第五節　柱塞底面系統模型

本章以軸向柱塞泵為例，將利用流體傳輸管道動力學原理，建立柱塞滑靴的管道容腔模型，用空間網格的有限差分方程求解出滑靴底面的流動參量，考慮不同阻尼管尺寸所造成的摩擦阻力項，以及滑靴底面的靜壓、擠壓、熱楔導效應，分析靜壓支承滑靴開路式泵滑靴、CY泵滑靴底面的壓力建立過程，以及柱塞與缸體孔摩擦系數，柱塞組質量滑靴密封帶尺寸對壓力建立的過程影響。

一、模型建立——受力分析

端面配流盤式軸向柱塞泵自1902年問世以來，經過幾十年的發展，已經在液壓傳動與控制系統中得到廣泛的應用。近年來，伴隨著液壓機械向高速、高壓、大流量方向的發展，對液壓元件，特別是液壓系統核心液壓泵也提出更高的要求。然而通過對現階段產品泵，特別是國內外柱塞泵的考察發現，滑靴與斜盤這對摩擦副的摩損已經成了柱塞泵主要的失效形式之一。滑靴的頻繁燒損不僅使原先的柱塞泵缸體大軸承壽命作為柱塞泵壽命的評價失去意義，也進一步限制了柱塞泵的應用，在眾多需要柱塞泵的場合，不得不以其頻繁的更換為代價。所以滑靴與斜盤這對摩擦副的理論研究仍是一件非常有意義的事。

在軸向柱塞泵滑靴與斜盤這對摩擦副的研究方面，國內液壓界的學者已經做了大量工作。英國伯明翰大學的C·J·Hooke最早對排量為90mL/r和330mL/r的泵進行了實際工況的油膜測量，證明了滑靴與斜盤之間油膜的存在。圖2-72是其測試原理圖。即將傳感器安在缸體轉動的軸向柱塞泵的斜盤上，測出各個滑靴掃過該點時瞬間的油膜厚度。由于未能給出滑靴底面油膜在整個壓油區連續變化過程，所以也就不能確定易發生燒靴的區域滑靴底面油膜的具體情況，況且試驗中由于儀器的參與，試驗結果與實際情況的符合程度也是未知。在他進行本試驗以后，又對柱塞泵滑靴的潤滑及運行狀態進行了一系列的研究，其中有研究滑靴所受離心力和球面摩擦力對運行姿態及潤滑影響；滑靴表面的非平面度對滑靴性能的影響；集中負載作用下，剩余壓緊力滑靴底面形狀與其產生的動壓支承力對負載的支承效果；離心力和柱塞滑靴球面摩擦力產生的傾斜力矩對各種形狀運行表面滑靴的潤滑。總的來說，C·J·Hooke主要研究的是動壓支承與滑靴表面形狀的關系。

日本防衛大學的井星正氣等曾在斜盤轉動的軸向柱塞泵上實測了靜壓支承滑靴的油膜厚度，其試驗原理為圖2-73。他給出了一個轉動周期內滑靴底面油膜厚度及壓力的變化情況，并從理論上求解了滑靴的運動方程。但他的研究結果也僅適用于低速的斜盤轉動的軸向柱塞泵，因為試驗時，斜盤轉動的柱塞泵相比，柱塞滑靴少了離心力，因此在徑向力的分布以及對摩擦力的影響上都有所不同。

1981年，哈爾濱工業大學的許耀銘教授及其研究生韓德才在滑靴模型上進行了油膜厚度及壓力的測量，由于測量模型與泵實際工況不同，比如其加載過程可以持續1s到幾秒，而實際泵（如25cy型）在額定轉速1500r/min的情況下，每個滑靴在壓油區只滑行20ms，且受力情況也與滑靴模型完全不同，所以從滑靴模型上測量的壓力響應并不能代表實際工況下滑靴底面的壓力響應。1988年燕山大學的潘永閣進行了實際工況下滑靴油膜動特性的研究。在理論下他主要采用方向弦陣分析法分析滑靴的運動規律，并考慮了靜壓、擠壓、動壓及熱楔效應對滑靴的作用。其試驗方法是在滑靴上加輔助側板，如圖2-74所示，將滑靴油膜的波動引向回程盤中心，通過測量輔助側板在回程中心部的軸向運動確定滑靴油膜的厚度。這種方法可以在一定程度上說明滑靴底面油膜的變化情況，但也存在一些固有的缺陷，一方面增加了滑靴的質量，影響了滑靴底面的壓力場；另一方面在測量過程中避免引起輔助側板的振動，造成對測試結果的影響。

1.傳輸管道動力學理論的發展

為了研究滑靴底面壓力的動態響應，就需要精確建立柱塞滑靴的數學模型，因為以往的數學模型都沒有考慮柱塞滑靴內部結構的變化，為此本節在柱塞滑靴的建模過程中首次應用了流體傳輸管道動力學的原理。

