3.2 平順性分析

車身振動加速度是評價汽車平順性的主要指標，另外懸架的動撓度δ_d與其限位行程[δ_d]配合不當時，會經常撞擊限位塊，使平順性變壞，而車輪與路面間的動載F_d影響車輪與路面的附著效果，影響操縱穩定性。因此，在進行平順性分析時，要在路面隨機輸入的情況下，對汽車振動系統這三個振動響應量，即車身振動加速度、懸架動撓度δ_d和車輪動載荷F_d進行分析計算，以綜合選擇懸架系統的設計參數。

3.2.1 系統響應量的功率譜密度和均方根值

對于所討論的汽車振動系統，路面只經一個車輪對系統輸入并假設路面不平度函數為平穩隨機過程，則線性系統平穩隨機激勵下的振動響應x包括車身振動加速度、懸架動撓度δ_d和車輪動載荷F_d三個振動響應量，它們的功率譜密度G_x（f）與路面輸入量的功率譜密度G_q（f）的關系可統一表示為

G_x（f）=H（f）x_-q^{2 G}q（f）（3-28）

式中，為頻率（Hz）；H（f）x_-q即為幅頻特性H（ω）x_-qω=2πf，下標x代表三個振動響應量、δd和F_d。由于車身振動加速度、懸架動撓度δ_d和車輪動載荷F_d三個振動響應量取正、負值的概率相同，所以其均值近似為零。因此，這些振動響應量的統計特征值——方差等于均方值。均方值可由其功率譜密度對頻率積分求得，即

式中，σ_x為振動響應量的標準差，當均值為零時，它就等于均方根值。

進行平順性分析時，通常根據路面不平度系數與車速共同確定的路面輸入譜G_q（f）和由汽車懸架系統參數確定的頻率響應函數H（f）x_-q，按式（3-28）和式（3-29）計算振動響應量的功率譜G_x（f）和均方根值σ_x。由此可以分析懸架系統參數對振動響應的影響，反過來也可根據汽車平順性評價指標來優化懸架系統設計參數。

路面輸入除了利用式（3-29）中的位移譜G_q（f），還可以用速度譜或加速度譜與相應的幅頻特性或的平方相乘，同樣可以得到振動響應量的功率G_x（f）。

路面統計分析結果表明，路面速度功率譜在整個頻率范圍內為一常數，即“白噪聲”，且常數只與路面不平度系數和車速有關，而與頻率無關，即恒為某個常數，這給平順性計算分析帶來極大方便。用作為輸入譜代入式（3-28）并兩邊開方，得到輸入與響應輸出量均方根值譜之間的關系為

因為為常數，即，因此由式（3-30）可知，振動響應量的均方根值譜與響應量x對速度輸入q·的幅頻特性的圖形完全相同，只差某常數倍。所以，完全可以用響應量對速度輸入的幅頻特性來定性分析響應量的均方根值譜，為車輪行駛平順性和安全性分析提供了方便。

3.2.2 單質量系統的車輛平順性分析

1.單質量系統振動響應量的幅頻特性

（1）車身振動加速度對的幅頻特性由定義可知，單質量車身振動加速度對的幅頻特性為

式中，Z（ω）為單質量車身振動響應位移z（t）的傅里葉變換；Q（ω）為路面激勵位移q（t）的傅里葉變換。

由于，所以單質量車身振動加速度對q·的幅頻特性可化為

圖3-5所示為兩種不同固有頻率ω_n和阻尼比ξ情況下的車身振動加速度對的幅頻特性曲線。由曲線可以看出，隨固有頻率p₀的提高，在共振段和高頻段都成正比例提高。在共振時，激振頻率ω等于系統圓頻率p₀，將ω=p₀的代入式（3_-31），可得

圖3-5 單質量系統的對特性曲線

由此可知在共振點，的均方根值譜與固有圓頻率ω_n成正比；在共振段，阻尼比ξ增大，減小；在高頻段，ξ增大，也增大，故ξ對共振段與高頻段的效果相反。綜合考慮，取單質量懸架系統的阻尼比ξ為0.2～0.4比較合適。

（2）車輪相對動載w_d對的幅頻特性車輪與路面間的動載F_d與車輪作用于路面的靜載G之比值F_d/G，稱為相對動載w_d。因此，單質量系統的車輪相對動載w_d，可表示為

