3.3　顆粒粒徑分布

3.3.1　粒徑

粒徑（particle diameter）是表征顆粒大小的代表性尺寸。對球形顆粒，粒徑是指它的直徑。實際顆粒形狀大多是不規則的，此時用來衡量其大小的“粒徑”往往有不同的含義。同一顆粒按不同的測定方法和定義所得的粒徑，數值不同，應用場合也不同。因此，使用顆粒粒徑時，必須了解所采用的測定方法。例如，用顯微鏡法測定時，有定向粒徑、定向面積等分粒徑和投影面積粒徑等；用重力沉降法測出的粒徑有斯托克斯粒徑或空氣動力直徑；用光散射法測定時，粒徑為體積粒徑；用篩分法測定時，粒徑為篩分直徑。選取粒徑測定方法除需考慮方法本身的精度、操作難易程度及費用等因素外，還應注意測定的目的和應用場合。

顆粒粒徑是選用凈化工藝、確定凈化設備的基礎。在顆粒污染物凈化技術中，常用的顆粒粒徑有篩分粒徑、斯托克斯直徑、空氣動力直徑等，現作如下介紹。

3.3.1.1　篩分粒徑

篩分就是用單層或多層的帶孔篩面，將粒度大小不同的混合物料分成若干個粒度級別的作業過程。篩分粒徑是用標準篩進行篩分法測定時得到的顆粒物大小，是顆粒物能夠通過的最小篩孔尺寸。

篩孔尺寸與篩孔目數存在一一對應關系。篩孔目數是指每平方英寸（1英寸為2.54cm）上的開孔數目。目數越大，篩孔內徑越小，表示篩分通過的顆粒越細。由于存在開孔率的問題，不同國家每平方英寸上開孔數目對應的篩孔尺寸不一樣，目前存在美國、英國和日本三種標準，其中英國和美國標準相近，與日本的差別較大。我國目前使用的是美國標準，篩孔內徑（μm）×篩孔目數=15000。顆粒粒徑與目數的對應關系如表3-5所示。

3.3.1.2　空氣動力直徑

學術界和工程界引入“等效球直徑”（equivalent spherical diameter，ESD），用來描述非球形物體的“大小”，其值等于與非球形物體有相同性質（空氣力學、水力學、光學、電學）的球體直徑。

在同一氣流中，受重力作用，與被測顆粒的密度相同、終沉降速度相等的圓球的直徑，稱之為“斯托克斯直徑”（stokes diameter，d_st）。在非紊流區內，斯托克斯直徑可以通過斯托克斯定律計算得到，相關內容在3.4節詳細闡述。

如果被測顆粒終末沉降速度與單位密度（密度值為1000kg/m³）的圓球終沉降速度相等，則這個圓球的直徑被稱之為“空氣動力學當量直徑”（air aerodynamic diameter，d_a），簡稱“空氣動力直徑”。空氣動力直徑與斯托克斯直徑之間的關系可以用式（3.2）表示：

　　（3.2）

式中，ρ_p為顆粒密度，kg/m³。

表3-6給出了一些常用的顆粒粒徑定義及其計算公式。

3.3.2　粒徑分布

粒徑分布（particle size distribution）又稱分散度，是指不同粒徑顆粒在全體顆粒中所占百分數。按計量方法不同，分為計數分布和計重分布。以顆粒的個數所占的比例表示時，稱為個數分布；以顆粒的質量表示時，則稱為質量分布。由于目前我國顆粒污染物排放標準、煙塵濃度測試方法多采用計重法，除塵器性能分析和計算也涉及顆粒的質量和受力，因此除塵技術常用質量分布。

粒徑分布有區間分布（頻率分布）和累積分布（積分分布）兩種形式。區間分布表示一系列粒徑區間的顆粒百分含量，累積分布表示小于或大于某粒徑的顆粒百分含量。兩種分布的表示方法有列表法、圖示法和函數法3種，其中列表法最簡單、最常用。下面以列表法來說明顆粒物粒徑分布的表達方法和相應的意義。

按粒徑間隔給出的個數分布數據列于表3-7。其中，n_i為每一間隔測得的顆粒個數，N=∑n_i為顆粒的總個數（本例中N=1000個）。據此可以給出顆粒個數分布直方圖（圖3-2）。