流體傳輸動力學的研究工作最初是為了研究大直徑管內流體的瞬態過程，特別是在19世紀末到20世紀初，出于當時水利工程中設計水網分配系統的需要，研究水利工程管系中的水錘現象，應用的方法主要是圖解分析法，其理論基礎是建立在理想流體無損管路一維波動方程的初級模型上。到20世紀40年代，隨著液壓技術的發展，管道動力學的研究開始轉到小直徑管上，由于液壓油的黏度比水要大，工作頻率比水利系統高，所以研究管道模型中流體慣性和黏性對流體動態過程的影響顯得十分重要。黏性主要反映在管道動態流動的摩擦損失，特別是在高頻時的頻率相關摩擦損失效應慣性主要反映在分布參數的管道流量和壓力的振蕩。

通過流體管道動力學的研究，可以對管內流體的流動和管道機械進行動態分析，對管道系統進行合理的設計，控制管內非恒定流動，減小管道機械振動，對因機器固有特性或系統正常工作不可避免產生的流體脈動或沖擊采取合理的消振和濾波措施，有效地衰減流動脈動和沖擊，消除或降低管道振動。

對管內流體非恒定流動的研究主要包括在時域內對管內流體瞬態特性進行分析的瞬態響應和在頻域內對管內流體頻率特性進行分析的頻率響應。一般來說為確定流體管道對與其相連的負載系統的影響。如響應的快速性、穩定性的研究可以采用頻域分析；而具體確定管路內的流體在每一時刻、每一位置的流動參數則用時域分析更為合適。特征線法是求解時域系統響應的有效方法。關于特征線理論，早在1948年康倫和弗里特里奇就給出了完整的數學描述，多年來，許多學者都從不同的方面應用這個方法求解穩定和不穩定可壓縮流的問題。隨著計算機在流體動力學中的應用，綜合考慮管路摩擦損耗和傳熱，使參數可隨頻率變化的似穩特征線法使計算結果與實際情況更加符合。

對時域內流體瞬態特性的分析主要是應用運動方程和連續性方程得出擬線性的偏微分方程。雖然偏微分方程的一般解是不存在的，但是應用特征線法可以把偏微分方程變成特殊的全微分方程，然后對全微分方程積分，得到便于數值處理的有限差分方程，最后通過計算機求解。這個方法的主要特點是全部求解過程均在時域中進行，而不必涉及由頻域到時域的復雜的拉氏反變換問題。

2.滑靴底面靜壓支承力

對于滑靴底面來講，N力是由滑靴底面靜壓支承力、動壓支承力、擠壓支承力和熱楔支承力構成的合力，現分別討論如下。

（1）靜壓支承力N_靜

滑靴底面的靜壓支承結構如圖2-75所示。采用極坐標時，這是一維潤滑問題。設在半徑r處，取徑向寬度為dr，周向夾角為dθ的微元體，設通過該微元體沿徑向方向的流量為，則：

　　（2-137）

式中　h——油膜厚度，mm；

μ——油液黏度。

式（2-137）中的負號是由于流動方向與壓力梯度的符號相反而取，則通過半徑r圓周的流量Q為：

　　（2-138）

計算時認為滑靴與斜盤是平行的，所以h和Q不隨r值改變。對式（2-138）中的r積分，并代入邊界條件：

則壓力分布為：

　　（2-139）

承載能力為壓力沿整個表面的積分：

　　（2-140）

由此可見，當滑靴結構尺寸一定時，靜壓支承力只與中心油室的壓力有關。

（2）擠壓支承力N_擠

一般認為柱塞剛進入壓油區時，滑靴與斜盤之間是存在一定厚度的初始油膜。當作用在柱塞上的軸向力將滑靴壓向斜盤時，油膜被擠壓變薄，在摩擦副間形成壓力場，這種效果稱為油膜的擠壓效應。擠壓效應的存在對減小摩擦副間的摩擦，延長其使用壽命具有重要意義。

由潤滑理論雷諾方程的普遍形式有：

　　（2-141）

在分析擠壓過程時，可假定支承面之間無相對滑動，油的黏度為常數，則式（2-141）可寫成：

　　（2-142）

將式（2-142）變成極坐標形式，并假定滑靴無任何傾斜，即和均為軸對稱，則：

由于對稱，且h與r無關，則：

　　（2-143）

對式（2-143）積分，并代入滑靴的壓下速度，得：

　　（2-144）

在分析滑靴的擠壓效應時，不考慮其他支承作用，所以可以按圓環的擠壓效應（如圖2-76）分析。將式（2-144）

代入邊界條件：

r=R₁時　　p=0

r=R₂時　　p=0

　　（2-145）

　　（2-146）

（3）熱楔支承力N_熱

高壓油作用在柱塞上，產生的軸向推力將滑靴支承面壓向斜盤平面，使滑靴在極薄的油膜上滑行。兩滑動面間的泄漏損失和摩擦功率損失都轉化成熱量，使油膜溫度升高而發生容積膨脹，以致產生壓力流動，這種在平行間隙間由于熱膨脹而產生的承載能力稱為熱楔支承力。如果不計溫度在滑靴表面的分布對黏度的影響，滑靴支承辦面上的微元面積Ldy上的熱楔支承力可寫成：