當相對動載w_d＞1時，車輪會跳離地面而完全失去附著，嚴重影響汽車的操縱穩定性和行駛安全性。

可見，單質量系統的車輪相對動載w_d對的幅頻特性，與對的幅頻特性只相差系數1/g，其中g為重力加速度，即

即

圖3-6 限位行程示意圖

因此，單質量系統固有頻率ω_n和阻尼比ξ對車輪相對動載的影響與上面討論的完全一樣，在此不再贅述。

（3）懸架動撓度δ_d對的幅頻特性如圖3-6所示，由車身平衡位置起，懸架允許的最大壓縮行程就是其限位行程δ_d，動撓度δ_d必與限位行程[δ_d]應適當配合，否則會增加行駛中撞擊限位的概率，使平順性變壞。由圖3-6可知，動撓度δ_d=z-q，所以動撓度δ_d對路面位移激勵q的頻率響應函數為

即

單輪響應的頻響函數為

將式（3-37）代入式（3-36）得

因此，動撓度δ_d對路面位移激勵q的幅頻特性為

動撓度δ_d對路面位移激勵q的幅頻特性曲線如圖3-7所示。

圖3-7 δ_d對q的幅頻特性曲線

由圖3-7和式（3-39）可知：

1）在低頻段，當λ＜＜1時，λ²對輸入位移起衰減作用。

2）在高頻段，當λ＞＞1時，1，此時，車身位移z→0，即懸架變形與路面輸入趨于相等。

3）在共振段，當λ→1時，，阻尼比對只在共振段起作用，而且當ξ=0.5時，已不呈現峰值。

因為路面激勵速度的傅里葉變換（ω），因此，動撓度δ_d對路面激勵速度的幅頻特性應為

即

動撓度δ_d對路面激勵速度的幅頻特性曲線如圖3-8所示。圖中給出了兩種不同固有頻率和阻尼比ξ情況下的幅頻特性曲線。

由圖3-8曲線可以看出，隨著固有頻率p₀的提高，幅頻特性曲線在共振段和低頻段均與p₀成正比例下降。

在共振時，激勵頻率ω等于懸架系統固有圓頻率p₀，即ω=p₀，由式（3-39）和式（3_-40）可得

圖3-8 δ_d對的幅頻特性曲線

所以，共振點上δ_d的均方根值譜與懸架系統的固有頻率p₀和阻尼比ξ成反比，即共振點的動撓度隨懸架彈簧剛度和減振器阻尼的增加而降低。

2.單質量系統振動響應量的功率譜與均方根值

當確定了路面不平度系數G_q（n₀）和車速v之后，根據隨機振動理論，可計算求得路面激勵速度的功率譜密度

，即

按式（3-31）、式（3-34）、式（3-40）和懸架系統具體參數，求出單質量系統的車身振動加速度、車輪動載荷w_d和懸架動撓度δ_d對路面激勵速度的幅頻特性，然后將式（3-42）代入式（3-28），便求得單質量系統車身振動加速度、車輪相對動載荷（f）和懸架動撓度的功率譜密度，它們分別為

由于這三個振動響應量的均值為零，所以它們的方差都等于各自的均方值，而均方值可由其功率譜密度對頻率積分式（3-29）求得。因此，將式（3-43）、式（3-44）和式（3_-45）代入式（3-29），可求得單質量系統的振動響應量車身振動加速度、車輪相對動載荷w_d和懸架動撓度δ_d的均方值，分別為

式中，為單質量車身振動加速度的標準差；σ_wd為車輪相對動載w_d的標準差；σ_δd為懸架動撓度δ_d的標準差。

由于式（3-46）～式（3-48）中的幅頻特性表達式相當復雜，一般難以用解析的方法直接進行積分，因此在工程上常采用數值積分的方法，即等間隔取N個離散頻率值，頻帶寬度為Δf，因此，式（3-46）～式（3-48），可分別變為

3.單質量系統參數對平順性的影響及選擇

由以上分析可知，降低固有頻率f₀，可明顯降低車身振動加速度，即改善車輛行駛平順性。但是，隨著固有頻率f₀的降低，動撓度δ_d增大，因此，動撓度限位行程[δ_d]勢必要隨著固有頻率f₀的降低而增大，而車輛的動撓度限位行程[δ_d]是受到結構布置的限制的。對應給定車輛固有頻率f₀的情況下，降低阻尼比ξ，即減小懸架系統的阻尼系數c_s，也可以提高車輛的舒適性，但是隨著阻尼比ξ的降低，車輛動撓度將有所增加，同時，車輪相對動載將增加，從而使得車輛的行駛安全性降低。目前，車輛懸架系統固有頻率f₀、靜撓度δ_s、限位行程[δ_d]和阻尼比ξ的實用選擇范圍見表3-2所示。

