第一節(jié)　基本立體的三視圖

基本立體根據(jù)其表面的幾何性質(zhì)可分為平面立體和曲面立體兩類。

一、平面立體的三視圖

表面都是由平面圍成的立體，稱為平面立體，如棱柱、棱錐等。

1.棱柱

（1） 棱柱的三視圖　棱柱的表面由多個棱面和上、下兩個底面組成，兩相鄰棱面的交線稱為棱線，各棱線相互平行。當(dāng)棱線與底面垂直時，稱為直棱柱；傾斜時稱為斜棱柱；當(dāng)直棱柱的上、下底面為正多邊形時，稱為正棱柱。

為便于畫圖和看圖，常使棱柱的主要表面處于與投影面平行或垂直的位置。如圖3-1（a）所示，其上、下底面平行于H面，在俯視圖上反映實形，前、后棱面在主視圖上反映實形， 6個棱面在俯視圖上積聚成直線并與六邊形的邊重合， 六棱柱的6條棱線其水平投影積聚在六邊形的6個頂點上。

畫棱柱的三視圖時，一般先畫反映實形的底面的投影，然后再畫棱面的投影，并判斷可見性。正六棱柱的畫圖步驟如下。

1） 畫對稱中心線。

2） 畫出反映上、下兩個底面實形（正六邊形）的水平投影。

3） 根據(jù)棱柱的高度按三視圖的投影關(guān)系畫出其余兩視圖，如圖3-1（b）所示。

（2） 棱柱表面上的點　平面立體表面上取點首先要根據(jù)點的投影位置和可見性確定點在哪個面上。對于特殊位置平面上點的投影，可以利用平面的積聚性求出。對于一般位置平面上的點則用輔助線的方法求出。

【例3-1】　如圖3-1（b）所示，已知正六棱柱表面上點M的正面投影m'，求其另兩個投影并判斷可見性。

分析：由圖3-1可知，由于m'可見，點M在左前棱面上，該棱面水平投影有積聚性，因此點M的水平投影m可利用“長對正”直接求出，由m和m'利用“高平齊”“寬相等”即可求出m″。

棱柱處于不同位置，其三視圖也不同。在識圖的過程中，應(yīng)多看、多畫其三視圖，熟記其形體特征。圖3-2為常見不同位置的棱柱體及其三視圖。畫棱柱體的三視圖時，應(yīng)先畫多邊形，然后再畫其他兩面投影。

2.棱錐

（1）棱錐的三視圖　棱錐的表面由底面和多個棱面組成，各條棱線匯交于一點（錐頂），各棱面都是三角形，底面為多邊形。正棱錐的底面是正多邊形，側(cè)面為等腰三角形。

如圖3-3（a）所示為一正三棱錐，它的底面為一正三角形ABC，三個棱面都是等腰三角形△SBC、△SAB和△SAC。底面在俯視圖上反映實形，正面、側(cè)面投影均積聚為直線段；棱面△SAC左視圖上積聚成直線；其余兩棱面三面投影都是類似形。

畫棱錐的三視圖時，先畫底面和頂點的投影，然后再畫出各棱線的投影，并判斷可見性，如圖3-3（b）所示。

（2） 棱錐表面上的點　正三棱錐的表面有特殊位置平面，也有一般位置平面。特殊位置平面上的點的投影，可利用該平面投影的積聚性直接作圖；一般位置平面上的點的投影，可通過在平面上作輔助線的方法求得。現(xiàn)舉例說明。

【例3-2】　如圖3-3所示，已知三棱錐表面上點M、N的正面投影，求作M、N的其余兩投影。

分析：由于n'不可見，可知點N在棱面△SAC上，且平面SAC的側(cè)面投影有積聚性，可利用積聚性求n″，再由n'和n″求出n。點M處在△SAB棱面上，為一般位置平面，需要通過在平面上作輔助線的方法，求出點M的其余兩投影。

作圖：

1）過n'利用“高平齊”作投影連線求得n″，利用45°輔助線由n'和n″求得n。

2）過點M作輔助線SK，即連s'k'交于底邊a'b'于k'，并求得sk，由m'作投影連線交sk上得m，由m'和m求得m″。

3）判斷可見性，△SAC水平投影可見，側(cè)面投影有積聚性，所以n和n″均可見。棱面△SAB的三投影均可見，因此點M的三面投影也都可見。

如圖3-4為常見的正棱錐體及其三視圖。由圖中可看出：正棱錐體是由一個正多邊形底面和若干個具有公共頂點的等腰三角形側(cè)面構(gòu)成。三視圖的特征是：一個視圖的外形輪廓為正多邊形，其他兩視圖的輪廓均為三角形線框。

棱錐體被平行于底面的平面截去上部，所剩部分叫棱錐臺，簡稱棱臺，如圖3-5所示。

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二、曲面立體的三視圖

曲面立體是表面全部由曲面或者曲面和平面圍成的立體，如圓柱、圓錐、圓球等，常見曲面立體也稱為回轉(zhuǎn)體。曲面立體是由一條母線繞一條固定的軸線旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面，母線在回轉(zhuǎn)面上的任意位置稱為素線。