　　（2-147）

式中　a₀——油液的容積膨脹系數，石油基液壓油，a₀=（6.3～7.8）×10^-4℃^-1；

γ₀——油液的密度，kg/m³；

C₀——油液的比熱容，kcal¹/（kg·℃）；

v——油膜邊界的相對速度，m/s；

G——熱功當量，G=42700kg·cm/kcal；

g——重力加速度，m/s²。

設支承表面的半徑為R'，則滑動速度為：

　　（2-148）

式中，ρ和ω_S見式（2-13）和式（2-15）中的ω_h。

由圖2-77可知，L=R'sinφ，dy=R'sinφdφ，所以滑靴底面總的熱楔支承力為：

　　（2-149a）

為了減小滑靴與斜盤之間的接觸比壓，并防止由于壓力沖擊而引起滑靴底面沉凹的變形（這種變形引起松靴），常常在滑靴的密封帶內外加設輔助支承環帶，為了不影響滑靴的支承力，輔助支承帶的圓周是斷開的。

忽略輔助支承上缺損的面積，考慮輔助支承辦后總的熱楔支承力為：

　　（2-149b）

（4）動壓支承力N_動

在不考慮滑靴傾斜時，動壓支承力主要由滑靴的密封帶、內外輔助支承與它們之間的階梯結構形成。由圖2-78可得壓支承力為：

　　（2-150）

對應于滑靴的結構，可將其分成如圖2-79所示的5個支承區域。輔助支承上的凹形面積，計算時可忽略不計。應用式（2-149b）分別計算各個區域所產生的支承力。

　　（2-151）

　　（2-152）

　　（2-153）

　　（2-154）

所以　N_動=W₁+W₂+W₃+W₄+W₅

二、柱塞滑靴的設計原理及方法

柱塞組是斜盤式軸向柱塞泵的主要零件，它設計的好壞將直接影響泵的運轉及使用壽命。從泵實際損壞情況看，滑靴燒傷、斜盤掛銅是泵主要失效形式之一，一般認為是滑靴與斜盤之間的油膜被破壞而引起金屬接觸造成的。本節認為造成油膜被破壞的根本原因是滑靴底面支承力不足，使滑靴被壓向斜盤，變薄的油膜雖然會使熱楔支承力增加，但當它受急劇剪切后會使油溫升得過高，油液黏度下降，油膜形成的條件更加惡劣。如果這時油膜厚度與滑動表面的粗糙度和不平度處于同一數量級，就會造成金屬接觸。從上一節的分析可知，在滑靴底面總支承力中，靜壓支承力占絕大部分，并且是唯一與滑靴底面壓力相聯系的力。正確設計靜壓支承力就是既不能使其過小造成油膜失效，又不能使其過大造成油膜過厚，容積效率下降。通常的設計方法有阻尼管型靜壓支承法和剩余壓緊力法。本節分別給出這兩種設計方法，以及由這兩種方法設計出的柱塞滑靴結構參數。

1.阻尼管型靜壓支承設計法

靜壓支承的概念就是在摩擦副中引入有壓油液，使之在一定厚度下產生一個與負載相對抗的力。如果這個力與負載相等，則摩擦副就可以在完全不接觸的情況下運動，從而提高效率，減少摩損，延長摩擦副的工作壽命。

要形成靜壓支承，至少要有一個容腔，使容腔內壓力油液通過容腔四周縫隙流動，產生一定的壓力分布，如圖2-80所示。油腔和節流邊內壓強產生的力即為承載力。對于結構一定的支承，承載力取決于油腔內的壓強。為了使靜壓支承在變負荷下工作，必須采取措施使二力在允許的油膜厚度下相平衡，辦法是在油腔進口前裝置阻尼器，使支承具有雙重阻尼，即進口阻尼和支承面密封帶可變間隙阻尼的串聯組合，后者主要控制支承的泄漏量，前者則與后者協同調節油腔壓力，當外負載增加，原有平衡被破壞，油膜厚度減小，使通過可變阻尼的泄漏量減小，因為通過固定阻尼的流量與通過可變阻尼的泄漏量是相等的，所以定阻尼器上流量的減小導致壓降的減少，油腔內壓強增大，承載力增大到與負載重新達到平衡。

由此可見，由于采取了雙重阻尼作用，引起油腔內壓強的反饋作用，構成一個自動調節的閉環系統。如圖2-81所示，使支承能適合負載的變化。對于圓形阻尼管，其壓力-流量特性的表達式為：