表3-2 懸架系統f₀、δ_s、[δ_d]和ξ的選擇范圍

轎車舒適性要求比較高，而行駛路面也比貨車和越野車的行駛路面相對較好，懸架動撓度δ_d引起的撞擊限位的概率也很小，因此，轎車車身部分的固有頻率可選擇較低，以減小車身加速度，一般車身固有頻率f₀選擇范圍為1.0～1.5Hz。反之，貨車和越野車由于行駛路面較差，為了減小懸架動撓度δ_d撞擊限位的概率，車身固有頻率f₀選擇偏高些，一般為1.5～2.0Hz。在固有頻率f₀比較低、行駛路面較差的情況下，動撓度會相當大，這時應選擇偏大的阻尼比ξ，以降低撞擊限位的概率。

3.2.3 雙質量系統模型的車輛平順性分析

1.雙質量系統振動響應量的幅頻特性

（1）車身振動加速度對的幅頻特性 車身振動加速度對的幅頻特性為

車身m₂的振動響應z₂對路面激勵位移q的幅頻特性為

式中，；λ為頻率比，λ=ω/p₀；p₀為懸架固有圓頻率，；r_k為剛度比，r_k=k_t/k；r_m為質量比，r_m=m₂/m₁。

將式（3-53）代入式（3-52），可得車身振動加速度對的幅頻特性應為

（2）相對動載F_d/G對的幅頻特性

1）車輪動載為：F_d=k_t（z₁-q）。

2）車輪靜載為：G=（m₂+m₁）g=m₁（r_m+1）g。

3）相對動載為：。

因此，相對動載w_d對路面激勵位移q的頻率響應函數為

車輪響應z₁對路面激勵位移q的頻率響應函數為

式中，A₁=jωc+k=k（1+2jξλ）；A₂=k-ω²m₂+jωc=k（1-λ²+2jξλ）；A₃=k+k_t-ω²m₁+jωc；N=A₃A₂-A²₁。

因此，車輪響應z₁對路面激勵位移q的幅頻特性為

將式（3-56）代入式（3-55），可得相對動載w_d對路面激勵位移q的頻率響應函數為

根據H（ω）_wd-q，可得到相對動載w_d對路面激勵速度的頻率響應函數，即

即

所以，車輪相對動載w_d對路面激勵速度的幅頻特性為

（3）懸架動撓度δ_d對的幅頻特性 懸架動撓度δ_d對路面激勵位移q的頻率響應函數為

即

將式（3-56）和式（3-53）代入式（3-62），可得懸架動撓度δ_d對路面激勵位移q的頻率響應函數為

即

因此，懸架動撓度δ_d對路面激勵速度的頻率響應函數為

所以，懸架動撓度δ_d對路面激勵速度的幅頻特性為

2.雙質量系統振動響應量的功率譜與均方根值

同理，根據單質量系統振動響應量的功率譜和均方根值的求解方法，可求得雙質量系統振動響應量的功率譜與均方根值。具體計算過程為，按式（3-54）、式（3-61）、式（3-64）和懸架系統具體參數，求出振動響應量車身振動加速度、車輪動載荷w_d和懸架動撓度δ_d對路面激勵速度的幅頻特性，然后將由路面不平度系數G_q（n₀）和車速v所求得的路面激勵速度的功率譜密度，代入式（3-28）便求得車身振動加速度、車輪相對動載荷和懸架動撓度的功率譜密度，它們分別為

即

即

即

將式（3-65）～式（3-67）代入式（3-29），可求得振動響應量車身振動加速度、車輪相對動載荷w_d和懸架動撓度δ_d的均方值，分別為

式中，為車身振動加速度的標準差，均值為零時等于均方根值；為車輪相對動載w_d的標準差；為懸架動撓度δ_d的標準差。

下面以振動加速度為例，計算汽車以速度v行駛時車身振動加速度的均方值。

將路面功率譜密度式（3-65）代入式（3-68），可得車身振動加速度的均方值為

由上式可以看出，當由系統參數所確定的車身振動加速度對路面激勵速度的幅頻特性一定時，車身m₂垂直振動響應加速度的均方值與路面不平度系數G_q（n₀）以及車速v成正比。因此，不同路面的不平度系數和車速下的均方值，可以按G_q（n₀）和v數值變化的比例推算得出。

3.2.4 雙質量系統參數的車輛平順性影響分析

為了分析雙質量系統車身部分固有頻率f₀、懸架阻尼比ξ、剛度比r_k和質量比r_m這四個參數對振動系統響應車身振動加速度、懸架動撓度δ_d和車輛相對動載F_d的影響，采用上述數值積分的方法，在B級路面、車速v=20m/s的情況下，對車身振動加速度、懸架動撓度δ_d和車輛相對動載w_d對路面激勵速度的幅頻特性和均方根值分別進行了計算。分析系統時的參數取值見表3-3。

