1.5 基爾霍夫定律

1.5.1 基本概念

在前面討論的電阻元件電路中，電阻元件的歐姆定律反映的是電路中元件的約束關(guān)系，而在一個(gè)電路中各處的電壓和電流不但受元件類(lèi)型和參數(shù)的影響，而且取決于電路的結(jié)構(gòu)，基爾霍夫定律反映的就是電路的結(jié)構(gòu)約束關(guān)系。在介紹基爾霍夫定律之前，先介紹一下有關(guān)電路的幾個(gè)概念。

1）支路。通常情況下，電路中的每一分支稱(chēng)為支路，同一支路上的元件流過(guò)同一電流。具有3條支路的電路如圖1-16所示。其中兩條含電源的支路acb、adb稱(chēng)為有源支路。不含電源的支路ab稱(chēng)為無(wú)源支路。

2）節(jié)點(diǎn)。電路中3條或3條以上支路的連接點(diǎn)稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)，圖1-16中有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)a、b。

3）回路。電路中任一閉合路徑稱(chēng)為回路，圖1-16中有adba、abca和adbca3個(gè)回路。

4）網(wǎng)孔。當(dāng)回路內(nèi)不含交叉支路時(shí)，該回路也被稱(chēng)為網(wǎng)孔。在平面電路里，網(wǎng)孔就是自然孔，見(jiàn)圖1-16中的adba、abca兩個(gè)網(wǎng)孔。

5）網(wǎng)絡(luò)。一般把包含較多元器件的電路稱(chēng)為網(wǎng)絡(luò)。實(shí)際上，網(wǎng)絡(luò)就是電路，兩個(gè)名詞可以通用。

6）二端網(wǎng)絡(luò)。與外部連接只有兩個(gè)端點(diǎn)的電路稱(chēng)為二端網(wǎng)絡(luò)，也稱(chēng)為一端口網(wǎng)絡(luò)，二端網(wǎng)絡(luò)如圖1-17所示。實(shí)際上，每一個(gè)二端元件，如電阻、電感、電容等，就是一個(gè)最簡(jiǎn)單的二端網(wǎng)絡(luò)。

7）等效二端網(wǎng)絡(luò)。當(dāng)兩個(gè)二端網(wǎng)絡(luò)對(duì)外電路的作用效果相同、具有相同的外特性時(shí)，這兩個(gè)二端網(wǎng)絡(luò)等效。圖1-18所示的兩個(gè)二端網(wǎng)絡(luò)N1與N2，當(dāng)它們接相同的外電路時(shí)，產(chǎn)生的非零電壓、電流對(duì)應(yīng)相等，即u1=u2，i1=i2，則N1與N2互為等效二端網(wǎng)絡(luò)。

需要指出的是，等效網(wǎng)絡(luò)指的是對(duì)外等效，對(duì)內(nèi)一般是不相等的，即內(nèi)部電路結(jié)構(gòu)可以不同，但對(duì)外部電路的作用（影響）是完全相同的。

1.5.2 基爾霍夫電流定律

基爾霍夫電流定律（Kirchhoff 's Current Law，KCL）敘述如下：在電路中對(duì)任一節(jié)點(diǎn)，在任一時(shí)刻流進(jìn)該節(jié)點(diǎn)的電流之和等于流出該節(jié)點(diǎn)的電流之和，即

∑i入=∑i出

對(duì)于圖1-16中的節(jié)點(diǎn)a有

I1+I2=I3 （1-5）

如果假設(shè)流入節(jié)點(diǎn)的電流為負(fù)，流出節(jié)點(diǎn)的電流為正，那么基爾霍夫電流定律就可敘述為：在電路中任何時(shí)刻，對(duì)任一節(jié)點(diǎn)所有支路電流的代數(shù)和等于零，即

∑i=0 （1-6）

對(duì)于圖1-16中的節(jié)點(diǎn)a有

-I1-I2+I3=0 （1-7）

式（1-5）和式（1-7）是等價(jià)的，兩種說(shuō)法含義相同。

對(duì)節(jié)點(diǎn)b應(yīng)用基爾霍夫電流定律有

I1+I2-I3=0 （1-8）

式（1-8）兩邊乘負(fù)號(hào)就變換成式（1-7），所以兩個(gè)方程互相不獨(dú)立，即在兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的電路中，只有一個(gè)獨(dú)立的電流方程，在兩個(gè)節(jié)點(diǎn)的電路中只有一個(gè)獨(dú)立節(jié)點(diǎn)。可證明，當(dāng)電路中有n個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，有n-1個(gè)節(jié)點(diǎn)是獨(dú)立的。

