2.5 塑料注射成型熱力學(xué)

塑料的注射加工，是首先將其加熱成熔體，在成型后再冷卻固化定型。一方面是流動(dòng)與變形的過(guò)程，另一方面又伴隨著熱傳遞。本節(jié)研究和討論注射成型中的熱傳遞現(xiàn)象。

2.5.1 熱傳導(dǎo)方程和熱物理性能

塑料加工過(guò)程中的熱傳遞過(guò)程，所涉及的傳熱參量特征是對(duì)溫度的依賴性。這些參量是溫度和壓力的函數(shù)。以定態(tài)還是非定態(tài)下材料熱性能參量進(jìn)行熱傳遞分析，是聚合物及其復(fù)合塑料的熱傳遞原理及其方程應(yīng)用的前提。非定態(tài)下的熱傳遞分析有一定難度，必須應(yīng)用電子計(jì)算機(jī)和數(shù)值分析方法。

1.熱性能參量與溫度

單相聚合物固態(tài)與熔體的熱性能，其主要參量是密度ρ（kg/m³）、比定壓熱容C_p[J/（kg·K）]、熱導(dǎo)率λ[W/（m·K）]、熱擴(kuò)散率a（m²/s）又稱熱擴(kuò)散系數(shù)k（mm²/s）。

密度為體積質(zhì)量。在一些場(chǎng)合，如在考察狀態(tài)方程時(shí)用質(zhì)量體積，以比體積V（m³/kg）表述

聚合物的密度ρ和比體積V隨溫度T與壓力p而變化。圖2-30所示為幾種聚合物在大氣壓下，比體積隨溫度升高而增大的過(guò)程。注意到結(jié)晶型聚合物在熔融或固化過(guò)程中，比體積有突變。在高壓注射壓力下，應(yīng)該考慮壓力對(duì)密度的影響。

圖2-31所示是熱導(dǎo)率λ與溫度的關(guān)系。聚合物是導(dǎo)熱性能很差的絕熱材料。λ在1W/（m·K）以下。結(jié)晶型聚合物熔體的熱導(dǎo)率比固態(tài)小。在注射加工過(guò)程中，導(dǎo)熱性能影響著塑料的熔化效率，和成型制品的冷卻固化速率。

圖2-30 比體積V與溫度的關(guān)系

圖2-31 熱導(dǎo)率λ與溫度的關(guān)系

圖2-32所示是比定壓熱容C_p與溫度的關(guān)系。結(jié)晶型聚合物的比定壓熱容，在熔化的較窄的溫度范例中有躍變過(guò)程。壓力對(duì)熱導(dǎo)率和比熱容的影響，在一般工程計(jì)算中可以不計(jì)。

在聚合物加工的非穩(wěn)態(tài)溫度場(chǎng)的計(jì)算中，熱導(dǎo)率λ與熱儲(chǔ)存能力ρC_p的比值是熱擴(kuò)散率

工程計(jì)算時(shí)，常以比定壓熱容C_p替代比定容熱容C_V。圖2-33所示為熱擴(kuò)散率a與溫度的關(guān)系，同樣忽略壓力的影響。

圖2-32 比定壓熱容C_p與溫度的關(guān)系

圖2-33 熱擴(kuò)散率a與溫度的關(guān)系

2.傅里葉導(dǎo)熱定律和方程

如果流體是不可壓縮的，而且黏度很低，可忽略黏性摩擦引起的溫度變化，對(duì)于表2-3的運(yùn)動(dòng)流體能量方程中的后兩項(xiàng)可予忽略，則被簡(jiǎn)化成

導(dǎo)熱通量q_i為單位時(shí)間通過(guò)單位面積的熱量，也即熱流密度。其直角坐標(biāo)系的分量為

代入式（2-80）后得直角坐標(biāo)系（x，y，z）的熱傳導(dǎo)的傅里葉方程

同樣，對(duì)于柱面坐標(biāo)系的能量方程簡(jiǎn)化成

導(dǎo)熱通量q_i的分量

代入式（2-80）后得柱面坐標(biāo)系（r，θ，z）的熱傳導(dǎo)的傅里葉方程

塑料熔體和模具鋼的熱傳導(dǎo)是注射模冷卻系統(tǒng)熱力學(xué)分析的主要項(xiàng)目，也是熱流道注射模設(shè)計(jì)的理論基礎(chǔ)。

