2.2 誤差的基本概念

2.2.1　誤差的來源及分類

誤差是實驗測量值（包括間接測量值）與真值（客觀存在的準確值）之差別，誤差可以分為下面三類。

（1）系統(tǒng)誤差

由某些固定不變的因素引起的。在相同條件下進行多次測量，其誤差的絕對值、符號總是保持恒定，使測量結果永遠朝一個方向偏，或誤差隨條件按一定規(guī)律變化。

系統(tǒng)誤差主要由下述因素引起。

① 測量儀器方面：如儀器設計上的缺點，零件制造不標準，安裝不正確，未經校準等。假定在實驗開始前，為研究而選用的電位計的指針不在零點，并且偏離0.2mV時，則在此電位計讀數(shù)為1.2mV時，實際上為1mV。

② 環(huán)境因素：外界溫度、濕度及壓力變化引起的誤差。如溫度的變化將影響物體的長度和導線的電阻；大氣壓的變化將影響溶液的沸點溫度；溫度的變化將影響測量儀器而產生系統(tǒng)誤差等。

③ 測量方法誤差：近似的測量方法或近似的計算公式等引起的誤差。

④ 測量人員的習慣偏向或動態(tài)測量時的滯后現(xiàn)象，有人對顏色的感覺不靈敏或讀數(shù)時眼睛的位置總是偏高或偏低等。

總之，系統(tǒng)誤差是恒差，單純增加實驗次數(shù)無法減少系統(tǒng)誤差的影響，因為它在反復測定的情況下常保持同一數(shù)值與同一符號，故也稱為常差。系統(tǒng)誤差有固定的偏向和確定的規(guī)律，可按原因采取相應的措施給予校正或用公式消除。

（2）隨機誤差（偶然誤差）

由一些不易控制的因素引起，如測量值的波動，肉眼觀察誤差等。隨機誤差與系統(tǒng)誤差不同，其誤差的數(shù)值和符號不確定，它不能從實驗中消除，但它服從統(tǒng)計規(guī)律，其誤差與測量次數(shù)有關。隨著測量次數(shù)的增加，出現(xiàn)的正負誤差可以相互抵消，故多次測量的算術平均值接近于真值。

（3）過失誤差

由于實驗人員粗心大意，如讀數(shù)錯誤、記錄錯誤或操作失誤引起的誤差。這類誤差與正常值相差較大。若原因清楚，應及時清除。若原因不明，應根據(jù)統(tǒng)計學的3σ準則進行判別和取舍（σ稱為標準誤差）。所謂3σ準則，即如果實驗測定量x_i與平均值x_m的殘差|x_i-x_m|>3σ，則該測定值為壞值，應予剔除。

2.2.2　實驗數(shù)據(jù)的真值與平均值

（1）真值

真值是指某物理量客觀存在的確定值，它通常是未知的。雖然真值是一個理想的概念，但對某一物理量經過無限多次的測量，出現(xiàn)的誤差有正、有負，而正負誤差出現(xiàn)的概率是相同的。因此，若不存在系統(tǒng)誤差，它們的平均值相當接近于這一物理量的真值。故真值等于測量次數(shù)無限多時得到的算術平均值。由于實驗工作中觀測的次數(shù)是有限的，由此得出的平均值只能近似于真值，故稱這個平均值為最佳值。

（2）平均值

平均值有算術平均值、幾何平均值、平方平均值（均方根平均值）、調和平均值、加權平均值等。平均值的選擇主要取決于一組測量值分布的類型，在化工實驗和科學研究中，數(shù)據(jù)的分布一般多屬于正態(tài)分布，故多可采用算術平均值。

設x₁，x₂，…，x_n為各次測量值，n為測量次數(shù)，則算術平均值為：

因為測定值的誤差分布一般服從正態(tài)分布，可以證明算術平均值即為一組等精度測量的最佳值或最可信賴值。

2.2.3　誤差的表示方法

（1）絕對誤差

測量值與真值之差的絕對值稱為測量值的誤差，即絕對誤差。在實際工作中常以平均值（最佳值）代替真值，測量值與最佳值之差稱為剩余誤差，但習慣上也稱為絕對誤差。

如在實驗中對物理量的測量只進行了一次，可根據(jù)測量儀器出廠鑒定書注明的誤差，或取測量儀器最小刻度值的一半作為單次測量的誤差。如某壓力表精（確）度為1.0級，即表明該儀表最大誤差為相當檔次最大量程的1.0%，若最大量程為0.4MPa，該壓力表的最大誤差為：

0.4×1.0%=0.004MPa

化工實驗中最常用的U形管壓差計、轉子流量計、秒表、量筒等儀表原則上均取其最小刻度值為最大誤差，而取其最小刻度值的一半作為絕對誤差計算值。

（2）相對誤差

絕對誤差與真值的絕對值之比，稱為相對誤差：

相對誤差=×100%

（3）算術平均誤差（δ）

（4）標準誤差（均方誤差，σ）

對有限測量次數(shù)，標準誤差表示為：

標準誤差是目前最常用的一種表示精確度的方法，它不但與一系列測量值中的每個數(shù)據(jù)有關，而且對其中較大的誤差或較小的誤差敏感性很強，能較好地反映實驗數(shù)據(jù)的精確度，實驗愈精確，其標準誤差愈小。

2.2.4　精密度、正確度和精確度

測量的質量和水平，既可以用誤差的概念來描述，也可以用精確度等概念來反映，具體介紹如下。

（1）精密度

在測量中所測得的數(shù)值重現(xiàn)的程度，稱為精密度。精密度高則隨機誤差小。

（2）正確度

在規(guī)定條件下，測量中所有系統(tǒng)誤差的綜合，稱為正確度。正確度高則系統(tǒng)誤差小。

（3）精確度

測量值與真值接近的程度，稱為精確度，為測量中所有系統(tǒng)誤差和隨機誤差的綜合。

對于實驗和測量來說，精密度高，正確度不一定高。正確度高，精密度也不一定高。但當精確度高時，則精密度與正確度都高。

圖2-1表示了精密度、正確度和精確度的含義。