2.7 戴維南定理與諾頓定理

戴維南定理和諾頓定理是線性含源二端（單端口）網(wǎng)絡(luò)的一個重要定理和特性。如果將有源二端網(wǎng)絡(luò)等效成電壓源形式，應(yīng)用的就是戴維南定理；如果將有源二端電路等效成電流源形式，應(yīng)用的就是諾頓定理。利用這兩個定理，能夠比較容易地計算復(fù)雜電路中某一支路的電流和電壓。戴維南定理與諾頓定理又稱為等效電源定理。

2.7.1 戴維南定理

戴維南定理可陳述如下：任一線性含獨(dú)立電源的二端電路對外電路而言，總可以等效為一個理想電壓源與電阻串聯(lián)構(gòu)成的實(shí)際電源的電壓源模型，此實(shí)際電源的理想電壓源參數(shù)等于原二端網(wǎng)絡(luò)端口處的開路電壓，其串聯(lián)電阻（內(nèi)阻）等于原二端網(wǎng)絡(luò)去掉內(nèi)部獨(dú)立電源之后，從端口處得到的等效電阻。戴維南定理描述用圖如圖2-33所示。

圖2-33中Uoc稱為開路電壓，Ro稱為戴維南等效電阻，N網(wǎng)絡(luò)為含獨(dú)立電源二端網(wǎng)絡(luò)，No為N網(wǎng)絡(luò)去掉獨(dú)立電源之后所得到的二端網(wǎng)絡(luò)。

可以由如下方法證明戴維南定理：設(shè)一線性有源二端網(wǎng)絡(luò)N與外電路相聯(lián)，如圖2-34a所示，端口ab處的電壓為U，電流為I。現(xiàn)在來尋求對外電路而言N網(wǎng)絡(luò)的最等效電路。首先，應(yīng)用替代定理，將外電路用一個電流源IS=I代替，如圖2-34b所示。

根據(jù)疊加定理，N網(wǎng)絡(luò)端口處的電壓U可以看作是由網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部電源及網(wǎng)絡(luò)外部電流源Is共同作用的結(jié)果，即

U=U′+U″ （2-12）

式（2-12）中第一項U′是當(dāng)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部電源作用、去掉（將電流源開路）外部電流源時的端電壓，即含獨(dú)立電源的二端網(wǎng)絡(luò)N的開路電壓，即

U′=Uoc （2-13）式（2-12）的第二項U″是當(dāng)外部電流源單獨(dú)作用、N網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部獨(dú)立源置零（電壓源短路，電流源開路）時的端口電壓，此時的N網(wǎng)絡(luò)變成相應(yīng)的內(nèi)部不含獨(dú)立電源的No網(wǎng)絡(luò)，No網(wǎng)絡(luò)對外可等效為一個內(nèi)阻Ro，由圖2-34c所示可得

U″=-RoIS=-RoI（2-14）

由式（2-13）和式（2-14）得

U=Uoc-RoI（2-15）

根據(jù)式（2-15）畫出的電路正好是一個電壓源串聯(lián)電阻支路，電壓源的電壓等于含獨(dú)立源二端網(wǎng)絡(luò)的開路電壓Uoc，串聯(lián)電阻等于將N網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部所有獨(dú)立電源置零后得到的No網(wǎng)絡(luò)從端口看進(jìn)去的輸入電阻Ro，如圖2-34d所示，這就證明了戴維南定理。

應(yīng)用戴維南定理的關(guān)鍵是求含源二端網(wǎng)絡(luò)的戴維南等效電路參數(shù)Uoc和Ro。

Uoc的求法一般有兩種：一種是將外電路去掉，將端口ab處開路，由N網(wǎng)絡(luò)計算開路電壓Uoc；另一種是實(shí)驗測量的辦法，將ab端口開路，測量開路處的電壓Uoc，從而使Ro的求法也分為測量法和計算法。測量法是在測得Uoc的基礎(chǔ)上，再將ab端口短接，測得短接處的短路電流ISc，則

Ro=Uoc/ISc

計算Ro的方法又可分成以下3種：

1）在計算ab端口開路電壓Uoc之后，將ab端口短接，求短接處的短路電流ISc，從而Ro=Uoc/ISc。

2）去掉N網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部的獨(dú)立電源，用串、并聯(lián)化簡和Y-△變換等辦法計算從ab端口看進(jìn)去的等效電阻Ro。

3）去掉N網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部的獨(dú)立電源，在ab端口處加電壓源U，求端口處電流I，則Ro=U/I，或是端口加電流源I，求端口處電壓U從而求得Ro。

值得指出的是，遇到含受控源的電路求戴維南等效電路的Ro時，只能用上述1）和3）兩種方法；且同疊加定理一樣，受控源要同電阻一樣看待，當(dāng)去掉獨(dú)立源時，受控源同電阻一樣保留。

【例2-21】 在圖2-35a所示電路中，當(dāng)R分別為1Ω、3Ω、5Ω時，求相應(yīng)R支路的電流。

解：求R以左二端網(wǎng)絡(luò)的戴維南等效電路。由圖2-35b所示經(jīng)電源的等效變換可知，開路電壓為

注意到圖2-35b中，因為電路端口開路，所以端口電流為零。在此電路中無受控源，去掉電源后，經(jīng)電阻串并聯(lián)化簡可求得

圖2-35c所示是R以右二端網(wǎng)絡(luò)，由此電路可求得開路電壓為

入端內(nèi)阻為Ro2=2Ω

再將上述兩戴維南等效電路與R相接得圖2-35d所示的電路，由此，可求得

當(dāng)R=1Ω時，

當(dāng)R=3Ω時，

當(dāng)R=5Ω時，

【例2-22】 求圖2-36a所示電路的戴維南等效電路。

解：將受控電流源作電源變換如圖2-36b所示，由此求開路電壓為

解得

Uoc=Uo=-1.5V

求輸入電阻R。利用去掉內(nèi)部獨(dú)立電源、端口加電壓U求端口電流的方法，如圖2-36c所示。求得

最后，求得本題的戴維南等效電路如圖2-36d所示。本例中出現(xiàn)負(fù)電阻是含受控源電路可能出現(xiàn)的情況。

2.7.2 諾頓定理

諾頓定理可陳述如下：任一線性含源二端網(wǎng)絡(luò)，對外而言，可化簡為一實(shí)際電源的電流源模型，此實(shí)際電源的理想電流源參數(shù)等于原端口網(wǎng)絡(luò)端口處短路時的短路電流，其內(nèi)電導(dǎo)等于原單口網(wǎng)絡(luò)去掉內(nèi)部獨(dú)立源后，從端口處得到的等效電導(dǎo)。

可見，對于同一線性二端網(wǎng)絡(luò)，其戴維南等效電路與諾頓等效電路之間，滿足電源變換的要求。諾頓等效電路的短路電流和內(nèi)電導(dǎo)的求取辦法也類似于戴維南等效電路。

【例2-23】 用諾頓定理求圖2-37a所示電路中的電流I。

解：由圖2-37b所示求短路電流

由圖2-37c所示求得等效內(nèi)電導(dǎo)為

作出ab以左電路的諾頓等效電路，并連接6Ω電阻得圖2-37d所示的電路，由分流公式可得