學習單元二　電路的分析與計算

一、基爾霍夫定律

基爾霍夫定律包括基爾霍夫電流定律和基爾霍夫電壓定律。為了便于討論，先介紹幾個名詞。

（1）支路　電路中流過同一電流的一個分支稱為一條支路。圖2-11所示的電路中有三條支路，分別為adb、aeb、acb。

（2）節(jié)點　三條或三條以上支路的連接點稱為節(jié)點。圖2-11所示的電路中有兩個節(jié)點，分別為a點和b點。

（3）回路　電路中任一閉合路徑都稱為回路。圖2-11所示的電路中有三個回路，分別為adbca、adbea、aebca。

（4）網(wǎng)孔　回路平面內(nèi)不含有其他支路的回路叫做網(wǎng)孔。圖2-11所示的電路中有兩個網(wǎng)孔，分別為adbea和aebca。

1.基爾霍夫電流定律（KCL）

任何時刻，對于電路中的任一節(jié)點，流入該節(jié)點的電流的代數(shù)和等于流出該節(jié)點的電流的代數(shù)和，這就是基爾霍夫電流定律，簡稱KCL，又稱為節(jié)點電流定律。其數(shù)學表達式為

∑I_入=∑I_出

若規(guī)定流入節(jié)點的電流為正，流出節(jié)點的電流為負，則電路中任一節(jié)點上電流的代數(shù)和恒等于零，即∑I=0。

對于圖2-12所示電路中的節(jié)點a，應(yīng)用基爾霍夫電流定律可寫出I₁+I₂-I₃=0，也可改寫為I₁+I₂=I₃。

KCL也可以推廣運用于電路的任一假設(shè)的封閉面，如圖2-13所示，則I₁+I₃-I₂=0。

2.基爾霍夫電壓定律（KVL）

任何時刻，沿著任一個回路繞行一周，所有支路電壓的代數(shù)和恒等于零，這就是基爾霍夫電壓定律，簡寫為KVL，用數(shù)學表達式表示

∑U=0

用此公式，先要任意規(guī)定回路繞行的方向，凡支路電壓的參考方向與回路繞行方向一致者，此電壓前面取“+”號，支路電壓的參考方向與回路繞行方向相反者，則電壓前面取“-”號。

圖2-15是某電路的一部分，各支路電壓的參考方向和回路的繞行方向如圖所示，應(yīng)用基爾霍夫電壓定律，可以列出

U_AB+U_BC+U_CD=-E₁+I₁R₁+I₂R₂+E₂-I₃R₃=0

這就是基爾霍夫電壓定律的另一種表達形式，可敘述為任一瞬時，電路中的任一回路各電壓降的代數(shù)和恒等于這個回路內(nèi)各電動勢的代數(shù)和。凡電動勢E_j、電流I_k與回路繞行方向一致者取“+”號，相反者取“-”號。

不論元件是線性的還是非線性的，電流、電壓是直流的還是交流的，KCL和KVL都適用。

二、支路電流法

以支路電流為電路變量，通過KCL、KVL列方程，解方程求出各支路電流的方法，稱為支路電流法。

設(shè)電路中有n個節(jié)點，b條支路，可以證明，由KCL可列出n-1個獨立的電流方程。由KVL可列出b-（n-1）個獨立的電壓方程，聯(lián)立可得b個獨立方程。若把b-（n-1）個獨立的電壓方程中的電壓用支路電流來表示，則可得b個獨立的電流方程，然后解方程組就可求出各支路的電流。

例如，電路如圖2-18所示，電路中有2個節(jié)點，3條支路，那么獨立的KCL方程應(yīng)該為1個。對2個節(jié)點中節(jié)點a列方程得

I₁+I₂-I₃=0　　        （2-1）

對節(jié)點b列方程得

-I₁-I₂+I₃=0

將節(jié)點a的方程乘以-1，就是節(jié)點b的方程，因此，節(jié)點a與節(jié)點b的方程只有一個是獨立的。對于節(jié)點電流方程，有如下的結(jié)論：若電路有n個節(jié)點，則可以列出n-1個獨立的節(jié)點電流方程。本例中選取節(jié)點a的電流方程作為獨立方程，將其記作式（2-1）。同樣，所列的回路電壓方程應(yīng)該是獨立的，為此，選定的每一個回路必須至少包含一條新的支路。為簡單起見，通常選擇單孔列回路電壓方程。