1.圓柱

（1）圓柱的形成　圓柱由上下底面及圓柱面組成。圓柱面可看成是母線繞與其平行的軸線旋轉(zhuǎn)而成。

（2）圓柱的三視圖　當(dāng)圓柱的軸線垂直于H面時，圓柱面的俯視圖積聚在圓周上。圓柱面在主視圖中的輪廓線是圓柱面上最左、最右兩條素線的投影，在左視圖中的輪廓線是圓柱面上最前、最后兩條素線的投影。圓柱體的上下底面俯視圖為圓（實形），主、左視圖積聚為直線。由此可見：圓柱的主、左視圖為大小相同的矩形，俯視圖為圓，如圖3-6所示。

畫圖時，先畫中心線，再畫積聚性投影圓，最后畫其余兩視圖。畫圖步驟如下。

1） 畫基準(zhǔn)線，即畫俯視圖的中心線及軸線的正面和側(cè)面投影。

2） 畫出投影為圓的俯視圖。

3） 根據(jù)圓柱體的高畫出另兩個視圖如圖3-6（b）所示。

（3） 圓柱表面上取點　由于圓柱面投影有積聚性，可利用積聚性作圖。

【例3-3】　如圖3-6（b）所示，已知圓柱面上點M、N的正面投影m'和n'，求水平投影和側(cè)面投影。

分析：由于圓柱面的水平投影有積聚性，所以圓柱面上兩點M、N的水平投影也在該圓上，可直接求出m、n，由m'、n'和m、n可求出m″、n″。作圖步驟同六棱柱表面點的投影。

2.圓錐

（1）圓錐的形成　圓錐體由圓錐面與底平面組成。圓錐面可看成是由一條母線繞與它相交的軸線回轉(zhuǎn)而成。圓錐面上過錐頂S的任一直線稱為素線。

（2）圓錐的三視圖　如圖3-7（a）所示，當(dāng)圓錐的軸線垂直于水平投影面時，圓錐的俯視圖是圓。主視圖為一等腰三角形，三角形的底邊是圓錐底平面的積聚投影，兩腰是圓錐面上最左、最右兩條素線的投影。左視圖也是等腰三角形，三角形的底邊是圓錐底平面的積聚投影，兩腰是圓錐面上最前和最后兩素線的投影。

畫圖時，應(yīng)先畫中心線和軸線，再畫投影為圓的視圖，最后畫錐頂和輪廓線的投影，畫圖步驟如下。

1） 畫俯視圖的中心線及軸線的正面和側(cè)面投影。

2） 畫投影為圓的俯視圖。

3） 根據(jù)圓錐體的高畫出另兩個視圖，如圖3-7（b）所示。

（3） 圓錐表面上取點　由于圓錐面投影無積聚性，所以求圓錐表面上的點可用輔助素線法和輔助圓法。

【例3-4】　如圖3-8（a）所示，已知點M的正面投影m'和點N的水平投影n，求M、N兩點的其余兩投影。

分析：由于圓錐的三面視圖均無積聚性，所以圓錐面上求點方法必須用輔助素線法和輔助圓法，求出輔助素線或輔助圓的三面投影，然后在線或圓上確定點的投影。作圖步驟如圖3-8（b）所示。

方法一：用輔助素線法求解。先過m'與錐頂s'作輔助素線s'l'，求出sl，再利用直線上點的從屬性求出m，由m'、m可求出m″。

方法二：用輔助圓法求解。過n作輔助圓的水平投影，此水平圓與圓錐底平面圓同心。其正面投影和側(cè)面投影為垂直于軸線的直線，長度為水平圓的直徑，n'、n″在此線上。

可見性判斷：由于點M在左前圓錐面上，所以三面投影均可見；點N在右前圓錐面上，所以n″不可見。

圓錐體被平行于其底面的平面截去其上部，剩余部分叫圓臺，如圖3-9所示。

3.圓球

（1）圓球的形成　圓球是球面圍成的實體。球面可以看成是由一個圓母線繞其自身的直徑即軸線旋轉(zhuǎn)而成。

（2）圓球的三視圖　圓球從任意方向投影都是圓，因此其三面投影都是直徑相同的圓。3個圓分別是球面在3個投影方向上轉(zhuǎn)向輪廓素線圓A、B、C的投影，如圖3-10所示。A在主視圖中是a'，它是前后半球可見與不可見的分界圓，在俯視圖和左視圖中都積聚成直線a和a″，并與中心線重合；同理，B在俯視圖上反映為b，是上下半球可見和不可見的分界圓；C在左視圖上反映為c″，它是左右半球可見與不可見的分界圓。

畫圓球的三視圖時，先畫中心線，再畫圓球的輪廓線并加深，畫圖步驟如下。

1） 畫三個視圖的中心線。

2） 畫出三個直徑等于圓球直徑的圓。

（3） 圓球表面上的點　可以用輔助圓法來確定圓球面上的點的投影。圓球面的輔助圓可以是平行于V面、H面或W面的圓。當(dāng)點處于圓球的最大圓上時，可以直接求出點的投影。