3.單相聚合物材料的熱性能參數(shù)

圖2-34所示是實(shí)測(cè)的無(wú)定形聚碳酸酯的熱性能，記述了比定壓熱容C_p、熱導(dǎo)率λ、熱擴(kuò)散率a和密度ρ與溫度的關(guān)系。除了C_p，都是隨著溫度連續(xù)變化的。C_p在153℃時(shí)有突變。這與PC的玻璃化轉(zhuǎn)變溫度T_g有關(guān)。無(wú)定形聚合物通常在T_g以上進(jìn)行成型加工。此狀態(tài)下的無(wú)定形聚合物的熱性能變化很小。PC在480K時(shí)，C_p=1.926kJ/（kg·K）；在535K時(shí)，C_p=2.093kJ/（kg·K）。

圖2-34 聚碳酸酯的熱性能C_p、λ、a和ρ與溫度的關(guān)系

圖2-35 聚丙烯的熱性能C_p、λ和ρ與溫度的關(guān)系

圖2-35所示是實(shí)測(cè)的結(jié)晶型聚丙烯的熱性能，說(shuō)明比定壓熱容C_p、熱導(dǎo)率λ和密度ρ與溫度的關(guān)系。比定壓熱容C_p在熔點(diǎn)范圍上有個(gè)尖峰跳躍過(guò)程。此峰尖曲線下的面積與結(jié)晶過(guò)程有關(guān)，反映了分子鏈或鏈段脫離晶格束縛所需的能量，稱熔融熱焓ΔH_m，也稱為熔化潛熱。因此，對(duì)結(jié)晶型聚合物在熱傳遞工程計(jì)算時(shí)，熱性能參數(shù)的確定要慎重。

室溫下幾種聚合物的熱性能見(jiàn)表2-13。一些國(guó)產(chǎn)聚合物在室溫下的熱性能見(jiàn)表2-14。其中不流動(dòng)溫度T₀是聚合物在一定載荷和阻力下，不發(fā)生流動(dòng)的最高溫度。當(dāng)實(shí)際溫度低于聚合物的不流動(dòng)溫度時(shí)，其剪切速率為零。150℃時(shí)幾種聚合物的熱性能見(jiàn)表2-15。在流動(dòng)充模的計(jì)算機(jī)分析軟件中，為調(diào)用材料在不同溫度下的熱性能數(shù)據(jù)，將C_p、λ和ρ隨溫度的變化，用多項(xiàng)式擬合。在工程計(jì)算中，對(duì)某個(gè)溫度范圍取熱性能C_p、λ和ρ的平均值，或者取恰當(dāng)參考溫度下的數(shù)據(jù)。

表2-13 室溫下幾種聚合物的熱性能

表2-14 一些國(guó)產(chǎn)聚合物在室溫下的熱性能

表2-15 150℃時(shí)幾種聚合物的熱性能

①PP為180℃時(shí)的熱性能。

4.聚合物的比焓

比焓是在特定條件下，單位質(zhì)量物質(zhì)所含的熱量。比焓H（kJ/kg）與材料的溫度關(guān)系如圖2-36所示。熔融熱焓ΔH_m是結(jié)晶型聚合物在熔點(diǎn)T_m附近所需的熱量。而結(jié)晶熱焓ΔH_c是完成結(jié)晶時(shí)釋放的熱量。通常認(rèn)為ΔH_m=ΔH_c。結(jié)晶型聚合物的熔融和結(jié)晶是在特定條件下熱力學(xué)和動(dòng)力學(xué)的復(fù)雜過(guò)程。真實(shí)熔點(diǎn)或結(jié)晶溫度與聚合物的相對(duì)分子質(zhì)量有關(guān)。結(jié)晶溫度提高時(shí)結(jié)晶熱焓ΔH_c有些增加；較高相對(duì)分子質(zhì)量聚合物的ΔH_c較低些。表2-16所列的幾種高聚物的ΔH_m和ΔH_c僅為參考。幾種常見(jiàn)的熱塑性塑料熔體凝固時(shí)釋放的固化熱焓ΔH，有表列在第11章中。它是注射模溫度調(diào)節(jié)系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，計(jì)算成型塑料釋放熱量的材料性能數(shù)據(jù)。