按順時針方向繞行，對左面的網(wǎng)孔列寫KVL方程：

R₁I₁-R₂I₁=U_s1-U_s2　　        （2-2）

按順時針方向繞行，對右面的網(wǎng)孔列寫KVL方程

I₂R₂+I₃R₃=U_s2　　        （2-3）

本例電路中共有3條支路，相應(yīng)的有3個待求電流I₁、I₂和I₃，為了求解待求的支路電流，需要3個獨立的方程。

支路電流法的步驟如下。

先選定b條支路的電流參考方向，以它們?yōu)殡娐纷兞俊?/p>

①對n-1個節(jié)點列寫KCL方程。

②對b-（n-1）個獨立回路列寫KVL方程（通常有幾個單孔回路，就列出幾個回路方程）。

③列出b個方程，解這些方程，即得各支路電流。

三、疊加定理

對于無源元件來講，如果它的參數(shù)不隨其端電壓或通過的電流而變化，則稱這種元件為線性元件。比如電阻，如果服從歐姆定律U=IR，則為常數(shù)，這種電阻就稱為線性電阻。由線性元件所組成的電路，稱為線性電路。

在線性電路中，多個電源（電壓源或電流源）共同作用在任一支路所產(chǎn)生的響應(yīng)（電壓或電流），等于這些電源分別單獨作用在該支路所產(chǎn)生響應(yīng)的代數(shù)和。

在應(yīng)用疊加定理考慮某個電源的單獨作用時，應(yīng)保持電路結(jié)構(gòu)不變，將電路中的其他理想電源視為零值，亦即理想電壓源短路，電動勢為零；理想電流源開路，電流為零。下面通過實例說明應(yīng)用疊加定理分析電路的方法，電路如圖2-19所示。

R₂支路的電流

使用疊加定理時，應(yīng)注意以下幾點：

①只能用來計算線性電路的電流和電壓，對非線性電路，疊加定理不適用；

②疊加時要注意電流和電壓的參考方向，求其代數(shù)和；

③化為幾個單獨電源的電路來進行計算時，所謂電壓源不作用，就是在該電壓源處用短路代替，電流源不作用，就是在該電流源處用開路代替；

④不能用疊加定理直接計算功率。

四、戴維南定理

1.概述

具有兩個端鈕的電路，稱為二端網(wǎng)絡(luò)，如圖2-21所示。根據(jù)網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部是否含有獨立電源，二端網(wǎng)絡(luò)又可分為有源二端網(wǎng)絡(luò)和無源二端網(wǎng)絡(luò)。二端網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部含有獨立電源則稱為有源二端網(wǎng)絡(luò)，二端網(wǎng)絡(luò)內(nèi)部不含獨立電源則稱為無源二端網(wǎng)絡(luò)。

2.戴維南定理

任一線性有源二端網(wǎng)絡(luò)，對其外部電路來說，都可用一個電動勢為E的理想電壓源和內(nèi)阻R₀相串聯(lián)的有源支路來等效代替。這個有源支路的理想電壓源的電動勢E等于網(wǎng)絡(luò)的開路電壓U_o，內(nèi)阻R₀等于相應(yīng)的無源二端網(wǎng)絡(luò)的等效電阻，這就是戴維南定理。

所謂相應(yīng)的無源二端網(wǎng)絡(luò)的等效電阻，就是原有源二端網(wǎng)絡(luò)所有的理想電壓源及理想電流源均除去后網(wǎng)絡(luò)的入端電阻。除去理想電壓源，即E=0，理想電壓源所在處短路；除去理想電流源，即I_s=0，理想電流源所在處開路。

利用戴維南定理求解支路電流（電壓）：

①斷開待求支路；

②求有源二端網(wǎng)絡(luò)的戴維南等效電路；

③接上待求支路，求電流（電壓）。

五、電路中電位

在電路中任選一點為參考點，則某點到參考點的電壓就叫做這一點（相對于參考點）的電位。參考點在電路圖中用符號“⊥”表示。

注意：①電路中各點的電位值與參考點的選擇有關(guān)，當所選的參考點變動時，各點的電位值將隨之變化；

②習慣上規(guī)定參考點的電位為零，即V₀=0；

③在電子線路中一般選擇元件的匯集處，而且常常是電源的一個極作為參考點，在工程技術(shù)中常選擇大地作為參考點。

由以上計算可以看出，當以a點為參考點時，V_b=-2V；當以c點為參考點時，V_b=3V；但b、c兩點間的電壓U_bc始終是3V。這說明電路中各點的電位值與參考點的選擇有關(guān)，而任意兩點間的電壓與參考點的選擇無關(guān)。

