3.4 顆粒在流體中的運動行為
3.4.1 力的分析
顆粒在氣流中運動受到不同力的作用，包括外力、流體阻力和相互作用力。顆粒間的相互作用力，在顆粒濃度不高時可忽略。下面對流體阻力、重力、離心力、靜電力、熱力和慣性力等一一作介紹。
3.4.1.1 流體阻力
在不可壓縮的連續流體介質中，做穩定運動的顆粒必然受到流體阻力的作用。這種阻力是由兩種現象引起的：一是由于顆粒具有一定的形狀，運動時必須排開周圍的流體，導致其前面的流體壓力比其后面大，產生了所謂的形狀阻力；二是由于流體具有一定的黏性，與運動顆粒之間存在著摩擦力，導致了所謂摩擦阻力。阻力的大小決定于顆粒的形狀、粒徑、表面特性、運動速度以及流體的種類和性質，阻力的方向總是與速度向量的方向相反。流體阻力按如下方程計算：
（3.27）
式中，Fd為流體阻力，N；Ap為顆粒垂直于氣流的最大斷面積，m2；ρfluid為流體密度，kg/m3；vr為顆粒與流體之間的相對運動速度，m/s；Cd為阻力系數。
阻力系數Cd是顆粒雷諾數Re的函數，關系式為：
（3.28）
式中，a、m為流體狀態參數；雷諾數Re計算式為：
（3.29）
式中，dp為顆粒粒徑，m；μ為流體的動力黏度，Pa·s。
球形、圓柱、圓盤三種類型顆粒物的阻力系數與雷諾數的綜合關系曲線如圖3-13所示。
圖3-13 阻力系數Cd與粒子雷諾數Re的關系
對于球形顆粒物，當雷諾數Re≤1.0時，此時顆粒運動處于層流狀態，即Stokes區域。阻力系數計算式為：
（3.30）
將式（3.30）和式（3.29）代入式（3.27），得到球形顆粒的流體阻力計算公式：
（3.31）
當雷諾數1.0<Re≤1000時，顆粒運動處于湍流過渡區，阻力系數計算式為：
（3.32）
當雷諾數1000<Re≤100000時，顆粒運動處于湍流狀態，阻力系數幾乎不隨雷諾數Re變化，近似取值Cd≈0.44，即通常說的牛頓流體區域。
當顆粒大小與氣體分子平均自由程λ差不多時，顆粒開始脫離與氣體分子的接觸，流體阻力減少，顆粒運動發生所謂的“滑動”。針對這種現象，坎寧漢（Cuningham）提出了滑動修正系數（又稱坎寧漢修正系數），以Cu表示。
（3.33）
式中，Kn為努森數（量綱為1）。
（3.34）
式中，dp為顆粒粒徑，m；λ為氣體分子的平均自由程，m。
（3.35）
式中，μ為氣體的動力黏度，Pa·s；ρ為氣體的密度，kg/m3；
為氣體分子的平均運動速度，m/s。
（3.36）
式中，T為氣體的熱力學溫度，K；M為氣體分子的摩爾質量，kg/kmol；R為摩爾氣體常數，R=8314J/（kmol·K）。
在常壓空氣中，Cu也可用下式估算：
（3.37）
式（3.37）中，粒徑dp的單位為μm。
一個大氣壓、室溫（25℃）氣流中的顆粒粒徑對應的坎寧漢修正系數見表3-12。
表3-12 不同顆粒粒徑的坎寧漢修正系數
顆粒在重力場、電場、離心場中的運動，只要滿足Re≤1.0，都可以用式（3.31）計算所受的流體阻力。當dp≤1.0μm，或Kn>0.016（相當于Cu>1.02），所受阻力要按照式（3.38）進行修正：
（3.38）
例3.3 兩種粒子在空氣沉降室中自由沉降。求下述條件下，勻速沉降粒子所受到的阻力。已知條件為：①粒徑dp=120μm，沉降室空氣溫度T=293K，壓力p=1.013×105Pa，沉降速度υ=0.9m/s；②粒徑dp=1μm，沉降室空氣溫度T=400K，壓力p=1.013×105Pa，沉降速度υ=50μm/s。
解：①查附錄2得：T=293K，壓力p=1.013×105Pa條件下，空氣的動力黏度μ=1.81×10-5 kg/（m·s），密度ρ=1.205kg/m3。則粒子雷諾數：
由于1.0<Re<1000，粒子的沉降運動處于過渡區，得阻力系數為：
②dp=1μm，需要對斯托克斯阻力公式進行坎寧漢修正。由附錄查得T=400K，壓力p=1.013×105Pa條件下，空氣的動力黏度μ=2.29×10-5 kg/（m·s），密度ρ=0.8826kg/m3，空氣的摩爾質量M=28.97kg/kmol，代入式（3.36）得空氣分子的平均運動速度為：
計算空氣分子的平均自由程λ：
努森數Kn=2λ/dp=2×0.096/1×10-6=0.192
由式（3.33）計算坎寧漢修正系數Cu：
粒子所受阻力Fd為：
3.4.1.2 外力
顆粒在流體中運動時，除受到阻力外，可能受到的外力還有重力、浮力、慣性力、離心力、電場力和熱力等。這些力與阻力一起共同作用于運動中的顆粒，形成綜合效應。這些力的計算公式如下：
（3.39）
（3.40）
（3.41）
（3.42）
（3.43）
（3.44）