圖2-36 聚合物的比焓與溫度的關(guān)系

a）無(wú)定形聚合物 b）結(jié)晶型聚合物

表2-16 一些聚合物的熔融熱焓ΔH_m和結(jié)晶熱焓ΔHc

5.聚合物的復(fù)合塑料的熱性能

剛性粒子充填的聚合物，通常提高了復(fù)合塑料的熔體黏度和固態(tài)的模量，也提高了熱變形溫度。但是，填料和基體的熱膨脹系數(shù)不一致，使復(fù)合塑料的性能有一些不容忽視的弱點(diǎn)。剛性填料的熱導(dǎo)率λ₁，一般比聚合物的熱導(dǎo)率λ₂大，例如玻璃纖維導(dǎo)熱系數(shù)有1.021W/（m·K）。由混合律可近似推算出復(fù)合材料的熱導(dǎo)率λ，通常比純聚合物略的大些。有些填料的比熱容C_p比聚合物略小，如碳纖維的比定壓熱容為1.26 kJ/（kg·K）。因此復(fù)合后材料的比熱容比基體的小。

復(fù)合塑料的熱性能密度、比定壓熱容C_p、熱導(dǎo)率λ和熱擴(kuò)散率a，可用復(fù)合材料的基體、填料或纖維的體積組分或質(zhì)量組分，推算復(fù)合塑料的熱性能。混合律為

Γ=Γ₁?₁+Γ₂?₂（2-84）

式中 Γ——復(fù)合塑料的熱性能；

Γ₁——基體聚合物的熱性能；

Γ₂——填料或纖維的熱性能；

?₁——基體聚合物的組分；

?₂——填料或纖維的組分。

2.5.2 注射成型冷卻過(guò)程中的熱量傳遞

注射加工實(shí)質(zhì)上是熱交換過(guò)程，高溫熔融態(tài)的塑料在模具型腔內(nèi)冷卻固化。當(dāng)達(dá)到脫模溫度時(shí)，模具開(kāi)啟，脫模機(jī)構(gòu)將注塑件推出模具。冷卻過(guò)程是指澆口中塑料凍結(jié)凝固到注塑件脫模頂出這個(gè)階段。

注射模的熱交換理論冷卻系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，在第11章模具溫度調(diào)節(jié)系統(tǒng)中有詳細(xì)陳述。這里著重從塑料成型熱力學(xué)方面討論注塑模冷卻過(guò)程的計(jì)算機(jī)模擬、數(shù)值分析的主要原理和方法。

1.注射模溫度場(chǎng)分析

高溫塑料熔體帶入模具中熱量的絕大部分經(jīng)模具傳給冷卻系統(tǒng)，由冷卻介質(zhì)攜出模具。其余熱量由模具表面以對(duì)流和輻射方式傳遞給周邊環(huán)境。注射成型是周期性間歇生產(chǎn)過(guò)程。模具溫度場(chǎng)的變化也是周期性變化過(guò)程。注塑冷卻過(guò)程是三維瞬態(tài)傳熱，在工程應(yīng)用的溫度場(chǎng)分析中簡(jiǎn)化為穩(wěn)態(tài)傳熱。模具的瞬態(tài)溫度是周期性波動(dòng)，但只要注射工藝條件不變，注射周期內(nèi)的平均溫度恒定。熱導(dǎo)率和比熱容等熱性能參數(shù)，取周期內(nèi)的平均值。注射模具內(nèi)的熱交換主要有三方面：一是模具與注塑件之間的熱傳導(dǎo)；二是模具與冷卻系統(tǒng)之間的對(duì)流換熱；三是模具同周圍環(huán)境之間的對(duì)流和輻射熱交換。