表3-3 分析系統時的參數取值

1.車身固有頻率f₀的影響分析

圖3-9a、b、c所示為車身部分固有頻率f₀分別為0.5Hz、1.0Hz、2.0Hz三種不同值（此時所對應的車輪部分的固有頻率f_t=10f₀，相應分別為5Hz、10Hz和20Hz）、車輪阻尼比ξ_t=0.25為常數且其他參數保持不變時，車身振動加速度、懸架動撓度δ_d和車輛相對動載w_d對路面激勵速度的幅頻特性曲線。振動響應量的均方根值隨固有頻率f₀變化的曲線如圖3-9d所示。

由圖3-9可知，隨著固有頻率f₀的增加，車身振動加速度和車輛相對動載w_d對路面激勵速度的幅頻特性，沿著斜率為+1的方向向右上方平移，而懸架動撓度δ_d路面激勵速度的幅頻特性沿著斜率為-1的方向向右下方平移。三個振動響應量的均方根值隨著固有頻率f₀的變化曲線如圖3-9d所示。這表明，三個振動響應量對系統固有頻率的變化是很敏感的。

圖3-9 固有頻率f₀對響應量的影響

2.車身阻尼比ξ的影響分析

圖3-10a、b、c所示為車身部分阻尼比ξ分別為0.125、0.25、0.5三種不同值，其他參數f₀=1.0Hz、質量比r_m=10、剛度比r_k=9.0保持不變時，車身振動加速度、懸架動撓度δ_d、車輛相對動載w_d對路面激勵速度的幅頻特性曲線。此時，車輪部分的固有頻率f_t=10Hz，ξ_t=ξ。振動響應量的均方根值隨阻尼比的變化曲線，如圖3-10d所示。

由圖3-10可知，隨著阻尼比ξ的增大，在低頻共振區范圍內的幅頻特性、的峰值均下降；而在低頻和高頻兩個峰值之間，幅頻特性、的幅值都增大；在高頻共振區，的幅值變化很小，而的幅值有明顯的下降。當阻尼比ξ增大時，動撓度δ_d的幅頻特性在高頻和低頻兩個共振區均顯著下降，而在兩個共振峰值之間變化比較小。

圖3-10 車身阻尼比ξ對響應量的影響

3.車身與車輪質量比r_m的影響分析

圖3-11a、b、c所示為車身與車輪質量比r_m分別為5.0、10、20三種不同值，其他參數固有頻率f₀、阻尼比ξ、剛度比r_k均保持不變時，車身振動加速度、懸架動撓度δ_d、車輛相對動載w_d對路面激勵速度的幅頻特性曲線。

由圖3-11a、b、c可知，當車身質量m₂一定時，質量比r_m改變相當于車輪部分質量m₁改變，則影響車輪部分的固有頻率f_t和阻尼比ξ_t。r_m增大，相當于減小m₁，由車輪部分固有頻率f_t和阻尼比ξ_t的計算公式可知，此時，f_t和ξ_t均提高，從而使三個響應量的幅頻特性的高頻共振峰值向高頻方向移動，而峰值降低。由圖3-11d中質量比r_m對車身振動加速度、懸架動撓度δ_d、車輛相對動載w_d三個響應量均方根值的關系曲線可以看出，質量比r_m增大，車身振動加速度均方根值和車輪動撓度均方根值σ_δd略有減小，主要是車輪相對動載的均方根值σ_wd變化較大。

圖3-11 車身與車輪質量比r_m對響應量的影響

4.懸架與輪胎剛度比r_k的影響分析

圖3-12a、b、c所示為懸架與車輪剛度比r_k分別為4.5、9.0、18三種不同值，其他參數固有頻率f₀、阻尼比ξ、剛度比r_k均保持不變時，車身振動加速度、懸架動撓度δ_d、車輪相對動載w_d對路面激勵速度的幅頻特性曲線。此時，懸架與車輪剛度比r_k增大，相當于懸架剛度k不變而輪胎剛度增大，從而使車輪部分系統參數變化，即車輪部分固有頻率f_t提高，而阻尼比ξ_t下降，從而引起系統三個振動響應量的幅頻特性高頻共振峰值向右移動，且峰值提高。

其中，車輪相對動載w_d對路面激勵速度的幅頻特性變化最大，車身振動加速度對路面激勵速度的幅頻特性次之，而懸架動撓度δ_d的幅頻特性的變化最小。

由圖3-12d可知，懸架與車輪剛度比r_k對車輪相對動載w_d影響比較大，當剛度比r_k減小時，車輪相對動載降低，這表明，采用軟的輪胎可改善平順性，尤其是可以改善車輪的附著性能，提高車輛行駛安全性。

圖3-12 懸架與輪胎剛度比r_k對響應量的影響