模塊三　交流電路

學習單元一　正弦交流電的基本概念

一、正弦量的三要素

實際工程技術中所遇到的電壓、電流，在許多情況下，其大小和方向是隨時間的變化而變化的，這類電量為交流電。在選定參考方向后，可以用帶正、負號的數值來表示交流量在每個瞬間的大小和方向，這樣的數值稱為交流量的瞬時值。一般用小寫字母表示交流量，例如用u、i分別表示交流電壓和交流電流。

表示交流量瞬時值隨時間變化的數學表達式，稱為交流量的瞬時表達式，也稱解析式。表示交流量瞬時值隨時間變化的圖形，稱為波形圖。

交流量中，有很多是按照一定的時間間隔循環變化的，這樣的交流量稱為周期性交流量，簡稱周期量。隨時間按正弦規律變化的周期量，稱為正弦交流量，簡稱正弦量。

正弦交流電易于進行電壓的變換，便于遠距離傳輸。交流電氣設備與直流電氣設備相比，具有結構簡單、便于使用和維修等優點，所以正弦交流電在實踐中得到廣泛的應用。工程中一般所說的交流電（AC），通常都指正弦交流電。

下面以正弦交流電壓為例介紹交流電的有關概念。

圖3-1所示的電壓波形為正弦波，其瞬時表達式

e=E_msin（ωt+φ_u）　　        （3-1）

式中，ω、E_m、φ_u是正弦量之間進行比較和區分的依據，稱為正弦量的三要素。

1.正弦量的特征量

（1）周期　正弦交流電完成一次全變化所需的時間叫周期，用字母T表示，單位為秒（s）。

（2）頻率　單位時間（即1s）內正弦交流電完成全變化的次數稱為頻率，用字母f表示，單位為赫茲（Hz）。

周期與頻率互為倒數，即

　　        （3-2）

我國和大多數國家都采用50Hz作為電力標準頻率，有些國家（如美國、日本等）采用60Hz。這種頻率在工業上應用廣泛，習慣上也稱為工頻。通常的交流電動機和照明負載都用這種頻率。

（3）角頻率　單位時間（即1s）內正弦交流電變化的電角度叫做角頻率，用符號ω表示，單位為弧度每秒（rad/s）。

周期、頻率、角頻率三者之間關系（圖3-2）：

2.正弦量的有效值

（1）最大值　即交流電中瞬時值的最大值。

正弦交流電動勢、正弦交流電壓、正弦交流電流的最大值分別用字母E_m、U_m和I_m表示。正弦量的瞬時值大小是隨時間變化的，為了更準確描述出正弦量的大小，常用有效值表示。

（2）有效值　若交流電流i通過電阻R在一個周期T內所做的功，與直流電流I在相同時間內流過相同電阻時所做的功相等，則直流電流I稱為交流電流i的有效值。在電工技術中，常用有效值來衡量周期電流和電壓的大小。電流、電壓的有效值分別用大寫字母I、U表示。

交流電流的有效值是根據電流的熱效應原理來規定的。在數值相同的電阻R上分別通以周期電流i和直流電流I。當周期電流流過電阻時，該電阻在一個周期T內所消耗的電能為

當直流電流流過電阻R時，在相同時間T內所消耗的電能為PT=I²RT。如果在周期電流一個周期T的時間內，這兩個電阻所消耗的電能相等，則把這一等效的直流電流I稱為交流電流i的有效值，即

　　        （3-3）

由式（3-3）可知，周期電流的有效值等于電流瞬時值的平方在一個周期內的平均值再開方，因此，有效值又稱為均方根值。同理，可得周期電壓U的有效值為

　　        （3-4）

正弦交流電流i（t）=I_msin（ωt+φ_i）的有效值為

　　        （3-5）

同理，可得正弦交流電壓的有效值為

　　        （3-6）

　　        （3-7）

通常所說的交流電的值都是指其有效值。如用某些交流電表測量出來的數值是指其有效值，一般電氣設備銘牌上所標注的電壓、電流值同樣是其有效值。以后凡涉及交流電的數值，只要沒有特別聲明，都指其有效值。

3.正弦量的相位差

兩個同頻率正弦量的相位之差，稱為相位差，用字母“φ”表示。在正弦電流電路的分析中，經常要比較同頻率正弦量的相位差。設任意兩個同頻率的正弦量

i₁（t）=I_1msin（ωt+φ₁）　　　　　i₂（t）=I_2msin（ωt+φ₂）

它們之間的相位差

φ=（ωt+φ₁）-（ωt+φ₂）=φ₁-φ₂　　        （3-8）

兩個同頻率的正弦量，可能相位和初相角不同，但它們之間的相位差不變。

二、正弦量的相量表示法

正弦交流電用三角函數式及其波形圖表示很直觀，但不便于計算。對電路進行分析與計算時經常采用相量表示法，即用復數式與相量圖來表示正弦交流電。

1.相量

求解一個正弦量必須先求得它的三要素，但在分析正弦交流電路時，由于電路中所有的電壓、電流都是同一頻率的正弦量，而且它們的頻率與正弦電源的頻率相同，因此我們只要分析另外兩個要素——幅值（或有效值）及初相位就可以了。正弦量的相量表示就是用一個復數來表示正弦量，這樣的復數稱為相量。由歐拉公式可知

e^{j（ωt+φ）}=cos（ωt+φ）+jsin（ωt+φ）　　        （3-9）

式（3-9）把一個實變數的復指數函數和兩個實變數t的正弦函數聯系了起來。

cos（ωt+φ）=Re［e^{j（ωt+φ）}］　　        （3-10）

sin（ωt+φ）=Im［e^{j（ωt+φ）}］　　        （3-11）

式中，“Re”表示對復數函數取實部，“Im”表示對復數函數取虛部。這樣一個正弦i（t）=I_msin（ωt+φ_i）可以寫為

相量在正弦穩態電路的分析和計算中起著重要作用。在線性電路中，正弦激勵的穩態響應與激勵是同頻率的正弦量。在分析正弦穩態響應時，只要求出正弦量的振幅和初相位就可以了，而相量恰好反映了這兩個量。因此，引入相量后，可以用比較簡便的復數運算來代替正弦量的三角運算。具體表示方法是：用相量的模表示正弦量的有效值（或最大值）；用相量的幅角表示正弦量的初相位。

如某正弦交流電流

i=I_msin（ωt+φ_i）

則其相量表示為

正弦交流電流的最大值相量

有效值相量

說明：凡未做特別說明，本書中的相量均指有效值相量。需要注意的是，相量是一種被用來表示正弦交流量的特殊復數，不等于正弦量，只是一種運算工具，即

電壓相量與電動勢相量可以用相同的方式來定義。

2.相量圖

相量在復平面上可以用有向線段表示。按照各個正弦量的大小和相位關系畫出的相量圖形稱為相量圖。如

的相量圖如圖3-5所示。

注意，復數與正弦量之間不能劃等號，即復數不是正弦量，只是用復數對應表示一個正弦量，相量只能表示正弦量的兩個要素，角頻率需另外說明，因此只有同頻率的正弦量其相量才能畫在同一復平面上，畫在同一復平面上的表示相量的圖稱相量圖。