注射模具同周圍環(huán)境之間的熱交換，詳細(xì)計(jì)算式見(jiàn)第11章模具溫度調(diào)節(jié)系統(tǒng)設(shè)計(jì)。另外，在第12章有關(guān)于熱流道系統(tǒng)傳熱學(xué)的實(shí)用計(jì)算方法。成型加工時(shí)輸入的熱量是塑料高溫熔體注入的。在注射模具系統(tǒng)熱平衡計(jì)算時(shí)，用單位時(shí)間的熱量Q（kJ/h，J/s）描述。也有很少的熱量由注射機(jī)的噴嘴傳導(dǎo)給模具。輸出的熱量除了冷卻液攜走了絕大部分熱量外，注射模本體同周邊環(huán)境也有熱量散失。注射模熱量散失有三條途徑、注射模的頂面和底面對(duì)注射機(jī)模板的熱傳導(dǎo)；注射模表面的輻射散熱；注射模表面的散熱對(duì)流。

（1）模具與注塑件之間的熱傳導(dǎo) 模具與注塑件之間通過(guò)型腔面進(jìn)行熱傳導(dǎo)，在冷卻分析中并不考慮接觸面上的傳熱，而是把型腔接觸面作為邊界條件應(yīng)用。由于注射制品為薄壁構(gòu)件，厚度比另兩個(gè)方向的尺寸小得多，假定熱流僅沿型腔表面法向傳遞，則注塑件的熱傳導(dǎo)簡(jiǎn)化為一維的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱。由式（2-81）傅里葉方程簡(jiǎn)化成沿壁厚x方向的熱傳導(dǎo)方程

在型腔壁的法向x方向的導(dǎo)熱通量

式中Q為注塑件單位時(shí)間內(nèi)釋放的熱量；A為注塑件的表面積。

熱流在塑料進(jìn)入模具的鋼壁時(shí)，應(yīng)有

式中T_W為模具型腔壁面的溫度；T_x是注塑板件在壁厚方向x位置的溫度。α′是注塑件與模具型腔壁之間的傳熱系數(shù)，有α′=430W/（m²·℃）。

（2）平板形和圓柱形注塑件的冷卻時(shí)間 如圖2-37所示的注塑板件，在溫度為T_W的模具型腔壁面間。壁厚H=2b。

圖2-37 注塑板件在溫度T_W的模具型腔壁面間冷卻

冷卻期間注塑板件無(wú)熱源，應(yīng)用一維熱傳導(dǎo)式（2-85）和式（2-87），有

初始條件

t=0，T=T_x=f（x） （2-89）

邊界條件

引入二元溫度函數(shù)T（x，t）=T_x-T_W，用分離變量法解得式（2-88）的通解為

式中β為比例常數(shù)，a（m²/s）是熱擴(kuò)散率又稱導(dǎo)溫系數(shù)。此式代入邊界條件式（2-90），則D=0而有

將此式代入式（2-87），加以整理后得

其中

無(wú)因子（Biot）數(shù)B_i中，α′[W/（m²·℃）]為注塑板件與模具型腔壁之間的傳熱系數(shù)。λ[W/（m·K）]是塑料的熱導(dǎo)率。注塑板件壁厚H=2b。

式（2-92）為特征方程，有無(wú)窮多個(gè)根

μ₁<μ₂<…<μ_n

將不同特征值μ_n代入式（2-91b）中得到不同的特解，其一般式為

此特征方程的微分形式的終解

將此式代入初始條件式（2-89），有

f（x）可在（0，b）區(qū)域內(nèi)將函數(shù)cosμ_nx/b展成傅里葉Fourier級(jí)數(shù)，得

可證明C_n為

則

設(shè)定注塑料板件在冷卻起始時(shí)的初始溫度是均勻分布，前邊界條件式（2-89）擴(kuò)展為

T₀=T（x，0）=T_x=f（x）=常數(shù)

