3.1 機械結(jié)構(gòu)設(shè)計原理

結(jié)構(gòu)強度校核涉及的知識主要包括理論力學(xué)、材料力學(xué)、工程力學(xué)等，下面對一些基本概念進行簡要介紹。

3.1.1 彈性變形體的基本假設(shè)

材料力學(xué)是以變形固體的宏觀力學(xué)性質(zhì)作為基礎(chǔ)，并不涉及其微觀結(jié)構(gòu)，所以，在進行理論分析時，為了使問題得到簡化，可以取彈性變形體作為材料力學(xué)中研究對象的理想化模型，但必須做出以下三個基本假設(shè)：

1）假設(shè)組成結(jié)構(gòu)的固體物質(zhì)是連續(xù)、毫無空隙地充滿了固體的體積。

2）假設(shè)物體內(nèi)部各部分的材料性質(zhì)都是完全相同的。

3）假設(shè)在固體的任意一點的各個方向都具有相同的材料性質(zhì)。

當對構(gòu)件進行強度、剛度、穩(wěn)定性等力學(xué)方面的研究時，一般在彈性變形范圍內(nèi)將材料看成均勻、連續(xù)、各向同性的彈性變形體。實踐證明，在此基礎(chǔ)上建立起來的分析理論和分析計算結(jié)果是能夠滿足工程設(shè)計需要的。

3.1.2 應(yīng)力應(yīng)變計算

當直徑為d的圓棒，在承受拉力為F的載荷時會引起圓棒變形而伸長，如圖3.1所示。

假設(shè)原始長度為l，受力變形之后的長度為l₁，則變形量為Δl=l₁-l，則應(yīng)變?yōu)?/p>

由圖3.1可知，除了軸向有變形外，橫向也是有變形的，橫向產(chǎn)生的應(yīng)變?yōu)?/p>

而橫向線應(yīng)變與縱向線應(yīng)變之比的絕對值為常數(shù)，此常數(shù)稱為泊松比，其表示如下：

而此桿在承受拉力為F時，桿的應(yīng)力σ可表示如下：

如圖3.2所示的受力情況，圓柱試樣承受如下所示的載荷，載荷與受力截面平行，此類載荷與前面所述拉伸載荷不同，承受此載荷會使這兩個平行面間的任一（平行）橫截面產(chǎn)生錯動變形，此變形稱為剪切變形。

承受剪切載荷所產(chǎn)生的剪切力可表示如下：

承受剪切載荷所產(chǎn)生的角變形量即為剪切應(yīng)變，可表示如下：

單向應(yīng)力狀態(tài)下線彈性階段的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系服從虎克定律，即有：

式中，E為材料的彈性模量，將其推廣到一般應(yīng)力狀態(tài)下各向同性材料下的廣義虎克定律，如式（3-8）所示：

以上即為材料在線彈性階段的材料本構(gòu)關(guān)系。

當沖擊引起塑性變形時，文獻中有研究運動物體對桿端的縱向沖擊問題，如圖3.3所示，一個質(zhì)量為m的大物體沿軸向撞擊桿端，物體的初始速度為v，在任一時刻t，應(yīng)力波傳入桿一定的距離，由于連續(xù)條件，被撞擊的桿端部位移的距離等于桿的端部總的伸長，即有：

應(yīng)力波的傳播速度為，則方程（3-9）變?yōu)?/p>

故有

上述為線彈性情況，當某點的應(yīng)力超過材料的屈服強度時，顯然式（3-7）～式（3-11）是不適用的，對彈性情況先進行微分，基于微分結(jié)果進行擴展是可以得到塑性變形時的本構(gòu)方程。首先對彈性情況的偏微分方程為

式中，s為位移；ρ為密度；應(yīng)力波的傳遞速度。

式（3-12）中的彈性模量E是在初始線彈性范圍內(nèi)的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線的斜率，當有塑性變形時，可用來替代E，則可以確定應(yīng)力應(yīng)變曲線任一位置處的斜率，因此方程（3-12）可以變?yōu)椋?/p>

當材料中的某一點應(yīng)力超過屈服強度進入塑性狀態(tài)時，需要通過相關(guān)試驗獲得材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，如圖3.4 所示為單向拉伸應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線。