實驗六　基爾霍夫電流定律的認識與驗證

實驗?zāi)康?/h6>

①學會使用電流表（萬用表）測電流。

②學會驗證基爾霍夫電流定律。

③加深對電流參考方向的理解。

實驗原理

任一時刻，任一節(jié)點電流的代數(shù)和恒等于零（流入節(jié)點的電流之和等于流出該節(jié)點的電流之和）。表達式：

∑I=0或∑I_入=∑I_出

實驗設(shè)備

數(shù)字萬用表　　1臺。

各類電阻　　　若干。

電流表　　　　3塊。

直流電源　　　1臺。

實驗電路圖（圖2-25）

實驗內(nèi)容及步驟

①調(diào)節(jié)穩(wěn)壓電源使U_s1=12V，U_s2=12V。

②按接線圖連接，檢查無誤接通電源。

③讀取電流表數(shù)值I₁、I₂、I₃，記錄于表2-1中（電流值的正、負根據(jù)電流表“+”“-”端連接判斷）。

④調(diào)節(jié)穩(wěn)壓電源使U_s1=6V，U_s2=12V，重復(fù)步驟②、③

⑤驗證基爾霍夫電流定律。

實驗數(shù)據(jù)分析及結(jié)論

根據(jù)表格中所測數(shù)據(jù)：

①I為“-”說明什么？

②I₁、I₂、I₃之間關(guān)系是怎樣的？

③完成實驗報告。

實驗七　基爾霍夫電壓定律的認識與驗證

實驗?zāi)康?/h6>

①學會使用電壓表（萬用表）測電壓。

②學會驗證基爾霍夫電壓定律。

③加深對電壓參考方向的理解。

實驗原理

任一時刻，任一回路，從一點出發(fā)繞回路一周回到該點時，各段電壓的代數(shù)和恒等于零。表達式：

∑U=0

實驗設(shè)備

數(shù)字萬用表　　1臺。

各類電阻　　　若干。

電壓表　　　　3塊（或萬用表1塊）。

直流電源　　　1臺。

實驗電路圖（圖2-26）

實驗內(nèi)容及步驟

①調(diào)節(jié)穩(wěn)壓電源使U_s1=12V，U_s2=12V。

②按電路圖連接，檢查無誤接通電源。

③讀取電壓表數(shù)值U_AB、U_BD、U_CB，記入表2-2中（電壓值的正、負根據(jù)電壓表“+”“-”端連接判斷）。

④調(diào)節(jié)穩(wěn)壓電源使U_s1=6V，U_s2=12V，重復(fù)步驟②、③。

⑤驗證基爾霍夫電壓定律。

實驗數(shù)據(jù)分析及結(jié)論

根據(jù)表中所測數(shù)據(jù)：

①U為“-”說明什么？

②U_AB+U_BD-U_s1=？　U_CB+U_BD-U_s2=？

③完成實驗報告。

［模塊總結(jié)］

①實際電源有兩種模型：一種是理想電壓源與電阻串聯(lián)組合；一種是理想電流源與電阻并聯(lián)組合。

②為電路提供一定電壓的電源稱為電壓源。如果電壓源內(nèi)阻為零，電源將提供一個恒定電壓，稱為理想電壓源。為電路提供一定電流的稱為電流源。如果電流源內(nèi)阻為無窮大，電源將提供一個恒定不變的電流，稱為理想電流源。

③兩種電源模型之間等效變換的條件是U_s=I_sR₀或。這種等效變換僅對外電路等效，對電源內(nèi)部是不等效的，且在等效變換時U_s與I_s的方向應(yīng)該一致。

④基爾霍夫電流定律，數(shù)學表達式為∑I_入=∑I_出。也可表示為：在任一節(jié)點上，各電流的代數(shù)和等于零，數(shù)學表達式為∑I=0，流入電流為正，流出電流為負。

⑤基爾霍夫電壓定律，數(shù)學表達式為∑U=0，也可表示為∑U_R=∑E。

⑥疊加定理是線性電路中普遍使用的一個基本定理。只能疊加線性電路的電壓與電流，不能疊加功率。

［模塊檢測］

1.填空題

（1）兩種電源模型之間等效變換的條件是　　　　，且等效變換僅對　　　　等效，而電源內(nèi)部是　　　　的。 

（2）理想電壓源的輸出電壓與理想電流源的輸出電流是由　　　　　　　　　　確定的定值，是不隨外接電路的改變而改變的。 

（3）基爾霍夫電流定律的數(shù)學表達式為　　　　　　　　　　　　　　　，電壓定律的數(shù)學表達式為　　　　　　　　　　　　　　。 

（4）在應(yīng)用疊加定理考慮某個電源的單獨作用時，應(yīng)保持電路結(jié)構(gòu)不變，將電路中的其他理想電源視為零值，亦即理想電壓源　　　　　　　，電動勢為　　　　　　　；理想電流源　　　　　　　，電流為　　　　　　　　　　。 