3.3.2.1　個數頻率

個數頻率f_i為第i間隔的顆粒個數n_i與顆粒總個數∑n_i之比，即

　　（3.3）

并有∑f_i=1。

3.3.2.2　個數篩下累積頻率

小于第i間隔上限粒徑的所有顆粒個數與顆粒總個數∑n_i之比，稱為個數篩下累積頻率F_i，即

　　（3.4）

個數篩下累積頻率與個數頻率之間的關系為：，并有。

相應地，大于第i間隔上限粒徑的所有顆粒個數與顆粒總個數之比為個數篩上累積頻率。根據計算出的各級個數篩下累積頻率分布F_i值對應各級上限粒徑d_p，可得個數篩下累積頻率分布曲線圖（圖3-3）。由累積頻率曲線可以求出任一粒徑間隔的頻率f值。

3.3.2.3　個數頻率密度

頻率密度為單位粒徑間隔（即1μm）時的頻率，簡稱頻度，單位為μm^-1。

顯然，個數頻率密度表示式為：

　　（3.5）

根據表3-7的數據，計算每一間隔的平均頻率密度=ΔF_i/Δ，按值對粒徑間隔中值作出個數頻率密度分布曲線（圖3-4）。

對式（3.5）積分，得到：

　　（3.6）

粒徑a和粒徑b間隔的頻率、個數篩下累積頻率、個數頻率密度之間的關系為：

　　（3.7）

由圖3-4可知，個數頻率密度有最大值，這個值對應的粒徑稱為眾徑d_d。個數篩下累積頻率F=0.5時對應的粒徑d₅₀稱為個數中位粒徑（NMD）。

3.3.2.4　質量分布

對于同質顆粒物，密度相同，顆粒質量與其粒徑的立方成正比。因此，以顆粒個數給出的粒徑分布數據，可以轉換為以顆粒質量表示的粒徑分布數據。類似個數分布，顆粒可以按質量分級得出相應的質量頻率、質量篩下累積頻率和質量頻率密度定義式。

第i級顆粒發生的質量頻率：

　　（3.8）

小于第i間隔上限粒徑的所有顆粒發生的質量頻率，即質量篩下累積頻率：

　　（3.9）

并有。

質量頻率密度：

　　（3.10）

因此，得到：

　　（3.11）

例3.1　對某一顆粒進行實驗測定，得表3-8數據。試繪出該顆粒質量頻率分布、質量篩下累積分布和質量頻率密度分布曲線。

解：①質量頻率分布g。以粒徑0～5μm和5～10μm為例：

m₀=9+28+66+121+174+198+174+174+121+28+9=1102（g）

g_0～5=Δm/m₀×100%=9/1102×100%=0.8%

g_5～10=Δm/m₀×100%=28/1102×100%=2.5%

依此類推可求出其他粒徑間隔下的質量頻率分布，見表3-9和圖3-5。

②質量篩下累積分布G。由G=∑g，計算得：

同理，求出其他粒徑間隔下的質量篩下累積分布，見表3-9。

③質量篩上累積分布R和質量頻率密度分布q。由R=1-G，得：

同理，求出其他粒徑間隔下的質量篩下累積分布和質量頻率密度分布，見表3-9和圖3-6、圖3-7。

3.3.3　顆粒群平均粒徑

顆粒是由不同粒徑的顆粒所組成的群集合。常采用代表顆粒群特征的平均粒徑，表示顆粒群的某一物理特征。對于由不同粒徑的顆粒所組成的實際顆粒群，以及由尺寸相同的圓球顆粒所組成的假想顆粒群，如果它們具有某一相同的物理特征，則稱此圓球顆粒的直徑為實際顆粒群的平均粒徑。

顆粒群的特征包括個數、長度、表面積、體積和質量等，據此可以定義出代表顆粒群不同特征的平均粒徑，見表3-10。表中i表示將顆粒群按粒徑大小順序分成i個間隔，d_i為第i間隔的代表粒徑，n_i、L_i、S_i、V_i和m_i分別為粒徑為d_i的顆粒的個數、長度、表面積、體積和質量。除上述平均粒徑外，在研究顆粒群粒徑分布特性中，還將用到幾何平均粒徑、眾徑和中位徑等。

3.3.4　顆粒粒徑分布函數

顆粒物粒徑分布的頻率密度（p或q）曲線大致呈鐘形，累積頻率（R）曲線大致呈“S”形。因此，可以找到一些簡單的方程式來描述這些分布曲線。這些方程式既可以用q對d_p，也可用R對d_p的函數形式給出。常用的有正態分布函數、對數正態分布函數、羅辛-拉姆勒（Rosin-Rammler）分布函數等。

