2.6 疊加定理、齊性定理與替代定理

2.6.1 疊加定理

1. 疊加定理的內(nèi)容

疊加定理是線性電路中一條十分重要的定理。本節(jié)所涉及的線性電路是由線性電阻元件、獨(dú)立電源和線性受控源構(gòu)成的電路。疊加定理可表述如下：在任何由線性電阻元件、線性受控源及獨(dú)立源組成的線性電路中，每一支路的響應(yīng)（電壓或電流）都可以被看成是各個(gè)獨(dú)立電源單獨(dú)作用（其他電源不作用）時(shí)，在該支路中產(chǎn)生響應(yīng)的代數(shù)和。下面以圖2-27為例來(lái)說(shuō)明疊加定理的本質(zhì)，疊加定理分析用圖如圖2-27所示。

圖2-27a所示電路表示兩個(gè)獨(dú)立源共同作用，圖2-27b表示由電壓源單獨(dú)作用產(chǎn)生響應(yīng)I′，圖2-27c表示由電流源單獨(dú)作用產(chǎn)生響應(yīng)I″。根據(jù)圖2-27所示電路，推導(dǎo)出如下關(guān)系式

即

可以根據(jù)電阻串、并聯(lián)等效變換方法計(jì)算這個(gè)電路，得到同樣的結(jié)論。

可見(jiàn)，電阻R2上的電流是兩個(gè)獨(dú)立電源分別作用在R2上產(chǎn)生的電流響應(yīng)的疊加。不僅本例具有響應(yīng)與激勵(lì)之間關(guān)系的這種規(guī)律，而且對(duì)任何具有唯一解的線性電路都具有這種特性。它具有普遍意義。

2. 使用疊加定理的幾個(gè)具體問(wèn)題

（1）去除電源的處理

當(dāng)求某一獨(dú)立電源單獨(dú)作用在某處產(chǎn)生的響應(yīng)分量時(shí)，應(yīng)去除其余獨(dú)立電源。將電壓源去除，是將其短接，即將電源二端短接，使得其間電壓為零；將電流源去除，是將其開(kāi)路，即將電源兩端斷開(kāi)，使它不能向外電路提供電流。也就是說(shuō)，去除電源意味著將該電源的參數(shù)置零。

（2）“代數(shù)和”中正、負(fù)號(hào)的確定

在應(yīng)用疊加定理時(shí)，要注意，當(dāng)各電源單獨(dú)作用時(shí)，電路各處電流、電壓的參考方向與原電路各電源共同作用時(shí)各處所對(duì)應(yīng)的電流、電壓的參考方向一致。

（3）疊加定理的適用性

1）該定理只適用于線性電路。

2）作為激勵(lì)源，即獨(dú)立電源一次函數(shù)的響應(yīng)電壓、電流可疊加，但功率是電壓或電流的平方，是激勵(lì)源的二次函數(shù)，不可疊加。

3）疊加時(shí)只對(duì)獨(dú)立電源產(chǎn)生的響應(yīng)疊加，受控源在每個(gè)獨(dú)立電源單獨(dú)作用時(shí)都應(yīng)在相應(yīng)的電路中被保留；電路中的所有電阻（包括電源內(nèi)阻）均應(yīng)被保留。

下面通過(guò)例題來(lái)理解疊加定理。

【例2-16】 在圖2-28所示電路中，已知US=21V，IS=14A，R1=8Ω，R2=6Ω，R3=4Ω，R=3Ω。用疊加定理求R兩端的電壓U。

解：將IS開(kāi)路去掉，使US單獨(dú)作用，如圖2-28b所示，求U′。由分壓公式可得

將US短路，IS單獨(dú)作用，如圖2-28c所示，求U″。由分流公式有

則

U″=RI″=（3×5.33）V=16V

最后疊加，得

U=U′+U″=（9+16）V=25V

【例2-17】 在圖2-29a所示電路中，試用疊加定理求4V電壓源發(fā)出的功率。

解：功率不可疊加，但可用疊加定理求4V電壓源支路的電流I，再由I求電壓源的功率。3V電壓源單獨(dú)作用的電路如圖2-29b所示，由此電路可得

4V電壓源單獨(dú)作用的電路如圖2-29c所示，由此電路得

由疊加定理，可得兩電源共同作用時(shí)

I=I′+I″=（-3+6）A=3A

故4V電壓源發(fā)出的功率為

P=（4×3）W=12W

2.6.2 齊性定理

齊性定理是線性電路的另一個(gè)重要性質(zhì)，可由疊加定理推出，它描述了線性電路的比例特性。齊性定理的內(nèi)容是：在線性電路中，若某一獨(dú)立電源（獨(dú)立電壓源或獨(dú)立電流源）同時(shí)擴(kuò)大或縮小K倍（K為常實(shí)數(shù)）時(shí)，則該獨(dú)立電源單獨(dú)作用所產(chǎn)生的響應(yīng)分量亦擴(kuò)大或縮小K倍，也有人把“齊性定理”歸納為“齊次定理”。