式中，m為顆粒的質量；dp為顆粒粒徑；ɑ為顆粒運動加速度；vc為顆粒離心運動的線速度；r為離心運動的圓弧半徑；q為顆粒帶的電荷量；Ep為顆粒所在位置的電場強度；W為熱能做的功；L為在力的方向上移動的距離。
3.4.2 斯托克斯定律
3.4.2.1 Stokes沉降速度
一個球形顆粒在空氣流中做自由沉降運動時所受到的作用力如圖3-14所示。根據牛頓第二定律，可知：
（3.45）
圖3-14 顆粒上作用力的分析
式（3.45）右邊三項分別是重力、浮力和流體阻力，公式左邊“ma”項表示的是作用在球形顆粒上力的綜合效應，實現顆粒向下加速運動。由前節可知，流體阻力隨相對運動速度增加而增大，當相對運動速度為0時，流體阻力等于0；當流體阻力等于重力與浮力的差值時，顆粒物開始做勻速沉降運動，此時，公式左邊等于0。代入重力Fg、浮力Fb、流體阻力Fd的計算公式，式（3.45）轉化為：
（3.46）
對于球形顆粒，當雷諾數Re小于1.0時，式（3.46）左邊的流體阻力計算簡化為：
（3.47）
將簡化的流體阻力計算式代入式（3.46），則上式簡化為：
（3.48）
式（3.48）整理后，得到顆粒物勻速沉降相對運動速度：
（3.49）
當顆粒物在靜止的空氣流中做自由沉降運動時，vair=0，則顆粒物在重力作用下的沉降速度為：
（3.50）
這就是著名的斯托克斯定律，式（3.50）又稱為Stokes公式。它很好地描述了球形顆粒在靜止空氣流中做自由沉降運動時的最終沉降速度，通過測定沉降速度，可以計算得到顆粒粒徑。
與顆粒相比，空氣密度ρair遠遠小于顆粒ρp，因此可忽略浮力的影響。式（3.50）進一步簡化為：
（3.51）
例子3.4 計算粒徑為1μm的球形顆粒在靜止空氣中的最終沉降速度。空氣黏度為1.8×10-5kg/（m·s），顆粒密度為2000kg/m3。
解：分別采用式（3.50）和式（3.51）進行計算。
兩者結果是一樣的，這說明采用式（3.51）計算最終沉降速度精度完全滿足要求。
當1.0<Re<1000時，整理式（3.46）后，得到靜止空氣流中顆粒最終重力沉降速度計算式為：
（3.52）
由前節知，阻力系數的計算公式為：
（3.53）
對于牛頓流體區域，Cd≈0.44，直接代入式（3.52），即可得到最終沉降速度vst。
（3.54）
那么如何判斷使用哪個公式計算沉降速度呢？這里介紹一種“試錯法”（trial-and-error method）。“試錯法”的計算流程如下。
首先，通過用Stokes公式試算沉降速度vst：
（3.55）
然后，計算雷諾數Re，比較判斷Re是否小于1.0或在1.0～1000之間。
（3.56）
如果Re<1.0，則表明前面的試算正確。否則，按下式計算阻力系數Cd：
（3.57）
接著，再按下式計算新的沉降速度vst和新的雷諾數Re：
（3.58）
開始新一輪的比較、判斷，并接著計算新的阻力系數、新的沉降速度和新的雷諾數，如此循環，直至前后輪計算的沉降速度值誤差滿足設定的要求，計算結束。
迄今為止，斯托克斯定律被證明能很好地描述顆粒重力沉降過程。如圖3-15所示，Stokes公式計算得到的顆粒終端沉降速度與實測值吻合良好。當顆粒粒徑小于1.0μm或大于30μm時，需要通過上述修正。
圖3-15 顆粒終端沉降速度理論值與實際值的差別
例3.5 已知石灰石顆粒的真密度為2.67g/cm3，試計算粒徑為1μm和400μm的球形顆粒在293K空氣中的重力沉降速度。
解：①對于粒徑1μm，按式（3.51）計算重力沉降速度，并用坎寧漢修正系數修正。
在293K空氣中，坎寧漢修正系數近似按式（3.37）計算：
則，顆粒重力沉降速度：
②對于dp=400μm的顆粒，采用“試錯法”進行計算：
不符合Stokes公式應用的條件。采用過渡區公式計算：
按式（3.53）、式（3.29）循環計算新的重力沉降速度、雷諾數和阻力系數。“試錯法”計算結果如表3-13所示。經過5輪迭代計算，計算結果滿足設定的誤差要求，計算結束。
表3-13 例3.5表
3.4.2.2 Stokes停止距離
例3.6 一直徑1μm的球形顆粒，其密度為2.0g/cm3，以10 m/s的速度從槍口射出進入靜止的空氣流中。請問，顆粒受阻力的作用，飛行多遠停止下來？忽略重力和浮力作用。
解：顆粒在靜止的空氣中運動受到阻力、慣性力的作用，這兩個力方向相反、大小相等（圖3-16）：
（3.59）
圖3-16 例3.6圖
空氣流中，顆粒受到阻力為：
（3.60）
顆粒運動慣性力計算式為：
（3.61）
將阻力和慣性力計算式代入，得到：
（3.62）
對上式整理可得：
（3.63）
上式，
。將此式代入上述計算式，得：
（3.64）
兩邊積分并代入邊界條件，得：
（3.65）
計算得：
（3.66）
空氣動力黏度為1.8×10-5kg/（m·s），Cu=1.166。代入計算得到：