塑性應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系包括以下幾個特點：

1）應(yīng)力與應(yīng)變之間是非線性關(guān)系。

2）塑性應(yīng)變是不可逆的，且應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系不是唯一對應(yīng)。即一個應(yīng)力可以對應(yīng)多個應(yīng)變狀態(tài)，同時一個應(yīng)變也可以對應(yīng)多個應(yīng)力狀態(tài)，與加載路徑或者加載歷史相關(guān)。

3）塑性應(yīng)變時，材料的體積認為是不變的。

3.1.3 材料模型

在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，材料的應(yīng)力與應(yīng)變的本構(gòu)關(guān)系可以歸結(jié)為函數(shù)的關(guān)系：

這種函數(shù)關(guān)系一般與材料特性、結(jié)構(gòu)的變形相關(guān)，與應(yīng)力的狀態(tài)無關(guān)。根據(jù)強度理論可知，可選擇單向應(yīng)力狀態(tài)來建立這種函數(shù)關(guān)系，單向均勻拉伸或者壓縮試驗是反映材料力學(xué)行為的基本試驗，材料開始進入塑性變形的應(yīng)力稱之為屈服應(yīng)力，在屈服之前，應(yīng)力與彈性應(yīng)變呈線性關(guān)系，可參考式（3-12）。一般材料在進入塑性狀態(tài)后，繼續(xù)變形將會產(chǎn)生強化，卸載后再加載時，材料的屈服應(yīng)力將增加，這種不斷更新的屈服應(yīng)力稱為后繼屈服應(yīng)力，通過試驗獲得的真實應(yīng)力-應(yīng)變曲線一般都是非線性關(guān)系。

常用的材料本構(gòu)模型有理想彈塑性材料模型、冪指數(shù)硬化材料模型、剛塑性線性硬化材料模型、彈塑性線性硬化材料模型等。Crush-able材料模型為泡沫類材料或者近似泡沫類材料常用到的材料本構(gòu)模型，在LS-Dyna里面的材料模型為MAT63號或者MAT163號，除了需要定義密度、初始彈性模量和泊松比外，還需要輸入名義應(yīng)力-體積應(yīng)變曲線（圖3.5），且曲線輸入可以基于不同應(yīng)變率。此模型可以用來模擬裸電池單體受擠壓變形時的本構(gòu)關(guān)系。

3.1.4 沖擊分析

沖擊響應(yīng)是指結(jié)構(gòu)在承受一定的沖擊后，其在載荷作用下所產(chǎn)生的響應(yīng)，結(jié)構(gòu)所產(chǎn)生的響應(yīng)大小與系統(tǒng)的固有頻率、沖擊載荷頻率和阻尼相關(guān)。沖擊響應(yīng)圖譜的橫坐標是頻率，縱坐標是最大加速度響應(yīng)值。

在介紹沖擊響應(yīng)譜時，先介紹一下單自由度系統(tǒng)，如圖3.6所示，其中F（t）為單自由度系統(tǒng)的基礎(chǔ)激勵（輸入加速度），K為單自由度系統(tǒng)的等效剛度，C為單自由度系統(tǒng)的阻尼系數(shù)，M為等效質(zhì)量。

其數(shù)學(xué)表達式：

此即為牛頓第二定律。

電池包結(jié)構(gòu)雖然零部件很多，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，但從本質(zhì)來講，還是可以近似為由許多單自由度系統(tǒng)組成的復(fù)雜系統(tǒng)，每一個固有頻率對應(yīng)一個單自由度系統(tǒng)。電池包的等效單自由度系統(tǒng)如圖3.7所示。在同一沖擊載荷條件下，系統(tǒng)的每一個固有頻率對應(yīng)的響應(yīng)加速度是不一樣的，且沖擊響應(yīng)譜具有一定的規(guī)律。

根據(jù)牛頓定律，對于尖峰脈沖輸入，單自由度系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)為

當sin（2πf_nt）=1時，響應(yīng)峰值為a_maxresp=2πf_nΔV，式中ΔV表示加速度變化率，，此計算公式適用于持續(xù)時間短的沖擊輸入。

