2.4 矩陣的運算

MATLAB矩陣運算法則，既要符合一維數(shù)組運算法則，又要符合線性代數(shù)運算規(guī)則。只需使用簡單的幾個函數(shù)，即可求解線性代數(shù)大部分問題。

2.4.1 矩陣的運算指令

MATLAB矩陣的運算指令及含義如表2-5所示。

2.4.2 矩陣的加減法

兩個同型矩陣加減法的運算規(guī)則是對應(yīng)元素相加減。若行數(shù)和列數(shù)不同的兩個矩陣進行相加或相減，則顯示出錯。標(biāo)量可以同任意矩陣相加減。

【例2-12】 若A、B分別為3階1方陣和3階魔方陣，標(biāo)量k為6，試進行加減運算。

2.4.3 矩陣的乘法

1．兩個矩陣相乘

按線性代數(shù)中矩陣乘法運算進行，即前面矩陣的各行元素，分別與后面矩陣的各列元素對應(yīng)相乘并相加。

2．矩陣的數(shù)乘

數(shù)乘矩陣是數(shù)與矩陣每一個元素相乘。

3．兩矩陣點乘

按數(shù)組運算規(guī)則，即A.*B表示A與B對應(yīng)元素相乘。

【例2-13】 若A、B、k取值同【例2-12】，試進行乘法運算。

2.4.4 矩陣的左除和右除

1．除法運算

除法運算有左除（\）和右除（/）兩種。若AB=C，則B=A\C，即B等于A左除C；A=C/B，即A等于C右除B。這兩種運算常用于解線性方程組，即X=A\B是方程組AX=B的解，X=B/A是方程組XA=B的解。

2．兩矩陣點除

按數(shù)組運算規(guī)則，即A./B表示A中元素與B中元素對應(yīng)相除。

【例2-14】 對【例2-13】中的結(jié)果D2、D3進行除法運算。

2.4.5 逆矩陣

1．逆矩陣函數(shù)

對于n階方陣A，如果存在AB=BA=I（單位矩陣），則稱B為A的逆矩陣。逆矩陣的函數(shù)為inv（A），也可以直接用矩陣的左除、右除和冪方運算來求逆矩陣，即A\eye（n）、eye（n）/A和A^（-1）。若A為奇異陣，將給出警告信息。

【例2-15】 對【例2-13】中的結(jié)果D3，求其逆矩陣。

上述4種命令運行結(jié)果都為

2．廣義逆矩陣函數(shù)

廣義逆矩陣又稱偽逆矩陣。當(dāng)矩陣A的行數(shù)與列數(shù)不等，或矩陣A的行列式為0時，則不存在逆矩陣。但存在廣義逆矩陣P，滿足APA=A，PAP=P，（AP）T=AP，（PA）T=PA。廣義逆矩陣的函數(shù)為pinv（），其用法可參見2.5.4節(jié)超定方程組部分。

2.4.6 方陣的行列式

方陣A的行列式，用det（A）函數(shù)計算。

【例2-16】 已知矩陣，求矩陣A的行列式。

2.4.7 矩陣的特征值和特征向量

對于n階方陣A，其特征值和特征向量用函數(shù)eig（A）來求。

【例2-17】 求矩陣的特征值和特征向量。

故求得矩陣A的特征值分別為1、2、5，且其對應(yīng)的特征向量分別為（1 0 0）T、（1 1 0）T和（1 4 4）T。

2.4.8 矩陣元素的求和

對矩陣的元素按列或按行求和，可以利用函數(shù)sum（）來進行。

例如，對【例2-17】矩陣A，分別按列和行求其和。

2.4.9 矩陣元素的求積

對矩陣的元素按列或按行求積，可以利用函數(shù)prod（）來進行。

例如，對【例2-16】矩陣A，分別按列和行求其積。

2.4.10 矩陣元素的差分

對矩陣的元素按列或按行計算差分，可以利用函數(shù)diff（）來進行。

例如，對【例2-16】矩陣A，分別按列和行求出各元素的一次、二次差分。