(shí)間（年月日）。

如：能斯特方程，http://baike.baidu.com/view/404720.htm?fromtitle=能斯特方程式&fromid=1214555&type=syn，2014-11-28.

英文寫(xiě)作也有這樣的要求，一般我們可以采用上述格式。

其中的參考文獻(xiàn)類型標(biāo)識(shí)字母有：J—期刊、M—專著、N—報(bào)紙、C—論文集、D—學(xué)士論文、P—專利、R—報(bào)告、S—標(biāo)準(zhǔn)。

11.附錄

這部分不屬于論文的正文內(nèi)容，是一些很重要的計(jì)算過(guò)程、算法程序，以及一些數(shù)據(jù)表格等。

古訓(xùn)有云：讀萬(wàn)卷書(shū)，行萬(wàn)里路。一個(gè)優(yōu)秀的學(xué)習(xí)者不僅要掌握理論上的知識(shí)，更應(yīng)將所學(xué)的知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際中，不斷在實(shí)踐中提升自我。