第二節　截交線

如圖3-11（a）所示，當立體被平面P所截時，該平面P稱為截平面。它與立體表面的交線稱為截交線。

截交線的形狀取決于立體的形狀及截平面與立體的相對位置。截交線具有下列性質。

（1） 封閉性　由于立體表面是封閉的，因此截交線一般是封閉的平面圖形。

（2） 共有性　截交線是截平面和立體表面的共有線，截交線上的點是截平面和立體表面的共有點。

由截交線的性質可知，求截交線實質上是求截平面與立體表面上的一系列交點，并順次相連，即得截交線的投影。

一、平面與平面立體相交

平面與平面立體相交，其截交線是由直線組成的封閉的平面多邊形，多邊形的各條邊是截平面與平面立體各表面的交線，多邊形的頂點是平面立體的各棱線與截平面的交點。因此，作平面立體的截交線，就是求出截平面與平面立體各棱線的交點，然后依次連接各點同面投影，并判斷其可見性即得截交線的投影。掃描二維碼可觀看相關視頻。

【例3-5】　如圖3-11（a）所示，已知正六棱錐被平面P截切，求其俯、左視圖投影。

分析：由于截平面與正六棱錐的6個棱面相交，所以截交線是六邊形，六邊形的頂點是正六棱錐的6條棱線與截平面的交點。截交線的正面投影積聚在P_V上，水平投影與側面投影為六邊形的類似形。

作圖：

1） 先畫出沒有截切的正六棱錐的三視圖。

2） 求出截平面與各條棱線交點的正面投影a'、b'、c'、d'、e'、f'，如圖3-11（b）所示。

3） 根據直線上點的投影特性，求出各定點的水平投影和側面投影a、b、c、d、e、f及a″、b″、c″、d″、e″、f″，如圖3-11（c）所示。

4） 依次連接各交點即得截交線的水平投影和側面投影，如圖3-10（d）所示。此外，還應考慮形體其他輪廓的可見性問題，如圖3-11（d）中a″d″不可見，改為虛線。

【例3-6】　圖3-12（a）為正六棱柱被正垂面P截切，補畫截切后的三視圖。

分析：由于截平面與正六棱柱的6個棱面相交，所以截交線是六邊形，六邊形的頂點是正六棱柱的6條棱線與截平面的交點。截交線的正面投影積聚在P_V上，水平投影與正六棱柱的投影重合，側面投影為六邊形的類似形。

作圖：

1） 先畫出沒有截切的正六棱柱的左視圖，如圖3-12（b）所示。

2） 根據截平面與各條棱線交點的正面投影a'、b'、c'、d'、e'、f'和水平投影a、b、c、d、e、f， 根據直線上點的投影特性，求出各定點的側面投影a″、b″、c″、d″、e″、f″，如圖3-12（c）所示。

3） 依次連接a″、b″、c″、d″、e″、f″、a″，判斷輪廓其他形體可見性，擦去多余的線，作圖結果如圖3-12（d）所示。

二、平面與回轉立體相交

平面與回轉立體相交，截交線是一條封閉的平面曲線，或由平面曲線和直線或完全由直線所組成的平面圖形。

求平面與回轉立體截交線的作圖步驟如下。

1） 根據平面與回轉面的相對位置，分析截交線的形狀及其在投影面上的投影特點。

2） 求共有點。先求出特殊點（即確定截交線范圍的最高、最低、最前、最后、最左和最右點），后求一般點（前面介紹的立體表面上取點方法）。

3） 判斷可見性，依次光滑連接各點的同面投影，并補全回轉面輪廓線的投影。

下面分別介紹平面與圓柱、圓錐、圓球回轉體表面相交截交線的畫法。

1.平面與圓柱相交

由于截平面與圓柱軸線的相對位置不同，所以圓柱的截交線有3種形狀，見表3-1。

圓柱的截交線求法：圓柱的投影有積聚性，可利用積聚性求出截交線的投影。表3-1中前2種的情況，直接按截平面的位置找好投影關系即可得到截交線。第3種情況的截交線是橢圓，橢圓的形狀和大小隨截平面對圓柱軸線的傾斜程度不同而變化，但長短軸中總有一軸與圓柱的直徑相等。因此，需先找出系列的特殊點，即截交線上極限位置點、截交線的特征點和回轉輪廓線上的點等。再找出一般點，最后光滑連接這些點即得到截交線。