　　（2-155）

式中　d——阻尼管直徑；

l——阻尼管長度；

μ——油的動力黏度；

p_r——油腔壓力；

p_s——供油壓力。

可變阻尼的壓力-流量特性相當于平行圓盤縫隙流動的情況，即：

　　（2-156）

式中　h——油膜厚度，mm；

R₁，R₂——密封帶內、外半徑，m。

由流量連續性方程可得：

令為支承特性，則有：

　　（2-157）

式中　k——反映固定阻尼器及支承面間隙阻尼結構形狀和尺寸的參數，結構一定時，k為常數。

為了清楚地表達靜壓支承的工作特性，可將式（2-157）繪成曲線，如圖2-82所示。從圖中可知k值的變化會引起曲線斜率的變化。

如果將單位油膜厚度所引起的壓降系數的變化稱為油膜剛度J，則J可表達成：

　　（2-158）

對式（2-158）微分，可求出最大油膜剛度的條件：

故時油膜剛度最大。

油膜剛度在圖2-82中反映的是各曲線的斜率，而處恰好為各曲線的拐點，在這點附近，油膜厚度的微小變化會引起a的顯著變化。從理論上講，這對適應變動的外負載是有利的。

要使靜壓支承在最佳工況下工作，必須使支承的功率損失最小。靜壓力支承的功率損失包括泄漏功率損失和摩擦功率損失，泄漏功率損失ΔN₁為：

　　（2-159）

摩擦功率損失ΔN₂為：

　　（2-160）

式中　v——圓盤中心相對于支承面的滑動速度。

由式（2-159）和式（2-160）可知：泄漏功率損失與h³成正比，而摩擦功率損失卻與h成反比，因此必然存在一總功率損失為最小的h值，即所謂最佳油膜厚度。

因此最佳油膜厚度為：

　　（2-161）

在進行阻尼管型靜壓支承滑靴設計時，只考慮作用在柱塞滑靴上的主要力，即柱塞腔油壓引起的壓緊力p及滑靴底面上的靜壓反推力W。計算表明，在穩態時，壓緊力p占全部壓緊力的85%左右，而反推力W也占全部反推力的85%左右，所以這樣設計是可行的。

沿柱塞軸線列平衡方程，有：

即

　　（2-162）

對于25型軸向柱塞泵，按靜壓支承設計時，為了保證最大油膜剛度，取穩態支承系數。同時選擇斜盤傾角10°為設計工況，由式（2-162）有：

　　（2-163）

當滑靴尺寸確定后，按式（2-161）計算最佳油膜厚度。考慮到滑靴和斜盤表面的光潔度及平度，油液的濾清度等因素，推薦最佳油膜厚度h=0.01～0.03mm。如果按式（2-161）計算出的h不在此范圍內，則h不能作為設計油膜厚度，而要重新選擇a或R₂/R₁進行計算。

為了保證所選定的支承特性a，阻尼管的尺寸必須按設計要求嚴格保證。由式（2-157）可得：

　　（2-164）

對照25型軸向柱塞泵柱塞組的結構，取l為25mm，對應不同的R₂/R₁，由式（2-163）、式（2-164）計算出的柱塞滑靴參數，如表2-8所示。

不同的密封帶尺寸會影響柱塞滑靴的動態特性以及滑靴底面的壓力建立過程，其仿真結果分析將在后面給出。

2.剩余壓緊力設計法

剩余壓緊力法的基本思想是柱塞腔內的高壓油無阻尼地通到滑靴底面，使其產生的液壓反推力平衡掉大部分柱塞對斜盤的壓緊力，而剩余的壓緊力則使終壓向斜盤而不脫開，靠滑靴與斜盤間形成的邊界油膜來減輕摩擦副的摩損。

剩余壓緊力法的設計步驟如下。

①根據經驗，選取R₁+R₂=d。其中R₁和R₂為滑靴底部密封帶內、外半徑，d為柱塞直徑。

②推薦取R₂-R₁=（0.1～0.15）d，其中直徑較大的滑靴取勝較小值，直徑較小的滑靴取較大值。

③滑靴底部液壓推力為：

柱塞軸向壓緊力為：

取壓緊系數m為：

　　（2-165）

壓緊系數直接反映了剩余壓緊力的大小，決定了滑靴對斜盤的壓緊程度，進而決定了滑靴處的摩擦功率損失。因此壓緊系數是剩余壓緊力滑靴的主要設計參數。

關于m值的選取，國外曾有文獻推薦α=0°時，m=1.1～1.12，這樣在α=18°～20°時，m將達到1.14～1.17，這種選取將往往導致摩擦副的嚴重磨損。新的設計思想為α=0°時，m=1，這樣在α=18°～20°時，m=1.04～1.05，由式（2-165）計算出的不同R₂/R₁值的柱塞滑靴參數，如表2-9所示。

本節所研究的軸向柱塞泵是天津高壓泵閥廠生產的確CY和25SPB泵。相當于KZB泵兩者柱塞滑靴的尺寸均由剩余壓緊力法確定，內、外密封帶半徑分別為7.1mm和8.9mm。兩者的區別在于通油孔的直徑。對兩種柱塞滑靴的仿真計算及分析將在第五節中討論。