將式（2-96）中的積分項(xiàng)解得

代回式（2-96）中，注塑板件的中央層x=0處的溫度T，把解改寫(xiě)成

注塑板件與模具型腔壁之間的傳熱系數(shù)α′=430W/（m²·℃），現(xiàn)取整為α′≈500W/（m²·℃）。塑料的熱導(dǎo)率為λ=0.2～0.9W/（m·K）。注射板件壁厚H=2b=1～10mm，因此解得

B_i值較大，對(duì)式（2-92）中認(rèn)為B_i→∞，特征方程的根為

把μ_n代回式（2-97）得

當(dāng)注塑板件的中央層x=0處的溫度T低于熱變形溫度，或注塑件有足夠的剛性就可以脫模。

當(dāng)注塑板件的壁厚較厚時(shí)，式（2-98）右側(cè)級(jí)數(shù)取第一項(xiàng)就能滿足工程上的需要，可得到冷卻時(shí)間計(jì)算式

當(dāng)注塑板件的壁厚較薄時(shí)，式（2-98）右側(cè)傅里葉級(jí)數(shù)可得到冷卻時(shí)間計(jì)算式

以上兩式中 a——塑料的熱擴(kuò)散系數(shù)[mm²/s（m²/s）]；

b——注塑板件的厚度的二分之一[mm（m）]；

T₀——注射塑料熔體的初始溫度（℃）；

T_W——模具型腔壁面的溫度（℃）；

T——注塑板件的中心層的脫模溫度，應(yīng)低于塑料材料的熱變形溫度（℃）。

塑料圓柱體的半經(jīng)為R時(shí)冷卻時(shí)間計(jì)算式

塑料球體的半徑為R時(shí)冷卻時(shí)間計(jì)算式

式（2-101）和式（2-102）的a、T₀和T_W含義同上；T是r=0時(shí)注塑板件中央的脫模溫度，應(yīng)低于塑料材料的熱變形溫度。此兩式推導(dǎo)過(guò)程與式（2-99）和式（2-100）相似。同樣需注意到：結(jié)晶型塑料在固化的相變過(guò)程中潛熱釋放沒(méi)有考慮；注塑件在冷卻過(guò)程中自身的收縮，會(huì)脫離型腔模壁。眾多因素使理論冷卻時(shí)間計(jì)算，要在注射生產(chǎn)中修正。

（3）模具與冷卻管道之間的對(duì)流換熱 對(duì)流換熱是模具冷卻介質(zhì)的流動(dòng)載熱與塑料制品熱傳導(dǎo)聯(lián)合作用的結(jié)果。強(qiáng)制對(duì)流的特征是模具內(nèi)流體對(duì)制品表面的熱流密度因流動(dòng)而增大。

在對(duì)流冷卻過(guò)程中，流體傳給聚合物物體表面的熱流密度，也稱導(dǎo)熱通量q_n，由傅里葉定律和牛頓冷卻定律給出。垂直流動(dòng)方向的法向熱流密度為

式中——法向的溫度梯度（K/m）；

α——傳熱系數(shù)[W/（m²·K）]；

T——流體的某代表性溫度，通常取法向截面上流體的平均溫度，也稱主體溫度；

T_W——冷卻管道壁的溫度。

凡影響熱流密度q_n（W/m²）的因素都會(huì)影響傳熱系數(shù)α的數(shù)值。按牛頓冷卻定律測(cè)定各種情況下的傳熱系數(shù)，并將其關(guān)聯(lián)成經(jīng)驗(yàn)表達(dá)式。注射模冷卻系統(tǒng)的對(duì)流熱交換的影響因素有

α=f（v，ρ，l，μ，λ，C_p）

α與冷卻介質(zhì)的物理性能、密度ρ、黏度μ（Pa·s）、定壓比熱容C_p和熱導(dǎo)率λ有關(guān)；與冷卻通道表面尺寸特征、管徑d或長(zhǎng)度l有關(guān)；與強(qiáng)制對(duì)流的流速v有關(guān)。這些參量中ρ、μ、C_p和λ都是依賴溫度的變量。冷卻注射模管道中冷卻液流動(dòng)的雷諾數(shù)較大，用流體的平均溫度來(lái)查取這些參量。