【例3-7】　 如圖3-13（a）所示，求圓柱被正垂面斜切的截交線。

分析：截平面為正垂面斜切圓柱，因此截交線是橢圓。橢圓的正面投影有積聚性，水平投影與圓柱面的投影重合為圓，側面投影為橢圓。根據投影規律，可由正面投影和水平投影求出側面投影。

作圖如圖3-13（b）所示。

1） 先求出截交線上的特殊位置點，即首先求長、短軸的4個端點的投影。分別是最低點和最高點、最前點和最后點。也在圓柱的最左、最右、最前和最后素線上。根據水平投影1、3、5、7和正面投影1'、3'、5'、7'可求出側面投影1″、3″、5″、7″。

2）再求截交線上的一般位置點。在截交線上任取一般點，根據水平投影2、4、6、8和正面投影2'、4'、6'、8'，可求出側面投影2″、4″、6″、8″。

3） 最后依次光滑連接各點，即可得到截交線的側面投影， 見圖3-13（c）。

【例3-8】　如圖3-14所示，畫被切圓柱的三視圖。

分析： 該圓柱的上端切口由左、右兩個平行于圓柱軸線的對稱的側平面及兩個垂直于圓柱軸線的水平面截切而成。其下端開槽是用前、后兩個平行于圓柱軸線的對稱的正平面及一個垂直于圓柱軸線的水平面截切而成。側平面、正平面與圓柱表面的截交線都為直線，水平面與圓柱表面的截交線都為圓弧，由于它們都分別垂直于相應的投影面，因此，圓柱上部切口和下部開槽部分截交線的投影均可用積聚性法求出。

作圖（見圖3-14b）：

1）先畫出完整圓柱的三視圖。

2）畫上端切口部分。由于截平面分別為側平面和水平面，圓柱截交線的正面投影都有積聚性，側平面的水平投影也有積聚性，故應按切口部位的尺寸依次畫出正面投影和水平投影，再根據這兩面投影求出截交線的側面投影a″b″c″d″a″。

3）畫下端開槽部分。

作圖時應注意兩點：①因圓柱最左、最右素線在開槽部位均被切去一段，故主視圖的外形輪廓線在開槽部位向內“收縮”，其收縮程度與槽寬有關。②注意區分槽底正面投影的可見性——弓形面的投影是可見的，畫成粗實線；中間部分（e'→f'）是不可見的，畫成細虛線。

掃描二維碼可觀看相關視頻。

2.平面與圓錐相交

由于截平面與圓錐軸線的相對位置不同，其截交線有5種不同的形狀，見表3-2。

3.平面與圓球相交

圓球被任意平面截切，得到的截交線都是圓。當截平面是投影面平行面時，截交線在所平行的投影面上的投影是一個圓，其他兩面的投影均為直線；當截平面是投影面垂直面時，截交線在所垂直的投影面上積聚為直線，其他兩面的投影為橢圓。圖3-15是球被水平面截切的求解過程。

【例3-9】　如圖3-16（a）所示，已知一開槽半圓球的主視圖，求其俯視圖和左視圖。

分析：半圓球開槽是由兩側平面與一水平面截切而成的。側平面與半圓球的截交線在左視圖上的投影是圓的一部分，在俯視圖上的投影積聚為直線；水平面與半圓球的截交線在俯視圖上的投影是圓的一部分，在左視圖上的投影積聚為直線；在左視圖上有部分為不可見。

注意：左視圖中半球的輪廓線在開槽處被截切。

作圖：

1） 求出水平面與球面的交線。交線的水平投影為圓弧，側面投影為直線，如圖3-16（b）所示。

2） 求側平面與球面的交線。交線的側面投影為圓弧，水平投影為直線，如圖3-16（c）所示。

3） 補全半圓球輪廓線的側面投影，并做出兩截平面的交線的側面投影（為虛線），完成全圖。