靜壓支承設計法和剩余壓緊力設計法是兩種最基本柱塞滑靴設計方法。本節給出的兩種柱塞滑靴參數，為后面進行的滑靴底面壓力響應分析及各種參數滑靴動態性能比較打下基礎。

三、開閉路式泵滑靴底面動態仿真及試驗

在滑靴理論的研究中，有許多研究成果得到了廣泛的應用，例如靜壓支撐設計法、剩余壓緊力設計法等。同時在滑靴表面形狀上、阻尼槽方式上眾多學者也做了大量的研究工作。但由于滑靴底面流體流動狀況復雜，研究起來較為困難，并且在實際當中，泵中的相對運動部件不宜安裝測試裝置，故對泵在實際工作狀態下的油膜厚度、壓力變化、動態過程等方面的研究較少。通過對閉路式軸向柱塞泵（以CY泵為例）和開路式軸向柱塞泵（以SPB泵為例）進行理論分析、動態仿真和試驗比較，可較好地分析滑靴底面壓力變化及油膜厚度變化規律。

1.數學模型的建立

為了研究柱塞組在壓油區的運動狀態，就要建立柱塞組的運動方程。在圖2-83所示的坐標系下，假設滑靴向斜盤方向的位移為正，則滑靴擠壓油膜的速度為，加速度為，分別考慮（a）（b）兩種情況。

當時，力分解圖見圖2-83（a），運動方程為：

　　（2-166）

式中　f——柱塞與柱塞孔的摩擦力，N；

N——斜盤對滑靴的垂直支承力，N；

M——柱塞組的質量，kg；

F_p——高壓油對柱塞組的作用力，N；

F_g——柱塞組的軸向慣性力，N；

F_s——回程彈簧對柱塞組的作用力，N；

R——柱塞孔對柱塞的徑向壓力，N。

當≥0時，N=N_靜+N_熱+N_擠+N_動。

當<0時，N=N_靜+N_熱+N_動。

當時，力分解圖見圖2-83（b），運動方程為：

2.特征線理論及在柱塞泵中的應用

為了求解滑靴底面的流動參數，就要建立滑靴底面與柱塞腔相聯系的管路——容腔系統，在時域內求解這個系統最方便的辦法就是特征曲線法。本節簡要描述了特征線理論，求解了圓管內一維非恒定流動，并用特征線法建立了較復雜的柱塞組管路——容腔數學模型。

特征線理論的數學原理：特征線法是偏微分方程的一種數值解法，它將偏微分方程變成特殊的全微分方程，然后對全微分方程積分，得到便于數值處理的有限差分方程。以單變量的一階擬線性偏微分方程為例進行介紹。

設方程為：

　　（2-167）

式中　u——因變量；

x，t——自變量。

由于系數a，b，c不僅與x，t有關，還與u有關，所以式（2-167）是擬線性的。求解這個方程的困難之處：在于它包含兩個方向（x，t）的導數，但如果能在x，t平面上找到一個方向，使沿這個方向方程（2-167）變為常數微分方面方程來求解就容易多了。式（2-167）可改寫為：

若引進方向=

則

　　（2-168）

由于函數u在此方向上的全微分為：

則式（2-168）可寫為：

　　（2-169）

即偏微分方程（2-167）在沿方向上就變為常微分方程，沿這個特征方向所確定的特征曲線，對式（2-169）積分就可得沿此特征曲線上u的變化情況。但要注意的是，此時只能給出u沿曲線上的變化情況，而不能給出u在這曲線周圍的變化情況，即能沿特征曲線唯一確定u的函數，而不能唯一確定。

將原方程與全微分方程聯立，得到方程組：

　　（2-170）

由于沿特征方向，不能唯一確定，則方程組［式（2-170）］的系數行列式應為零。

故　

此方向為特征方向，沿此方向定出的曲線為特征曲線。又因在特征方向上u是唯一確定的，存在，則：

即

這種引進特征方向，將偏微分方程歸結為常微分方程的求解方法稱為特征線法。

兩個變量的一階擬線性偏微分方程設方程組為：

　　（2-171）

式中　a_ij，b_ij——x，t，u和v的函數。

采用和前面相同的處理方法，沿特征方向u和v的全微分為：

　　（2-172）

由方程組（2-171）和方程組（2-172）聯立得：

　　（2-173）

由于沿特征方向及不能唯一確定，且對應系數的比不相等，所以這些偏導數的系數行列式Δ=0。

令特征方向為，則：

展開后得：

　　（2-174）

式中

對于式（2-174），顯然可知：

①當M²-4HN<0時，k無實根，即無特征方向，方程為橢圓型。

②當M²-4HN=0時，k有一實根，即只有一個特征方向，方程為拋物型。

③當M²-4HN>0時，k有二實根，即存在兩個特征方向，方程為雙曲線型。

即一階擬線性雙曲型偏微分方程組將存在兩族特征方向：

由于沿特征方向函數可能唯一確定，其偏導數存在，因而有Δ₁=Δ₂=Δ₃=Δ₄=0。

因為這四個系數行列式是等價的，可以任取，取i=3，則：

展開化簡得特征線上的特征關系式為：

　　（2-175）

式中

這樣就將求解含有兩個變量的擬線性雙曲型偏微分方程問題歸結為求（x，t）平面上的兩族特征方向以及沿此特征方向成立的特征關系式（k_iH+D）du+Edv+Fdt+Gdx=0（i=1，2）的問題。