半正弦脈沖沖擊響應(yīng)譜的特性如圖3.8所示。f_n為系統(tǒng)結(jié)構(gòu)固有頻率，D為沖擊載荷持續(xù)時間。

1）當f_nD＜0.3時，系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)最大值小于沖擊脈沖的峰值加速度，即。因此此段區(qū)域的響應(yīng)可以采用公式（3-16）來預(yù)測。

2）當0.3≤f_nD<10時，系統(tǒng)的沖擊響應(yīng)大于沖擊脈沖的幅值，在此區(qū)間內(nèi)沖擊響應(yīng)具有放大作用，即。

3）當f_nD≥10時，。

3.1.5 疲勞強度計算

在某點或某些點承受擾動應(yīng)力，且在足夠的循環(huán)擾動之后形成裂紋或完全斷裂的材料中所發(fā)生的局部永久結(jié)構(gòu)變化的發(fā)展過程，稱為疲勞。提到“疲勞”就會聯(lián)想到“疲勞壽命”，疲勞壽命的定義是這樣的：足夠多的擾動載荷作用之后，從高應(yīng)力或高應(yīng)變的局部開始形成裂紋，直至到達臨界尺寸而發(fā)生完全斷裂，最后的斷裂，標志著疲勞過程的終結(jié)，這一發(fā)展過程所經(jīng)歷的時間或擾動載荷作用的次數(shù)，稱為“疲勞壽命”。圖3.9所示為關(guān)于循環(huán)應(yīng)力與循環(huán)次數(shù)的介紹。循環(huán)的應(yīng)力幅S_a、平均應(yīng)力S_m以及應(yīng)力比R表示如下：

從裂紋擴展的角度，疲勞可以分為高周疲勞和低周疲勞，高周疲勞裂紋擴展規(guī)律可利用線彈性斷裂力學(xué)方法研究：低周疲勞裂紋擴展規(guī)律一般采用彈塑性斷裂力學(xué)方法研究，在現(xiàn)代工業(yè)中，80%以上的機械破壞都屬于疲勞失效。從疲勞的基本概念可以看出，疲勞具有以下幾個特點：

1）導(dǎo)致結(jié)構(gòu)發(fā)生疲勞失效的外因是擾動應(yīng)力，即循環(huán)載荷，常見的循環(huán)載荷有恒幅值循環(huán)、變幅值循環(huán)以及隨機振動載荷。

2）疲勞往往發(fā)生在高應(yīng)力或者高應(yīng)變的局部區(qū)域。

3）結(jié)構(gòu)在承受足夠多的擾動載荷之后，才會慢慢形成裂紋或者完全斷裂。

1.材料的S-N曲線

結(jié)構(gòu)在發(fā)生疲勞失效前所經(jīng)歷的應(yīng)力或者應(yīng)變循環(huán)次數(shù)稱為循環(huán)疲勞壽命，一般用N表示，試樣的疲勞壽命取決于材料的疲勞性能和載荷水平，圖3.10 所示為結(jié)構(gòu)所承受的三種常見典型載荷：恒幅載荷、變幅載荷以及隨機振動載荷。一般地，載荷越低，試件的疲勞壽命越長；反之疲勞壽命越短。這種載荷水平與循環(huán)壽命之間的關(guān)系能夠通過曲線繪制出來，被稱為S-N曲線，也稱為維勒曲線，圖3.11所示為鋼材的S-N曲線。循環(huán)壽命＜10³次的疲勞稱為低周疲勞，循環(huán)壽命在10³～10⁶次為高周疲勞，循環(huán)壽命超過10⁶次為永久疲勞或極限疲勞。當然，低周疲勞與高周疲勞之間的界限，以及永久疲勞的界限不能由特定循環(huán)次數(shù)來定義，鋼和鋁的就不一樣。S₁₀₀₀表示疲勞壽命為1000次的疲勞應(yīng)力幅， S_be表示永久疲勞應(yīng)力幅。

2.疲勞累積損傷理論

Miner疲勞損傷累積理論的基本假設(shè)：在任何循環(huán)應(yīng)力載荷下結(jié)構(gòu)都將產(chǎn)生疲勞損傷，疲勞損傷的程度與在該應(yīng)力水平下的工作循環(huán)次數(shù)有關(guān)，與載荷的加載順序無關(guān)，不同應(yīng)力幅循環(huán)下所產(chǎn)生的總損傷等于每個應(yīng)力水平下的損傷之和。

