1.3　隨機誤差的正態分布

1.3.1　測量結果的分布

在重復測量的條件下，不可避免受到許多誤差因素的影響，這些影響最終都反映為測量結果的微小變化。例如，對某認定值為μ的標準物質進行n次獨立測量，得到一系列測量值x₁、x₂、…、x_n，如果不考慮系統誤差，測量誤差分別為δ₁=x₁-μ、δ₂=x₂-μ、…、δ_n=x_n-μ。在重復測量條件下，由于大量微弱的隨機因素的作用，出現的誤差 δ₁、δ₂ 、…、δ_n是大小不等、符號不同的數值，其數值的分布反映誤差的隨機性。

表1-2列出了用紅外吸收法測定某碳素鋼中碳含量的160次重復測量結果。這些未經整理的測量值參差不齊、高低不一，看不出有什么規律，能直接提供的信息有限。

為研究數據的分布規律，將這些數據加以整理，可獲得許多有用的信息。繪制直方圖是對大量原始數據進行初步整理的有效方法。

根據表1-2的測量結果，可按如下方法繪制直方圖：

①將測量結果由小到大排列，得最大值x_max=0.597%，最小值x_min=0.554%，極差R=0.043%，平均值=0.5755%；

②將全部測量數據按等組距（0.004%）分成12（m=12）組，計算每組的組中值及組中值的誤差；

③計算測量結果在每組中出現的頻數和積累頻數及頻率和積累頻率，計算數據列于表1-3。為避免位于分組點上的測量結果在分組時發生跨組的問題，組界值的有效數字比原測量結果多取一位。上下組界值的平均值為組中值。

從頻數和頻率的分布基本可看出測量結果的變化規律，測量結果離平均值愈近，其出現的頻數和頻率愈大；而離平均值愈遠，其出現的頻數和頻率愈小。

④以各組組距為橫坐標，頻數和頻率為縱坐標，繪制測量結果分布直方圖（圖1-3）。

注：繪制直方圖時，分組數（m）可按m=1.52（n-1）^2/5算式估計，n為樣本量，當n=160時，計算得m=11.55，可分為12組；也有推薦分組數取近似為樣本量平方根的數值。表1-3所有參數由表1-2數據通過Excel表格計算完成。

分析測試中，在消除了系統誤差的條件下，許多不可控制的隨機因素引起測量誤差，并使測量值隨之變動。因此，測量結果和測量誤差都是一個以概率取值的隨機變量。圖1-3表明了測量結果和測量誤差的分布規律：一是測量結果有明顯的集中趨勢，在平均值0.5755%附近出現的頻數（頻率）最高，即誤差為零附近測量值的頻數（頻率）最高；二是各測量值相對應平均值而言，大小相等、符號相反的誤差出現的頻數大體相等；三是正誤差和負誤差的分布大體呈對稱圖形，誤差小的測量結果出現的頻率遠比誤差大的測量結果出現的頻率多，大誤差出現的頻率趨于零。當測量次數進一步增加，各組距相對頻數趨向于一個穩定值，相對頻數分布的直方圖逐漸趨于一條中間高、兩邊對稱并漸漸降低、最終趨于零的平滑的鈴形曲線。這一鈴形曲線就是表示測量誤差分布的正態分布曲線。

數據處理的目的就是要從這種變動的數據中找出其中的統計規律。分析測試中，可認為隨機變量是由眾多互相獨立的隨機因素的微小影響疊加而成。由概率統計理論，隨機變量在數值上服從正態分布。因此，測量值和測量誤差都可以用正態分布來描述。

1.3.2　正態分布

正態分布函數是1809年德國數學家高斯（Gauss）推導出來的。

正態分布是連續隨機變量x的一種概率分布，其分布函數可表示為：

　　（1-9）

正態分布的概率密度函數為：

　　（1-10）

式中，x是正態分布總體中隨機抽取的樣本值；μ是正態分布總體的均值，-∞<μ<∞；σ²表示正態分布總體的方差，σ>0。因此，正態分布由μ和σ²這兩個基本參數確定，即隨機變量x和測量誤差δ服從均值μ、方差為σ²的正態分布，記為N（μ，σ²）。