這些參量組合成無(wú)因次形式

式中——努塞特（Nusselt）數(shù)；

——雷諾（Reynolds）數(shù)；

——普朗特（Prandtl）數(shù)。傳熱過(guò)程的準(zhǔn)數(shù)關(guān)系式

Nu=ARe^aPr^b （2-105）

式中，A為系數(shù)，a和b是指數(shù)，都由對(duì)流熱傳遞的各種狀態(tài)和條件確定。

注射模具的金屬冷卻管道，內(nèi)壁光滑。為了提高對(duì)注塑件的冷卻效率，冷卻液必須以高流速的湍流流動(dòng)。對(duì)管徑D，要求雷諾數(shù)達(dá)到

其管道長(zhǎng)度L，應(yīng)有L/D>10，冷卻流體的傳熱關(guān)系式

壓力下強(qiáng)制湍流流動(dòng)時(shí)，對(duì)流傳熱發(fā)生在管壁附近，流體主體溫度比較均勻。這里的熱性能參量及無(wú)量綱量Re與Pr均按流體進(jìn)出口溫度的平均值決定。

2.一維的穩(wěn)態(tài)冷卻分析

影響注射模冷卻系統(tǒng)的因素是多方面的，建立數(shù)學(xué)模型時(shí)要作合理的簡(jiǎn)化，盡管分析結(jié)果的精度有限，但可作為高精度數(shù)值分析的初步設(shè)計(jì)。一維的穩(wěn)態(tài)冷卻分析就是忽略模具溫度的周期性波動(dòng)，將注射模的冷卻過(guò)程簡(jiǎn)化成穩(wěn)態(tài)的熱傳導(dǎo)問(wèn)題；同時(shí)，用管道中冷卻液的平均溫度來(lái)考慮傳熱效果；又假定型腔壁面的溫度均勻不變。對(duì)于平直的注射模用一維冷卻方法，如圖2-38所示。冷卻管道與型腔壁面距離為a，等距分布的管道之間的距離為b，型腔壁面的溫度為T_W。

由式（2-106）獲得冷卻流體在管壁上的傳熱系數(shù)α[W/（m²·K）]的計(jì)算式。用限止溫度波動(dòng)率J的方法可解得幾何參數(shù)b/a，有

式中λ[W/（m·K）]為模具鋼板熱導(dǎo)率。冷卻管道直徑d，由冷卻液流量和湍流的雷諾數(shù)初步估算得到。限止波動(dòng)率對(duì)于無(wú)定形塑料，J<5%；結(jié)晶型塑料，J<2.5%。可先設(shè)定b/a=0.5代入，以后逐次減小，直至達(dá)到允許的限制波動(dòng)率J。

圖2-38 一維的穩(wěn)態(tài)冷卻分析的模式

1—注塑平板 2—模具鋼板 3—冷卻管道 T_W—型腔壁面的溫度

確定了b/a值后，再由需要冷卻液帶走的熱量Q計(jì)算距離a和b。帶走的熱量Q經(jīng)注射模的熱平衡計(jì)算獲得。注射模具的熱傳導(dǎo)計(jì)算式為

可用a的最小值代入，對(duì)于b/a得到b。以后a以毫米逐次增加，直到達(dá)到熱量Q值。a的最小值可參閱第11章，以產(chǎn)生型腔壁的壓塌的強(qiáng)度條件計(jì)算。一維的穩(wěn)態(tài)冷卻方程能用迭代數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)現(xiàn)解題。

3.二維的非穩(wěn)態(tài)和邊界冷卻分析

（1）二維的非穩(wěn)態(tài)的冷卻分析 大多數(shù)注射制品是薄壁板件的組合體。冷卻管道在平面上有x和y兩個(gè)方向布置。在冷卻過(guò)程中模具的溫度場(chǎng)T（x，y，t）是隨時(shí)間和位置變化的不穩(wěn)定的熱傳導(dǎo)過(guò)程。