3.3.4.1　正態分布

正態分布也稱高斯（Gauss）分布，頻率密度q和累積頻率R的函數形式為：

　　（3.12）

　　（3.13）

式中，為算數平均粒徑；σ_g為標準差。它們的定義分別為：

　　（3.14）

　　（3.15）

如圖3-8所示，正態分布的頻率密度q分布曲線是關于算術平均粒徑的對稱性鐘形曲線，此時值與中位粒徑d₅₀和眾粒徑d_d均相等。它的累積頻率R曲線在正態概率坐標紙上為一條直線，其斜率決定于標準差σ_g值。從R曲線圖中可以查出，對應于R=15.87%的粒徑d_15.87，R=84.13%的粒徑d_84.13，以及R=50%的中位徑d₅₀，則可以按下式計算出標準差：

　　（3-16）

實際顆粒物粒徑呈正態分布的很少，大多數顆粒物的頻率密度q曲線不是關于平均粒徑的對稱性曲線，而是向大顆粒方向偏移。正態分布函數可以用于描述單分散的實驗顆粒、某些花粉和孢子以及專門制備的聚苯乙烯乳膠球。

3.3.4.2　對數正態分布

大多數顆粒物（如空氣中的塵和霧）的粒徑分布在直線坐標中是偏態的，如圖3-9所示。若將橫坐標用對數表示，可以轉化為近似正態分布的對稱性鐘形曲線，稱為對數正態分布。將對數lnd_p代替式（3.12）粒徑d_p、lnσ_g代替式（3.13）標準差σ_g，得到對數正態分布函數為：

　　（3.17）

此時，頻率密度q為：

　　（3.18）

式中，d_g為幾何中位粒徑，σ_g為幾何標準差，它們的定義分別為：

　　（3.19）

　　（3.20）

對數分布函數的一個重要特性是，如果某顆粒的粒徑分布符合對數正態分布，則以顆粒的個數或質量或表面積表示的粒徑分布，都符合對數正態分布，并且具有相同的幾何標準差σ_g。因此，它們的累積頻率曲線繪在對數概率坐標紙上為相互平行的直線，只是沿著粒徑坐標方向平移了一段常量距離，如圖3-10所示。這一常量值用各種中位粒徑確定最為方便。質量中位粒徑和表面積中位粒徑與個數中位粒徑（NMD）的換算關系如下。

質量中位粒徑（MMD）：

　　（3.21）

表面積中位粒徑（SMD）：

　　（3.22）

各種中位粒徑大小的順序是：MMD>SMD>NMD。

3.3.4.3　羅辛-拉姆勒分布（R-R 分布）

盡管對數正態分布函數在解析上比較方便，但是對破碎、碾磨、篩分過程產生的細顆粒及粒徑分布很散的顆粒物，常有不吻合的情況。這時可以采用適用范圍更廣的羅辛-拉姆勒（Rosin-Rambler）分布函數，簡稱R-R分布函數。

質量篩上累積頻率R：

　　（3.23）

式中，α為分布指數；β為分布系數。

將質量中位粒徑d₅₀（R=50%）代入式（3.23），可得：

　　（3.24）

對式（3.23）移項、取兩次對數，得：

　　（3.25）

判斷顆粒粒徑分布是否符合R-R分布，可用式（3.25）驗證。在雙對數坐標上，用ln（1/R）對d_p作圖，若是一條直線，則說明粒徑分布數據符合R-R分布。如圖3-11，可由直線的斜率和截距求得α、β。

例3-2　顆粒粒徑分析結果如表3-11，試求其分布函數及粒徑分別為1μm、5μm、10μm、20μm、40μm的篩上累積頻率。

解：將表中數據標注于R-R坐標圖上，各點成直線AB（圖3-12），說明該顆粒物粒徑分布符合R-R分布規律。

坐標點原點畫直線AB的平行線交于邊緣指數β的標尺，得β=1.86。再由圖查得d₅₀=12μm。將β和d₅₀的數值代入分布函數：

　　（3.26）

由上式可算出，或按圖查出：R₁=0.993，R₅=0.873，R₁₀=0.611，R₂₀=0.167，R₄₀=0.15%。