要正確區分概率和概率密度的概念。概率是表示測量值落在某一區間可能性的大小，無量綱，其值在0到1之間；概率密度指單位隨機變量的概率（dP/dx），其值可以是任何正數，量綱是隨機變量x單位的倒數。

圖1-4表示以測量值x為橫坐標的N（μ，σ²）測量值正態概率密度曲線。

圖1-5表示以誤差δ為橫坐標的N（0，σ²）誤差分布概率密度曲線，此時誤差分布概率密度可表示為：

　　（1-11）

測量值的方差σ²越小，表示測量的精密度越好，測量值集中；而σ²越大，表示測量的精密度越差，測量值分散。從圖1-4、圖1-5可以看出，正態分布函數曲線有以下幾個特性：

①單峰曲線，在x=μ（或δ=0）處有極大值，此時f（x）=1/（σ）。隨σ增大，峰形變寬，曲線變得平坦；當σ=1時，f（x）≈0.4；當σ=2時，f（x）≈0.2；絕對值小的誤差出現的概率比絕對值大的誤差出現的概率大。

②在x=μ（或δ=0）處，曲線具有對稱性。

③在x=μ±σ（或δ=±σ）處，曲線有兩個拐點。

④在x→±∞（或δ→±∞）時，曲線與x軸為漸近線。

⑤曲線與x軸（或δ軸）所圍的面積為1，表示各樣本值出現的概率總和。

⑥μ決定分布曲線的中心位置，稱為位置參數；σ決定曲線的形狀，稱為形狀參數。μ的變化只導致曲線的平移，不改變曲線的形狀；而σ的變化正好相反，只改變曲線的形狀，不改變曲線的中心位置。σ的數值反映曲線的“胖”“瘦”程度，σ越大，曲線越平坦，其最高點越低，呈“矮胖”型，隨機變量在其均值μ（或δ=0）附近的密度越小。而σ越小，曲線越陡，其最高點越高，呈“瘦高”型，隨機變量在其均值μ（或δ=0）附近的密度越大。當σ不變，均值μ變動時，其密度分布曲線形狀不變，只是其位置沿x軸移動。當x（或δ）→±∞時，曲線與x軸為漸近線。

由此，隨機誤差具有以下幾個特性：

①單峰性，絕對值小的誤差出現的概率比絕對值大的誤差出現的概率大，多數的測量值集中在其平均值附近。測量精密度愈高（σ愈小），測量值愈集中，而精密度愈差，測量值愈分散。

②對稱性，絕對值相等的正誤差和負誤差出現的概率相等。

③有界性，絕對值很大的誤差出現的概率近于零，即誤差有一定的限度。

④抵償性，在同一條件下對同一量進行多次測量，由于隨機誤差的對稱性，算術平均的隨機誤差值隨著測量次數的增加減小，并逐漸趨近于零。

正態分布函數恰當地表征了測量值和測量誤差的分布規律。

1.3.3　標準正態分布

正態分布曲線與橫坐標之間所夾的面積為函數在樣本x在-∞<x<∞區間的積分值，代表了各隨機誤差出現概率的總和，其值為1：

　　（1-12）

樣本x落在區間（a，b）的概率P（a≤x≤b）等于x=a、x=b區間的曲線與橫坐標之間所夾的面積：

　　（1-13）

為了計算上的方便，令

則

這樣，通過變量的變換，使N（μ，σ²）變換為均值μ=0，方差σ²=1的標準正態分布N（0，1）。

標準正態分布N（0，1）的積分要比N（μ，σ²）簡便得多。標準正態分布的分布函數和密度函數分別記為Φ（u）和φ（u），通過對式（1-13）的積分，可計算測量值落在任何給定區間（如a和b之間）的概率：

