3.2 SCA算法原理

一般來說，基于群體的優化技術是以一組隨機解開始優化過程的。該組隨機解由目標函數反復求值，并由優化技術的核心規則集進行改進。由于基于群體的優化技術是隨機地尋找優化問題的最優解的，因此不能保證在每次運行中都找到一個解。然而，隨著隨機解的數量和優化步驟（迭代）的增加，找到全局最優解的概率將增加。

盡管不同的基于隨機解的優化算法之間存在差異，但其共同點是將優化過程劃分為兩個階段：探索階段與開發階段[164]。在探索階段，一種優化算法將解集中的隨機解突然結合起來，以較高的隨機性尋找搜索空間的有希望區域。在開發階段，隨機解是逐漸變化的，隨機變化要比探索階段小得多。

SCA算法是一種基于群體的優化算法，它主要依賴正余弦算子使搜索代理朝目標方向移動。該算法基于以下位置更新方程：

式中，為第t次迭代時，當前解在第i維中的位置；r1～r3為隨機數；為目標點在第i維中的位置。于是有：

式中，r4是[0，1]中的一個隨機數。

如式（3.3）所示，SCA中有4個主要參數：r1～r4。r1指示下一個位置s區域（或移動方向），該區域可以位于解和目標之間的空間，也可以位于目標之外。r2定義了朝向目標或遠離目標移動的距離。為了隨機地加強（r3＞1）或減弱（r3＜1）目標在定義距離時的影響，r3為目標帶來一個隨機權重。最后，在式（3.3）中，r4在正弦分量和余弦分量之間均勻切換。

由于式（3.3）中使用了正弦函數和余弦函數，所以這個算法被命名為正余弦算法（SCA）。圖3.1顯示了該算法如何在搜索空間中定義兩個解之間的空間。需要注意的是，雖然圖3.1中顯示了一個二維模型，但實際上可以擴展到更高的維度。正弦函數和余弦函數的循環模式允許一個解圍繞另一個解重新定位。這可以保證利用兩個解之間定義的空間。為了探索搜索空間，解還應該能夠在其對應目標之間的空間之外進行搜索。

從圖3.1可以看出，當搜索代理進入[-2，1]和（1，2）時，當前解將離開目標，探索搜索空間；但是，當搜索代理在[-1，1]中移動時，當前的解將向目標移動并利用搜索空間。

算法應該能夠平衡探索和開發，找到搜索空間中有希望的區域，并最終收斂到全局最優。眾所周知，探索和開發階段尋求相互矛盾的目標。因此，為了平衡探索和開發，在優化過程中利用下式自適應地改變r1的值：

式中，t為當前迭代；T為最大迭代次數；a為常數。圖3.2顯示了隨著迭代次數的增加，正弦函數值和余弦函數值的范圍是如何減小的。

從圖3.2可以看出，隨著迭代次數的增加，搜索空間的范圍逐漸縮小，開發變得越來越重要。此外，圖3.2（b）的范圍小于圖3.2（a）的范圍，這表明，a=2時比a=3時更容易進入搜索空間的開發階段，但探索能力較弱。也就是說，參數a決定了搜索空間的探索和開發之間的平衡。在本章中，將參數模型設為a=2。

SCA算法的偽代碼如算法3.1所示。該算法首先通過一組隨機解啟動優化的過程，然后保存到目前為止獲得的最佳解，將其指定為目標解，并更新與之相關的其他解。同時，隨著迭代次數的增加，對正弦函數值和余弦函數值的范圍進行了更新，以強調對搜索空間的開發。當迭代次數超過最大迭代次數時，算法終止優化過程。然而，任何其他終止條件，如最大迭代次數或得到的全局最優解的精度都可以被考慮。

通過以上介紹，從理論上可以確定優化問題的全局最優解，理由如下。

① SCA算法為給定的問題創建并改進了一組隨機解決方案，因此與基于個人的算法相比，SCA算法在本質上受益于較高的探索性能，從而避免了局部優化。

② 當正弦函數和余弦函數返回值大于或小于-1時，搜索空間的不同區域。

③ 當正弦函數和余弦函數返回值在-1和1之間時，搜索空間中有希望的區域被利用。

④ 該算法利用正弦函數和余弦函數的自適應范圍，實現了由探索到開發的平穩過渡。

⑤ 全局最優解的最佳逼近作為目標點存儲在一個變量中，在優化過程中不會丟失。

⑥ 由于解總是圍繞目前得到的最優解更新位置，所以在優化過程中搜索空間的最優區域是有趨勢的。

⑦ 由于該算法將優化問題視為黑盒問題，所以只要問題表述得當，就可以很容易地將其應用到不同領域的問題中。

為了說明SCA算法的收斂性能，選取23個基準函數（見附錄A）中的F1、F9、F11和F14進行測試。參數設置如下：種群大小為30；迭代次數為1000。測試函數和收斂曲線如圖3.3所示。

從圖3.3中可以看出，單峰函數和多峰函數的測試中均具有明顯的收斂性。因此，可以將其用在目標跟蹤上，可看作在圖像上有多個變量時的求最優解問題。