【例1-4】 在圖1-19所示電路中，各支路電流的參考方向如圖所示，其中I1=7A，I2=-5A，I4=2A，I5=3A，試求電流I3的值。

解：根據(jù)基爾霍夫定律有

I1-I2+I3-I4+I5=0

I3=-I1+I2+I4-I5

=[-7+（-5）+2-3]A

=-13A

從基爾霍夫電流定律可以推出以下兩個(gè)推論。

推論1：任一時(shí)刻，穿過(guò)任一假設(shè)閉合面的電流代數(shù)和恒為零，圖1-20a所示的虛線框內(nèi)為廣義節(jié)點(diǎn)。

推論2：若兩個(gè)電路網(wǎng)絡(luò)之間只有一根導(dǎo)線連接，則該連接導(dǎo)線中的電流為0，如圖1-20b所示。

例如，在圖1-20a中，對(duì)節(jié)點(diǎn)a有-i1-i6+i4=0

對(duì)節(jié)點(diǎn)b有-i2-i4+i5=0

對(duì)節(jié)點(diǎn)c有-i3-i5+i6=0

把上面3個(gè)方程式相加，得i1+i2+i3=0

即在圖1-20a中，點(diǎn)劃線所包圍的封閉面電流的代數(shù)和為零。

在圖1-20b中，網(wǎng)絡(luò)1與網(wǎng)絡(luò)2之間只有一根導(dǎo)線連接，設(shè)網(wǎng)絡(luò)1流進(jìn)網(wǎng)絡(luò)2的電流為I，但無(wú)網(wǎng)絡(luò)2流進(jìn)網(wǎng)絡(luò)1的電流，根據(jù)KCL，則I=0。

【例1-5】 電路如圖1-21a所示，已知I1=3A，I2=4A，I3=8A，求恒流源的電流Is。

解：把圖1-21中的R1、R2所在支路看成閉合面，見(jiàn)圖1-21b中的點(diǎn)劃線部分。根據(jù)基爾霍夫電流定律的推廣列方程有

I1-I2+I3-Is=0

解得

Is=I1-I2+I3

=（3-4+8）A

=7A

1.5.3 基爾霍夫電壓定律

基爾霍夫電壓定律（Kirchhoff 's Voltage Law，KVL）是反映電路中對(duì)組成任一回路的所有支路的電壓之間的相互約束關(guān)系。表述如下：在電路中任何時(shí)刻，沿任一閉合回路的各段電壓的代數(shù)和恒等于零，當(dāng)電壓的方向與繞行方向一致時(shí)，取正；與繞行方向相反，取負(fù)。表達(dá)式為

∑u=0

在回路中，若有電壓源存在，則電源電勢(shì)升與繞行方向一致取正，相反取負(fù)。基爾霍夫電壓定律還可以敘述為在電路中任何時(shí)刻，沿任一閉合回路的所有電勢(shì)升之和等于電壓降之和。表達(dá)式為

∑us=∑u

【例1-6】 根據(jù)基爾霍夫電壓定律，分別對(duì)如圖1-16所示的各回路列方程。解：對(duì)各個(gè)回路選定繞行方向，如圖1-22所示。

對(duì)回路1有 UR1+UR3-US1=0

或者 US1=UR1+UR3

對(duì)回路2有 UR2+UR3-US2=0

或者 US2=UR2+UR3

對(duì)大回路3有 UR1-UR2+US2-US1=0

或者 US1-US2=UR1-UR2

基爾霍夫電壓定律不但適用于閉合回路，而且可推廣應(yīng)用于不閉合電路。假想電路是通過(guò)某元件閉合的，圖1-23所示為部分電路的KVL，右側(cè)可以是一個(gè)元件或者電路網(wǎng)絡(luò)。在這種情況下，基爾霍夫電壓定律仍成立，并且兩點(diǎn)間電壓是定值，與計(jì)算時(shí)所沿路徑無(wú)關(guān)，表示為

US=U+U1

【例1-7】 電路如圖1-24a所示，試求圖中的電壓U4和E、B兩點(diǎn)間的電壓UEB以及A、D兩點(diǎn)間的電壓UAD。

解：1）在回路中選定繞行方向如圖1-24b虛線1所示，根據(jù)KVL

U1-U2+U3-U4-U5=0

U4=U1-U2+U3-U5=5V

2）選繞行方向如圖1-24b虛線2所示，根據(jù)KVL

UEB-U1+U5=0

UEB=1V

3）選繞行方向如圖1-24b虛線3所示，根據(jù)KVL

UAD-U4-U5=0

UAD=7V

【例1-8】 求圖1-25a所示電路的開(kāi)路電壓Uab。

解：先把圖1-25a改畫(huà)成圖1-25b，求電流I。

在回路1中，有12-2+3I-6+3I+2+2I=0，則I=-3/4A。

根據(jù)基爾霍夫電壓定律，在回路2中，得Uab=[-2×1-3×（-3/4）-2+6+0-2]V=9/4V