2.2 隨機誤差的正態分布
隨機誤差是由一些偶然因素造成的，它的大小和正負具有隨機性。當進行大量次數測定時，就會發現隨機誤差服從一定的統計規律，即符合正態分布規律。
2.2.1 正態分布
若以概率密度（y）對測定值（x）與總體平均值（μ）的差值ξ2（=x-μ）作圖，便可得到隨機誤差的正態分布曲線，也稱為高斯分布曲線（Gauss C.F.，1809），見圖2-2。
由圖2-2可以看出隨機誤差的分布具有如下規律性。
（1）單峰性 當x=μ時，y值最大，即分布曲線的最高點，它體現了測定值的集中趨勢，即測定值出現在平均值μ附近的概率最大，并呈現一個峰值，故稱之為單峰性。
（2）對稱性（相消性） 曲線以通過x=μ這一點的垂直線為對稱軸，說明正誤差和負誤差出現的概率相等，即為“對稱性”。由此，隨機誤差又具有“相消性”。
（3）有界性 當x趨近于-∞或+∞時，曲線以x軸為漸近線，說明小誤差出現的概率大，大誤差出現的概率小，特大誤差出現的概率極小，趨近于零。因此，隨機誤差的分布具有有限的范圍。
（4）精密度與分布曲線的關系 由圖2-2可見，σ越大，即精密度越差，測定值落在μ附近的概率越小，正態分布曲線就越平坦。反之σ越小，正態分布曲線就越尖銳。
圖2-2 正態分布曲線（μ同，σ不同）
因此，μ和σ是隨機誤差的正態分布的兩個重要的基本參數。前者反映測定值分布的集中趨勢，后者反映測定值分布的離散程度。這種正態分布曲線以N（μ，σ2）表示。因為不同的總體有不同的μ和σ，曲線的位置和形狀就會相應改變。為方便起見，常將正態分布曲線的橫坐標改為以u為單位表示。則可將正態分布曲線標準化，即為u分布。u定義為：
（2-20）
標準正態分布以N（0，1）表示。正態分布曲線的縱坐標的最高位置總是位于u=0處，最高點的數值為一恒定值，其形狀與σ無關。標準正態分布曲線見圖2-3。
圖2-3 隨機誤差的標準正態分布曲線
2.2.2 隨機誤差的區間概率
隨機誤差的正態分布曲線（見圖2-2和圖2-3）與橫坐標-∞～+∞之間所夾的面積，代表所有數據出現概率的總和，其值為1。通過計算或查表可求出橫坐標值不同范圍內正態分布曲線下的面積，從而就可得知隨機誤差（或測定值）在不同區間范圍內出現的概率，簡稱區間概率。常見的區間概率如下：
由此可見，隨機誤差超過±3σ的測定值出現的概率是很小的，僅占0.3%，因此，如果進行多次重復測定中個別數據的誤差的絕對值大于3σ，則這些測定值可以舍去。