3.管內非恒定流動基本方程的特征方程和特征關系式

圓管內一維非恒定流動是用平均流速v代表軸向速度，它的數學模型可由動量方程和連續方程求解。在直徑為d，截面積為A的管內取厚度為δ_x的微小流體脫離體，如圖2-84所示。壓力為p，流體密度為ρ，由動量方程得：

　　（2-176）

式中　下標x——該參量對x的偏導，在因變量上加一個圓點代表該量對時間的全導數；

α——管子與水平線的夾角，當高度沿正x方向增加時α為正，在這里，舍去高階的δ_x量，并設管道水平放置（α=0），則式（2-176）可寫為：

　　（2-177）

式中　τ₀πd——一項與流量有關的摩擦阻力項，在這里記作f（Q），f（Q）值的計算將在后面討論。

因為

代入式（2-177）中得：

　　（2-178）

方程式（2-178）中有兩個變量，求解還需建立另一個方程。

在圓管內取長度為δ_x的控制體，如圖2-85所示。考慮到在動態情況下，管壁將有u的運動速度，由連續性原理可知：

由此得：

　　（2-179）

因為

代入式（2-179）得：

由此得

或

　　（2-180）

由于流體的彈性模量K_e為：

而

　　（2-181）

　　（2-182）

式中　/A——面積相對膨脹率；

E——管材的彈性模量，Pa；

μ——管材的泊桑比；

D——管道外直徑，m；

b——管壁厚度，m。

將式（2-181）和式（2-182）代入式（2-180）中得：

考慮管壁變形時的壓力波傳遞速度a為：

　　（2-183）

所以式（2-183）又可寫成：

　　（2-184）

式（2-178）和式（2-184）即為管內非恒定流的基本方程，又稱波動方程。因為在一般的流體管道中，有a?v，因此式（2-178）和式（2-184）中的第二項均可舍去，波動方程可寫為：

　　（2-185）

用上節的特征線法將式（2-178）和式（2-184）改寫為：

　　（2-186）

將方程組（2-186）與式（2-171）相比較，對應得出u=p；a₂₂=ρ/A；a₁₁=1；a₁₂=0；g₁=0；a₂₁=0；a₂₂=ρ/A；b₂₁=1；g₂=-f（Q）。

由此可以算得；；；；。

所以

　　（2-187）

式中　v——管內流體流速，m/s；

a——壓力波傳遞速度，且v?a，m/s。

所以求得兩個特征方向為：

　　（2-188）

將系數H、D、E、F、G以及無阻尼特征阻抗Z₀=ρa/A代入式（2-175）中并整理得

　　（2-189）

最后得到波動方程經特征線解法變換的四個常微分方程：

　　（2-190）

4.用空間網格插值法數值求解波動方程

為了數值求解波動方程，就需要用正交網格來離散它。將一根管道分為n份，每段長度Δx≥αΔt，在圖2-86的矩形網格中取Δt=Δx/α。其求解的基本思想是根據前一時刻各網格點上已知的流動狀態參量p和q，利用離散化的特征方程和特征關系式去求得下一時刻各網格上的流動參量p和q之值。

對波動方程中，式（2-178）、式（2-184）分別乘上dt并積分，最后整理得：

　　（2-191）

　　（2-192）

采用空間網格差值時，為了減少數值誤差，可能采用通過增加管道分段數和控制網格比B_s的辦法。具體地說，管道分段數越多，誤差越小。網格比B_s也要盡量接近于1，通常可取0.85≤B_s≤0.98，對于多管路系統，應使各管路有共同的時間步長和分段長度。而Δt和Δx的選擇還應在計算機認可的范圍以內。

5.流體管道黏性摩擦損失的計算

高黏度性質的流體在管內做非恒定流動時，其剪切摩擦損失具有頻率相關的特性，其黏性摩擦損失為：

　　（2-193）

經整理的差分方程：

　　（2-194）

在用特征線法計算左右特征項時，由于f［q（t+Δt）］為未知量而無法直接計算出C_L和C_R，這時可以對未知f［q（t+Δt）］進行一次迭代，黏性摩擦項作估算，并求出估計的q'（t+Δt），然后代入原式計算。

6.柱塞滑靴組的管道動力學模型

為了保證軸向柱塞泵的正常運轉，就要使滑靴與斜盤這對摩擦副間始終存在一層潤滑油膜，這層油膜的油就是從缸體的柱塞腔經柱塞與滑靴中的通油孔引到滑靴下面。雖然這層油膜的厚度是受柱塞與滑靴兩端力的共同作用，但通油孔（即管道）的形狀卻直接影響滑靴底面的流動參量，如壓力和流量。所以建立柱塞滑靴組的管道動力學模型對分析柱塞組的運動狀態，了解滑靴底面壓力建立過程是很有必要的。從結構上看，無論是CY泵，還是SPB泵，其柱塞組都可以看成是由管道和容腔組成的系統，如圖2-87所示。