　　（1-14）

標準正態分布密度函數為：

　　（1-15）

圖1-6表示正態分布密度函數概率范圍。分布圖中陰影部分表示在橫坐標該區間所夾的面積，表示樣本測量值落在區間（a，b）的概率。

為計算和使用方便，可以將標準正態分布Φ（u）的數值制成各種形式的表，一般有（-∞，u）、（u，∞）、（0，u）等幾種形式的表，幾種表列的數值不同，概率值的計算方法也不同，但計算的結果是一致的，在引用時要注意。分析測試中常用的是（0，u）表，見表1-4。

表1-5列出的是標準正態分布分位數P對應的u_P。

由于正態分布的對稱形曲線，所以（―u，0）與（0，+u）范圍給出的積分值是相等的，如果要求+u至-u范圍內的概率，可查u值的概率，乘以2，即2Φ（u）。而在±u范圍之外的概率為：1-2Φ（u）。

例如，計算分析值落在（μ-2σ，μ+2σ）區間的概率P：

由于，，

查表1-4得，u等于2.0時，Φ（u）=0.4773，則P（μ-2σ，μ+2σ）=0.4773×2=0.9546≈95.5%。

計算的概率值表明，單次測量結果落在μ±2σ范圍內的概率P為95.5%，而落在μ±2σ范圍外的概率（1-P）為1-95.5%=4.5%。

同理，可計算幾個典型取值區間的概率分布：

P（μ-σ，μ+σ）=0.3413×2=0.6826≈68.3%，表示單次測量結果落在μ±σ范圍內的概率為68.3%，而落在μ±σ范圍外的概率為31.7%。

P（μ-1.96σ，μ+1.96σ）=0.4750×2=0.950=95.0%，表示單次測量結果落在μ±1.96σ范圍內的概率為95.0%，而落在μ±1.96σ范圍外的概率為5.0%。

P（μ-2.58σ，μ+2.58σ）=0.4950×2=0.990=99.0%，表示單次測量結果落在μ±2.58σ范圍內的概率為99.0%，而落在μ±2.58σ范圍外的概率為1.0%。

P（μ-3σ，μ+3σ）=0.4987×2=0.9974≈99.7%，表示單次測量結果落在μ±3σ范圍內的概率為99.7%，而落在μ±3σ范圍外的概率為0.3%。

上述計算結果十分重要，可疑數值的取舍、測量值的取值范圍、分析方法精密度試驗的統計、測量不確定度的評定等都基于這些概率分布結果。

從理論上講，隨機變量x的取值范圍是（-∞，∞），但在實際測試中，測量值只是在某一有效范圍內變動。一般認為這個范圍為（μ-3σ，μ+3σ），則出現偏差大于3倍標準差的測量值的概率只有3‰（0.3%）。從統計上講，在有限次的測量中，出現偏差大于3倍標準差的測量值幾乎是不可能的，而一旦出現這樣大偏差的測量值，就有理由認為這個測量值是離群值，數據處理時可將其剔除，這就是所謂的“3σ”規則。在現在的分析測試中，更常用的是“2σ”規則，出現偏差大于2倍標準差的測量值認為是異常值。

【例1-1】　某樣品中碳的質量分數為0.445%，測量的σ=0.005%，假定測量的系統誤差已消除，求測量結果落在0.445%±0.005%范圍內的概率。

解

由表1-4可知，u=1.00時，Φ（u）=0.3413，其概率為2×0.3413=0.6826=68.26%。

【例1-2】　例1-1中，求測量結果大于0.452%的概率。

解　此例討論測量結果大于0.452%的概率，屬于單邊分布，

由表1-4可知，u=1.40時，Φ（u）=0.4192，測量結果大于0.452%的概率為0.5000-0.4192=0.0808=8.08%。

關于測量結果的正態性檢驗見第2章2.4。