假設(shè)在應(yīng)力σ_i下材料達到破壞的循環(huán)次數(shù)為N_i，設(shè)D為試件斷裂時的臨界值，根據(jù)Miner理論，應(yīng)力σ_i水平下每循環(huán)一次對材料的損傷為D/N_i，則經(jīng)過n_i次后，對應(yīng)的材料累積損傷為n_iD/N_i，當各種對材料的損傷綜合達到臨界值D時，材料即發(fā)生破壞，理想情況下D為1，即可表示為如下公式：

式（3-20）即為Miner線性累積損傷方程式。線性累積損傷理論顯著地簡化了疲勞計算，且已經(jīng)證實其計算結(jié)果與實驗結(jié)果具有很好的一致性。

3.基于極限拉伸強度的S-N曲線估算

S－N曲線是疲勞仿真的基礎(chǔ)輸入數(shù)據(jù)，在進行疲勞壽命設(shè)計時，常常有些材料沒有現(xiàn)成的S－N曲線，如果通過試驗獲取則需要耗費大量的時間和資源，因此基于前人的大量研究，李永利博士提出了基于有限的信息估算S－N曲線的方法，對于鋼制試件，在1、10³、10⁶次循環(huán)時的強度即可以定義一條S－N曲線，這些疲勞強度值分別對應(yīng)著S′_f、S₁₀₀₀，S′_f為修正后的極限抗拉強度，在高周疲勞區(qū)域，S－N曲線的斜率b可以用式（3-21）表示：

在雙對數(shù)坐標下，S=bN，已知點（S₁，N₁），即可確定S₂應(yīng)力水平下的疲勞損傷循環(huán)次數(shù)N₂：

S-N估算方法

為了獲得零件的基準S-N曲線，首先需要確定零件材料的抗拉強度，一旦確定了材料的抗拉強度，在此基礎(chǔ)上可以近似得到10³次循環(huán)、10⁶次循環(huán)的疲勞強度，然后基于影響強度的因素考慮對其進行修正，即可估算出有限壽命區(qū)域的S-N曲線。

以鋼為例，可以根據(jù)其硬度對抗拉強度進行估算，對于布氏硬度較低的低碳鋼和中強度鋼，材料的極限抗拉強度可以被線性近似為：

鑄鐵的極限抗拉強度可以估算為

極限抗拉強度有了估算的依據(jù)后，再來估算S₁000和S_be。10³次循環(huán)時的疲勞強度取決于加載類型和可靠性水平，一般的：

式中，C_R為在規(guī)定可靠度下的修正系數(shù)；K′_f為1000 次循環(huán)時的疲勞強度折減系數(shù)。根據(jù)大量研究表明，S₁₀₀₀在彎曲加載時近似等于90%的極限抗拉強度S_u，而在軸向加載時近似等于75%的極限抗拉強度S_u，在扭轉(zhuǎn)加載時，其近似等于90%的極限剪切強度S_us。如果考慮疲勞數(shù)據(jù)統(tǒng)計的分散性，則需要在規(guī)定可靠度水平的中值基準S-N數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，對零件的疲勞強度進行修正，在缺乏嚴格統(tǒng)計分析數(shù)據(jù)時，可以參見表3.3所示的可靠度系數(shù)進行修正。

由S-N曲線的特點可知，在疲勞強度達到永久極限壽命時，隨著N的增加，S_be的值基本趨于穩(wěn)定，疲勞試驗不可能無限進行下去，必須規(guī)定一個循環(huán)次數(shù)，達到該值就停止試驗，而這個無失效的疲勞應(yīng)力幅被稱為疲勞極限。前人根據(jù)大量的試驗觀察到了一個現(xiàn)象，鍛鋼的疲勞極限與材料抗拉強度之間存在著一種關(guān)系

鑄鐵的彎曲疲勞極限一般定為5×10⁷次循環(huán)，對應(yīng)為0.4倍的極限抗拉強度。鋁合金一般規(guī)定為5×10⁸次循環(huán)，一般取在0.4倍的極限抗拉強度，對于鋁合金抗拉強度超過336MPa時，疲勞極限取130MPa。