（5）疊加定理只適用于　　　　　和　　　　　的計算，而不能用于　　　　的疊加計算，因為　　　　和電流的平方成正比，不是線性關(guān)系。 

（6）一個具有b條支路、n個節(jié)點（b>n）的復(fù)雜電路，用支路電流法求解時，需列出　　　　個方程式來聯(lián)立求解，其中　　　　個為節(jié)點電流方程式，　　　　個為回路電壓方程式。 

2.判斷題

（1）理想電壓源的輸出電流和電壓都是恒定的，是不隨負載變化而變化的。（　　）

（2）疊加定理僅適用于線性電路，對非線性電路則不適用。（　　）

（3）疊加定理不僅能疊加線性電路中的電壓與電流，也能對功率進行疊加。（　?。?/p>

（4）任何一個含源二端網(wǎng)絡(luò)，都可以用一個電壓源模型來等效代替。（　　）

（5）用戴維南定理對線性二端網(wǎng)絡(luò)進行等效替代時，對電路都是等效的。（　　）

（6）基爾霍夫電流定律表述為：對于電路中任一節(jié)點，流入節(jié)點的電流之和等于流出節(jié)點的電流之和。（　?。?/p>

（7）運用基爾霍夫電流定律列方程時，各支路電流的參考方向不能均設(shè)為流進節(jié)點，否則將只有流入節(jié)點的電流，而無流出節(jié)點的電流。（　?。?/p>

（8）在列某節(jié)點的電流方程時，均以電流的參考方向來判斷電流是“流入”還是“流出”節(jié)點。（　?。?/p>

3.選擇題

（1）電壓源和電流源的輸出端電壓（　?。?/p>

A.均隨負載的變化而變化；

B.均不隨負載的變化而變化；

C.電壓源的輸出端電壓不變，電流源的輸出端電壓隨負載而變化；

D.電流源的輸出端電壓不變，電壓源的輸出端電壓隨負載而變化。

（2）基爾霍夫電流定律的數(shù)學表達式為（　?。?。

A.∑I_入=∑I_出

B.∑E=∑IR

C.U=IR

D.E=I（R+r）

（3）基爾霍夫電壓定律的數(shù)學表達式為（　　）。

A.∑I_入=∑I_出

B.∑E=∑IR

C.U=IR

D.E=I（R+r）

（4）將圖2-27所示電路化為電壓源模型，其電壓U_s和電阻R為（　?。?。

A.2V，1Ω

B.1V，2Ω

C.2V，2Ω

D.4V，2Ω

（5）用疊加定理計算圖2-28中的電流I為（　?。?/p>

A.0A

B.1A

C.2A

D.3A

4.計算題

（1）將圖2-29中所示電路化成等值電流源電路。

（2）將圖2-30所示電路化成等值電壓源電路。

（3）圖2-31所示回路中已標明各支路電流的參考方向，試用基爾霍夫電壓定律寫出回路的電壓方程。

（4）圖2-32所示電路中，若以B為參考點，求A、C、D三點的電位及U_AC、U_AD、U_CD。若改C點為參考點，再求A、C、D三點的電位及U_AC、U_AD、U_CD。

（5）求圖2-33所示電路中的電壓U_AB。

（6）圖2-34所示為一直流三線供電系統(tǒng)，已知兩根線的電流I₁₁=2A，I₁₂=3A，負載電阻R₁=R₂=R₃=1Ω。試求I₁₃及各負載的電流I₁、I₂、I₃。

（7）求圖2-35所示電路中A點的電位V_A。

（8）對圖2-36所示電路，試計算開關(guān)S斷開和閉合時A點的電位V_A。

（9）電路如圖2-37所示，試列出求解各支路電流所需的方程。

（10）試將圖2-38（a）與（b）分別用等效電壓源來代替，再變換成等效電流源。

（11）試將圖2-39用等效電流源來代替，再變換成等效電壓源。

（12）試用支路電流法求圖2-40所示電路中的電流I₁、I₂、I₃。已知E₁=220V，E₂=E₃=110V，內(nèi)阻R₀₁=R₀₂=R₀₃=1Ω，負載電阻R₁=R₂=R₃=9Ω。

（13）試用支路電流法求圖2-41所示網(wǎng)絡(luò)中通過電阻R₃支路的電流I₃及理想電流源的端電壓U。已知I_s=2A，E=2V，R₁=3Ω，R₂=R₃=2Ω。

（14）試用疊加定理求解圖2-42所示電路中的電流I。

（15）試求圖2-43所示電路中的電壓U。

（16）電路如圖2-44所示，I=1A，試求電動勢E。

（17）圖2-45所示為一電橋電路，試用戴維南定理求通過對角線bd支路的電流I。

（18）試用戴維南定理求圖2-46所示電路中通過10Ω電阻的電流I。

（19）試用一等效電壓源來代替圖2-47中所示的各有源二端網(wǎng)絡(luò)。