經推導和計算可得流體狀態方程：

　　（2-195）

式中　p——容腔內的壓力；

q_j（p）——第j個管道或元件流入容腔的流量（j=1，2，…，n），定義流入容腔的流量為正，流出容腔的流量為負。

高滑靴下壓速度為v，對式（2-195）一階線性逼近，則有：

　　（2-196）

式中　1、i——前后兩時刻；

C_L2——管道2的左特征值，且保證每一時刻，管道2的終端壓力均與空腔內壓力相等；

R₃，R₄——滑靴密封帶半徑；

h——油膜厚度；

x₀——管道2的特征阻抗。

在式（2-196）中，右式第一項為單位時間因滑靴下壓引起的容腔體積變化；第二項為單位時間從管道2進入容腔3的容積；第三項為通過滑靴密封帶漏出的流量。

經過推導，建立用特征線法求解的管道-容腔模型，聯立柱塞組的運動方程式，即可求解滑靴底面任意的流動參數和運動參數。

7.柱塞滑靴組動態仿真

（1）程序框圖

前面已經全面分析了與柱塞組有關的運動參數和流動參數，給出了運動方程和流體的傳輸方程。由于將兩個方程耦合所得到的方程是非線性的，數學上解析求解是很困難的，為此在Vax780上進行了數值求解，程序框圖見圖2-88。

（2）滑靴底面流體參數的仿真

用本節建立的柱塞滑靴仿真模型，可以很方便地求解滑靴底面的流動參數。針對不同的配流盤形式，將柱塞腔壓力分別按擬斜坡信號和階躍信號輸入模型。

①柱塞腔壓力的擬斜坡信號輸入　由于試驗條件所限，本節的試驗只能在壓力小于8MPa的試驗臺上進行，所以在理論上重點研究了6MPa壓力下，滑靴結構參數和柱塞組運動參數對滑靴底面流動參數的影響。

a. CY泵柱塞組參數。阻尼孔直徑1.5mm，質量0.1kg，摩擦系數0.05。SPB泵柱塞組參數：阻尼孔直徑4mm，質量0.095kg，摩擦系數0.05。兩滑靴底面完全相同。由圖2-89和圖2-90可知，在壓油區，滑靴地面的壓力和油膜厚度并不是一個恒定的值，而是在以很高的頻率振蕩，壓力的波峰與波谷分別對應油膜的波峰與波谷。大阻尼孔的滑靴，壓力響應頻率快，壓力幅值在20～100bar之間，油膜平均厚度在17μm左右；小阻尼孔滑靴壓力響應頻率慢，壓力幅值在30～110bar之間，油膜平均厚度12μm。

b.考慮壓力傳感器影響。在壓油區40～420加入傳感器容腔，仿真曲線見圖2-92、圖2-93。與圖2-90和圖2-91相比，滑靴在接觸傳感器容腔的瞬間，壓力被緩沖釋放，所以壓力振蕩幅度比較大，而容腔增大使振蕩頻率降低。與CY泵滑靴相比，SPB泵滑靴由于阻尼作用相對較小，壓力響應頻率高，油膜可以維持在比較高的水平。

c.考慮柱塞與缸體柱塞孔不同摩擦系數的影響見圖2-91、圖2-92。柱塞在缸體柱塞孔中往復運動，隨著工作時間的增加，由于摩損以及油液中雜質的影響，摩擦系數會有所改變。仿真時在前述a.參數的基礎上，將摩擦系數增大到0.12。從曲線上看，兩種滑靴底面壓力更加不規則，平均油膜厚度均有下降。但粗阻尼孔的滑靴仍表現出比細阻尼孔的滑靴更好的性能，即壓力響應頻率高，在同樣的油膜厚度下，壓力振蕩幅度小，在壓油區平均厚度高。

d.剩余壓緊力法設計的滑靴，其底面的壓力與油膜曲線見圖2-93、圖2-94。CY泵滑靴和SPB泵滑靴都是用剩余壓緊力法設計的，相比之下，SPB泵滑靴底面壓力和油膜振蕩的幅度比較大，平均油膜厚度在25μm左右。CY泵滑靴底面平均油膜為10～14mm。CY泵與SPB泵滑靴密封帶尺寸比為1∶1.25，而壓力和油膜厚度都要高于靜壓支承法設計的滑靴。

②柱塞腔壓力的階躍信號輸入　以往在研究柱塞泵其他方向問題的時候，為了方便起見，將柱塞腔壓力視為標準的方波信號，利用本節的仿真模型，可以很方便地看出這種簡化對滑靴底面壓力與油的影響。

a. 6MPa時滑靴底面流體參數曲線由圖2-95和圖2-96可以看出，兩滑靴除了幅值以外的響應過程是極為相似的。這是因為兩滑靴都是用剩余壓緊力法設計的。

b.對于6MPa的階躍輸入，滑靴底面壓力信號可以近似地看成二階系統的響應。SPB泵柱塞組與CY泵柱塞組相比，超調量大，過渡時間短，所以它的阻尼比小，無阻尼自振頻率高。對柱塞腔內壓力在大油區的脈動，SPB泵滑靴都有較高的響應頻率，使滑靴底面壓力與油膜適應柱塞腔壓力的變化。這一點從圖2-89和圖2-90也同樣可以看出。