【例2-18】 在圖2-30所示電路中，求各支路電流。

分析：由線性電路的齊次性，當(dāng)一個(gè)獨(dú)立電壓擴(kuò)大或縮小K倍時(shí)，它所產(chǎn)生的響應(yīng)分量也擴(kuò)大或縮小K倍。本題只有一個(gè)獨(dú)立電源作用，因此，可設(shè)I5′=1A，求出相應(yīng)的U′S，由US/U′S=K，再計(jì)算每一支路電流。

解：設(shè)I5′=1A，則

從而

U′S=3×I′1+1×I2′=（48+13）V=61V

K=US/US′=100/61≈1.64

由齊性定理得

I1=K×I′1=26.24A

I2=K×I2′=21.32A

I3=K×I3′=4.92A

I4=K×I4′=3.28A

I5=K×I5′=1.64A

此題的求解辦法亦稱為單元電流法或倒推法。

2.6.3 替代定理

替代定理也稱為置換定理，是集總參數(shù)電路理論中的一個(gè)重要的定理。從理論上講，無(wú)論線性、非線性、時(shí)變、時(shí)不變電路，替代定理都是成立的。不過(guò)在線性時(shí)不變電路問(wèn)題分析中，應(yīng)用替代定理更加普遍，這里著重介紹在這類電路問(wèn)題分析中的應(yīng)用。替代定理可表述如下：在任一電路中，第k條支路的電壓和電流為已知的Uk和Ik，則不管該支路原為什么元器件，總可以用以下3個(gè)元器件中任一個(gè)元器件替代，替代前后電路各處電流、電壓不變。這3個(gè)元器件分別是：

1）電壓值為Uk且方向與原支路電壓方向一致的理想電壓源。

2）電流值為Ik且方向與原支路電流方向一致的理想電流源。

3）電阻值為R=Uk/Ik的電阻元件。

為了清楚起見(jiàn)，下面通過(guò)一個(gè)具體例子（例2-19）來(lái)驗(yàn)證替代定理的正確性。

【例2-19】 在圖2-31a所示電路中，試計(jì)算各支路電流及ab支路電壓。

解：先用節(jié)點(diǎn)法來(lái)求解電路，列出節(jié)點(diǎn)方程，得

則Uab=U1=4V

設(shè)各支路電流為I1、I2、I3，由圖可見(jiàn)I1=8A，由歐姆定律得I2=4A，再由KCL得I3=I1-I2=（8-4）A=4A。這些結(jié)果的正確性是毋庸置疑的。下面分3種情況進(jìn)行分析。

1）將ab支路（視為替代定理表述中的k支路）用4V理想電壓源替代，如圖2-31b所示，并設(shè)各支路電流為I1、I2、I3。由圖可見(jiàn)，Uab=4V，I1=8A，I2=4A，I3=I1-I2=（8-4）A=4A。

2）ab支路用4A理想電流源替代，如圖2-31c所示，并設(shè)各支路電流為I1、I2、I3。由圖可見(jiàn)，I1=8A，I3=4A，I2=I1-I3=（8-4）A=4A，Uab=4V。

3）ab支路用電阻Rab=Uab/I3=（4/4）Ω=1Ω來(lái)替代，如圖2-31d所示，并設(shè)各支路電流為I1、I2、I3。由圖可見(jiàn)，I1=8A，I2=I3=（0.5×8）A=4A，Uab=1×I2=（1×4）V=4V。

此例說(shuō)明了在這3種情況替代后的電路中，計(jì)算出的各支路電流I1、I2、I3及Uab與替代以前的原圖2-31a所示電路經(jīng)節(jié)點(diǎn)法計(jì)算出的結(jié)果完全相同，驗(yàn)證了替代定理的正確性。

事實(shí)上，替代定理就是電路等效變換。在分析電路時(shí)，常常用它化簡(jiǎn)電路，輔助其他方法來(lái)求解。在新定理的推導(dǎo)、等效變換時(shí)也常用到它。在實(shí)際工程測(cè)試電路或試驗(yàn)設(shè)備中，采用假負(fù)載（或稱為模擬負(fù)載）的理論依據(jù)就是替代定理。下面再舉例說(shuō)明替代定理在電路分析中的應(yīng)用。

【例2-20】 對(duì)圖2-32a所示電路，求電流I1。

解：這個(gè)電路初看起來(lái)比較復(fù)雜，但如果將短路線壓縮，ab就合并為一點(diǎn)，3Ω與6Ω電阻并聯(lián)等效為一個(gè)2Ω電阻，如圖2-32b所示。再把圖2-32b中的虛線框起來(lái)的部分看做為一個(gè)支路k，且知這個(gè)支路的電流為4A（由圖2-32b中下方4A理想電流源限定），應(yīng)用替代定理，把支路k用4A理想電流源替代，如圖2-32c所示，再應(yīng)用電源互換將圖2-32c等效為圖2-32d，即可解得

這里為把問(wèn)題說(shuō)得更清楚，畫出的等效過(guò)程圖較多。在實(shí)際解題時(shí)，并不需要畫出每一步等效圖。本題可直接畫出圖2-32d即可。可以看出，本題應(yīng)用替代定理比直接用節(jié)點(diǎn)法、網(wǎng)孔法列方程求解要簡(jiǎn)單得多。