二維的注射模溫度場(chǎng)的非穩(wěn)態(tài)求解方程

式中，ρ、C_p和λ為模具鋼材的密度、比定壓熱量和熱導(dǎo)率。模板鋼材材質(zhì)均勻且各向同性，它們是常數(shù)。q⁰_（x，y）[W/（m²·K），J/（m·s·K）]是模具中熱源通量。又有域內(nèi)初始條件 T（x，y，t₀）=T₀（2-110a）

對(duì)各Γ邊界條件

式中 T₀——模具的初始溫度；

——對(duì)各Γ邊界上外法向的溫度梯度；

α_Γ——各Γ邊界上的傳熱系數(shù)；

T_f——對(duì)各傳熱介質(zhì)的溫度。

要把此方程演化成有限元的離散化方程，經(jīng)計(jì)算機(jī)運(yùn)算解出模具的溫度場(chǎng)。

（2）二維穩(wěn)態(tài)的邊界元方法冷卻分析 注射模具冷卻過(guò)程的瞬態(tài)導(dǎo)熱過(guò)程的邊界條件很復(fù)雜，因此常作為穩(wěn)態(tài)處理。并將邊界各件作多元描述，求解模具表面、冷卻管道表面和注塑件的型腔表面的溫度分布。邊界元方法與有限元方法相比，將求解空間區(qū)域問(wèn)題轉(zhuǎn)化為邊界問(wèn)題。能以較少的計(jì)算量求解邊界的溫度場(chǎng)。

注射模二維穩(wěn)態(tài)邊界元的熱傳導(dǎo)方程

域內(nèi)初始條件同式（2-110a）。

注射模表面對(duì)大氣界面，有大氣溫度T₀

T（x，y）=T₀ （2-112a）

對(duì)注射模溫度場(chǎng)分布的對(duì)稱面上，有

對(duì)于注射模的周邊、冷卻管道和型腔的邊界條件Γ₁、Γ₂和Γ₃分別陳述，可參考圖2-39，有

圖2-39 三維注射模熱傳遞邊界示意圖

Γ₁—模具同周圍環(huán)境之間界面 Γ₂—模具與冷卻管道之間界面 Γ₃—模具與注塑件之間界面 Ω—注射模傳熱體的空間區(qū)域

1）注射模的周邊的邊界條件Γ₁，由模具同周圍環(huán)境之間的熱交換的分析獲得。對(duì)于模具周邊的傳熱系數(shù)α_Γ1，有表面對(duì)大氣環(huán)境T₀的傳導(dǎo)方程

2）在注射模內(nèi)冷卻管道的邊界條件Γ₂，見(jiàn)“模具與冷卻管道之間的對(duì)流換熱”一節(jié)的分析。對(duì)于管道壁面的傳熱系數(shù)α_Γ2，流體的某代表性溫度為T_f，有冷卻液對(duì)模板的傳導(dǎo)方程

3）注塑件型芯和型腔壁面的邊界條件Γ₃，見(jiàn)“模具與注塑件之間的熱傳導(dǎo)”一節(jié)的分析。對(duì)型腔壁面的傳熱系數(shù)α_Γ3，注塑件在壁厚方向的位置上溫度為T_x，有注塑件對(duì)模板的傳導(dǎo)方程

圖2-40所示是二維穩(wěn)態(tài)邊界元冷卻過(guò)程計(jì)算機(jī)模擬結(jié)果的圖形輸出。蓄電池箱體積190×152×127mm，壁厚1.27mm；用聚丙烯充填20%的礦石粉，注射量538cm³，計(jì)482g；熔料注射溫度230℃。圖2-40a所示用四進(jìn)四出的水冷卻管道布置。注射模的控制溫度為50℃。二維冷卻過(guò)程的計(jì)算機(jī)模擬，用壁厚的中性層分析，可預(yù)測(cè)注塑件的溫度和壓力變化。圖2-40c和圖2-40d可查詢到成型冷卻到10s時(shí)的溫度和壓力分布。澆道附近的電池箱底面溫度187℃，遠(yuǎn)側(cè)角179℃。對(duì)應(yīng)的壓力為21MPa和18MPa。延續(xù)分析可確定合理的冷卻開(kāi)模時(shí)間，并改進(jìn)冷卻管道布置。