考慮傳感器容腔的影響，將圖2-91、圖2-92中的傳感器容腔用在柱塞腔壓力階躍輸入狀態，得到圖2-97、圖2-98。

SPB泵滑靴底面容腔突然改變時，其壓力過渡時間短，壓力幅值高，油膜比較厚。這與（1）得出的結論是一致的，見圖2-99、圖2-100。

8.試驗方法及結果分析

由于柱塞泵內部結構緊湊，所以在其內部安裝測量裝置一直是比較困難的，特別是缸體轉動的斜盤式柱塞泵，幾乎不可能在結構緊湊且又不斷運動的滑靴上測出滑靴底面流動參數的連續變化。針對這一情況，試驗采取在斜盤的同一位置測量不同泵的滑靴底面壓力的辦法。具體地說，對轉速相同的泵，滑靴從進入壓油區到經過斜盤上某一確定點的時間是相同的，而對應相同的配流盤形式，柱塞腔內壓力給定狀態也是相同的，這樣同一臺泵上測量不同滑靴所得到的結果就具有可比性。試驗時由于測量儀器的參與，滑靴底面的容腔將被改變，計算表明，傳感器的容腔體積是滑靴底面的壓力將被全部釋放，所以，在測量點上就人為地造成一個壓力建立過程。分析這個壓力建立過程，同樣可以說明不同結構的柱塞滑靴其底面壓力的響應過程。圖2-101為試驗原理圖。由于試驗，需要加工的零件有定量斜盤（圖2-102）和定量端蓋（圖2-103）。

試驗結果與仿真結果的對比分析：試驗是在伺服泵站的試驗臺上進行的。由于試驗設備的限制，最大工作壓力只能升到8MPa左右，所以測量時的調定壓力均小于8MPa。測量得到的滑靴底面壓力信號用示波器顯示并用膠片記錄，記錄的曲線見圖2-104、圖2-105。

CY泵與SPB泵試驗曲線上幅值的差異是由于兩次測量時示波器幅值增益調定不同。另外在測量CY泵滑靴底面壓力時，電信號受到干擾，所以使波形受到一定影響。信號的幅值同電壓表標定結果見表2-10。

①對比兩種滑靴試驗曲線，可以看出用剩余壓緊力法設計的兩滑靴，壓力建立過程是很相似的。由于接入壓力傳感器的容腔，滑靴底面壓力被釋放，柱塞組原有的動態平衡被打破，壓力重新建立，在信號的初始端有一些振蕩，這一點同仿真結果是一致的，同時也說明仿真結果的可信度是比較高的。

②從考慮傳感器容腔的仿真曲線看，在測壓區間后半段（即2.5～5ms之間），壓力逐漸接近柱塞腔壓力6MPa，而圖2-104、圖2-105的試驗值為5MPa。這是因為在試驗中，測試點雖然開在壓油區27°處，但傳感器測到的卻是滑靴內密封滑過測試點的一個動態過程，在示波器上可以給出壓力的動態變化，但在用于靜態測量的電壓表上測出的卻是包含滑靴之間間隔的一個靜態平均值，這也是試驗值與仿真結果存在一定差異的原因。

③柱塞腔內壓力的瞬態變化對滑靴底面壓力建立過程有很大影響。試驗所用的柱塞泵為進出口可變的雙向柱塞泵，配流盤采用的是雙向設計的減振孔形阻尼結構。分析表2-10的結果可以得出：在3MPa泵輸出壓力下，滑靴底面壓力受壓力超調的影響是比較大的。而在6MPa時，仿真研究中柱塞腔壓力分別以無阻尼結構的階躍信號和有阻尼的無沖擊擬斜坡信號輸入，試驗結果表明，仿真模型所得到的結論與試驗曲線是比較一致的。

9.結論

通過對滑靴底面流體參數的理論分析和試驗研究，得出以下結論。

①柱塞滑靴在壓油區始終處于動態平衡狀態，滑靴底面的壓力和油膜厚度也不是恒定不變的，而是以很高的頻率振蕩，振幅及振蕩頻率取決于柱塞組的阻尼孔及滑靴密封帶尺寸。在柱塞組結構一定時，滑靴底面壓力與油膜厚度有直接關系。壓力高，對應的油膜就比較厚。

②影響滑靴底面的流體參數主要有阻尼孔徑和密封帶尺寸。阻尼孔徑大，壓力響應頻率就比較高，油膜平均厚度大。密封帶尺寸比不宜太小，最小不應小于1.2。

③滑靴底面壓力受柱塞腔內壓力的影響比較大。試驗所得壓力曲線介于階躍信號和斜坡信號輸入的仿真結果之間，如果能將柱塞腔壓力的試驗值采樣記錄下來作為仿真研究的輸入，會使理論與實際更加符合。

④從仿真結果看，靜壓支承滑靴為了保證支承特性，必須減小阻尼孔徑，由于阻尼作用很大，壓力與油膜振蕩的幅度很小，油膜厚度也比較低；剩余壓緊力滑靴，阻尼孔徑的選擇不必考慮支承特性，所以壓力響應頻率高，平均油膜往往是靜壓支承滑靴的1～2倍。