第4章　回歸分析

4.1　概述

回歸分析是研究變量之間相互依賴關(guān)系的一種統(tǒng)計方法，是數(shù)理統(tǒng)計學(xué)中應(yīng)用廣泛的一個分支。

兩個變量之間的關(guān)系一般可分為兩類：一類是變量之間存在著完全確定的函數(shù)關(guān)系，一個變量或一些變量可以確定另一變量的值。例如，圓的周長l和面積S與其半徑r存在確定的函數(shù)關(guān)系l=2πr、S=πr²。電學(xué)中電壓V、電流I和負(fù)載電阻R間有明確的函數(shù)關(guān)系V=IR。另一類是變量間存在密切的關(guān)系，但沒有達(dá)到嚴(yán)格的確定關(guān)系，而具有某種程度的不確定性，這種變量之間不完全確定的關(guān)系稱為相關(guān)關(guān)系。相關(guān)關(guān)系是一種統(tǒng)計關(guān)系，因變量y的取值與自變量x的取值雖有一定關(guān)系，但y的取值帶有一定的隨機性，它只是隨自變量x大體上按一定的規(guī)律而變化。例如，兒童是身高和體重與年齡有一定的關(guān)系，雖然這種關(guān)系也可以用一個函數(shù)式表示，但具體到一個兒童，其計算值可能與實際測量值存在一定差距。又如，糧食產(chǎn)量與施肥量有關(guān)，肥料有助于提高糧食產(chǎn)量，但施肥量相同的田地其糧食產(chǎn)量仍有差別。

函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系的差別在于：函數(shù)關(guān)系是由自變量x決定因變量y的值，而相關(guān)關(guān)系是由x值決定y值的概率分布。

確定性關(guān)系和相關(guān)關(guān)系是兩種不同類型的變量關(guān)系，但它們之間沒有絕然的區(qū)別。由于測量誤差和其他因素的影響，確定性關(guān)系往往以相關(guān)關(guān)系表現(xiàn)出來，而當(dāng)人們對事物變化規(guī)律有深刻認(rèn)識時，原來是相關(guān)關(guān)系的變量又能找出其確定性關(guān)系的表達(dá)式。

在分析測試中，測量結(jié)果與其他影響因素之間雖有密切的關(guān)系，但又不像數(shù)學(xué)函數(shù)關(guān)系，因變量y隨自變量x嚴(yán)格地按確定的規(guī)律變化，而通常表現(xiàn)為相關(guān)關(guān)系。當(dāng)自變量x變化時，因變量y大體上按某種規(guī)律變化（即在一定范圍內(nèi)變化，有時會有例外），不能由x_i精確求出y_i值。如ICP-AES、AAS等分析方法，測量的光譜強度I（或吸光度A）與其濃度c間通常有I=a+bc關(guān)系式，但由于測量誤差、干擾的存在，儀器性能、測量條件的影響，關(guān)系式中的系數(shù)a、b會在一定范圍內(nèi)變動。一定濃度c在重復(fù)測量時，測得的I會在一定范圍內(nèi)變化，或者說由強度I計算出的濃度c不是十分確定的。用回歸直線表示I和c之間的關(guān)系時，試驗點不一定都在按其相關(guān)關(guān)系式畫出的直線上，試驗點與回歸直線有一定的離散度。

回歸分析是研究相關(guān)關(guān)系的一種數(shù)學(xué)工具，它是利用數(shù)理統(tǒng)計方法，在大量的試驗數(shù)據(jù)和觀察中，尋找隱藏在隨機性后面的統(tǒng)計規(guī)律。

回歸分析的內(nèi)容有：

①從一組數(shù)據(jù)出發(fā)，計算變量間相關(guān)關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式；

②對這些相關(guān)關(guān)系表達(dá)式進(jìn)行可信度的檢驗和判斷；

③從影響某一變量的許多自變量中判斷影響量的主要因素和次要因素；

④利用求得的相關(guān)關(guān)系，對試驗和生產(chǎn)過程進(jìn)行預(yù)測和控制。

在分析測試中，遇到最多的是一元線性回歸問題。一元線性回歸雖簡單，但應(yīng)用廣泛，且包含了回歸分析的基本思想和方法，具有普遍意義。