圖2-40 蓄電池箱的冷卻過(guò)程的計(jì)算機(jī)模擬

a）管道布置和網(wǎng)格劃分 b）保壓切換時(shí)的壓力 c）冷卻至10s時(shí)的溫度分布

圖2-40 蓄電池箱的冷卻過(guò)程的計(jì)算機(jī)模擬（續(xù)）

d）10s時(shí)的壓力分布

4.三維非穩(wěn)態(tài)和穩(wěn)態(tài)的邊界元方法冷卻分析

對(duì)于三維的注塑模Ω域（圖2-39所示）內(nèi)，冷卻過(guò)程的非穩(wěn)態(tài)熱傳遞完整方程為

注射模鋼板材料是各向同性的，其熱導(dǎo)率λ=λ_x=λ_y=λ_z。三維的注射模Ω域內(nèi)溫度場(chǎng)T（x，y，z，t）冷卻過(guò)程的非穩(wěn)態(tài)熱傳遞方程為

Ω域內(nèi)初始條件

T（x，y，z，t）=T₀（x，y，z） （2-117a）

各個(gè)熱傳遞方程的代號(hào)的含義由前所述。邊界條件有三方面：

1）注射模表面對(duì)大氣界面Γ₁，大氣溫度為T₀時(shí)，有界面溫度

T（x，y，z，t）=T₀（x，y，z，t） （2-117b）

2）對(duì)注射模的冷卻管道界面Γ₂，界面的法向上有熱流通量q_j時(shí)，有熱流

q（x，y，z，t）=q_j（x，y，z，t） （2-117c）

3）對(duì)注射模型腔的冷卻界面Γ₃，注塑件溫度為T∞。界面的法向上有熱流通量

三維的注射模非穩(wěn)態(tài)熱傳遞方程的數(shù)值分析太復(fù)雜，因此建立穩(wěn)態(tài)熱傳遞方程，作如下簡(jiǎn)化和假設(shè)。

1）用穩(wěn)態(tài)冷卻過(guò)程近似替代瞬態(tài)過(guò)程，不考慮注射模升溫初始階段的溫度變化，不考慮注射模隨注射周期的溫度波動(dòng)。

2）模具型腔的熱流通量沿注塑件型腔表面的法線方向傳遞，對(duì)較復(fù)雜形體較難把握。根據(jù)注塑件為薄壁板件的組合，不考慮板平面方向的熱傳導(dǎo)，這樣將注塑件展開(kāi)，按壁厚方向的一維非穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)分析。

3）假定模具鋼材各向同性。

4）假定在冷卻過(guò)程中，注塑件在模具型腔壁面上完全接觸，不考慮注塑件冷卻收縮后，與壁面脫離而產(chǎn)生熱阻。

通過(guò)簡(jiǎn)化，三維的注射模穩(wěn)態(tài)熱傳遞方程為拉普拉斯（Laplace）方程，不含時(shí)間變量。對(duì)注射模Ω域內(nèi)的熱傳導(dǎo)的三維溫度場(chǎng)，有

邊界條件簡(jiǎn)化后注射模表面界面Γ₁，有

T=T₀ （2-119a）

邊界條件簡(jiǎn)化后界面Γ_i=Γ₂+Γ₃，有

熱傳遞方程各式的代號(hào)含義如前所述。其中n為模具Γ₂和Γ₃表面的單位外法線方向矢量。當(dāng)α_Γ3=0時(shí)為Γ₂邊界條件。當(dāng)q_Γ2=α_Γ3·T∞時(shí)為Γ₃邊界條件。