3.2　技術基礎

3.2.1　鑄件凝固過程的數值模擬

金屬鑄造成形中的凝固過程是指高溫液態金屬由液相向固相的轉變過程。在這一過程中，高溫液態金屬所含熱量必然會通過各種途徑向鑄型和周圍環境傳遞，逐步冷卻并凝固，最終形成鑄件。其中，鑄件/鑄型系統的熱量傳遞主要包括：鑄液內部的熱對流，鑄件和鑄型內部的熱傳導，鑄液、鑄件和鑄型的熱輻射，以及鑄液/鑄型、鑄液/凝固層、鑄件/鑄型、鑄型/環境等界面的熱交換。實際上，自然界中的三類基本傳熱方式在金屬鑄造成形過程中均有所體現。

鑄件凝固過程數值模擬的主要任務就是建立凝固過程的傳熱模型，然后在已知初邊值條件下利用數值方法求解該傳熱模型，獲取其溫度場變化信息，并根據溫度場的分布及其變化仿真鑄件凝固過程，了解與溫度場或溫度梯度變化相關的物理現象和預測鑄件成形質量，例如：冷卻速度、凝固時間與凝固分數、液/固相變、晶粒形核與生長以及縮孔、縮松、冷隔、殘余應力與應變、宏微觀組織與性能等。

數值求解凝固過程溫度場的常用方法包括：有限差分法、有限元法和邊界元法。其中，前兩種方法的基本原理已在第2章分別介紹，第三種方法（邊界元法）將在第7章結合塑料注射成形冷卻模擬介紹。考慮到有限差分法在處理諸如鑄造溫度場、流動場方面的簡捷性與廣泛性，本章只介紹利用有限差分法求解鑄件凝固過程的溫度場變化。

3.2.1.1　基本假設

①鑄液充型時間極短，充型期間鑄液和鑄型內的溫度變化可忽略不計；

②鑄液充滿模腔后瞬間開始凝固；

③不考慮凝固過程中的液/固相界面推移，即不考慮傳質影響（該假設不適合厚大鑄件）；

④忽略鑄液過冷，即凝固是從給定的液相線溫度開始至固相線溫度結束，金屬液的凝固在平衡狀態下完成；

⑤鑄件/鑄型系統傳熱主要受鑄件、鑄件凝固層、鑄型以及鑄件/鑄型界面和鑄件/鑄型界面涂料層（如果有）的熱傳導控制。

3.2.1.2　熱傳導控制方程（Fourier方程）

　　（3-1）

式中　　　　T——溫度場；

　　t——時間；

k_x，k_y，k_z——沿x、y、z方向的導熱系數；

　ρ，c——材料密度和比熱容；

　　　L——比潛熱（單位質量液相轉變成固相所釋放的結晶潛熱）；

　　　f_s——凝固溫度區間內的固相質量分數。

式（3-1）表明：基于能量守恒原理，微元體單位時間溫度變化獲得（或散失）的熱量等于單位時間由x，y，z三個方向傳入（或傳出）微元體的熱量加上微元體單位時間相變釋放（或吸收）的熱量。對于鑄件/鑄型系統中無相變材料（例如鑄型）的導熱而言，式（3-1）右邊最后一項等于零。

在實際生產中，鑄件/鑄型系統的熱傳導控制分三種情況：

①鑄件熱導率遠大于鑄型熱導率（例如砂型鑄造），鑄件中的溫差相對于砂型溫差而言可以忽略不計，鑄件/鑄型系統的熱傳導取決于砂型導熱；

②鑄件在厚涂料金屬型中凝固，鑄件和鑄型的熱導率相對于涂料而言很大，鑄件/鑄型系統的熱傳導取決于涂料導熱；

③鑄件在金屬型中凝固，鑄件與鑄型緊密接觸，鑄件、鑄型和鑄件/鑄型界面的熱導率接近，鑄件/鑄型系統的熱傳導由鑄件、鑄型共同決定。

3.2.1.3　結晶潛熱的處理

由于凝固金屬的液相內能大于固相內能，因此，當鑄件金屬由液相轉變為固相時，會發生內能的變化。這個內能變化以凝固（結晶）潛熱的形式展現。潛熱的處理與鑄件材料的凝固特性有關，常用方法有：等效比熱容法、熱焓法和溫度補償法。

（1）等效比熱容法

該方法認為：鑄件凝固過程中的比熱容由兩部分組成，一是鑄件材料的真實比熱容，二是結晶潛熱對相變過程比熱容的貢獻，即

c_E=c+L₀　　（3-2）

式中　c_E——等效（或當量）比熱容；

　c——真實比熱容；

　L₀——結晶潛熱對相變比熱容的貢獻。

現將式（3-1）的潛熱項移到等號左邊并化簡，得：

或

　　（3-3）

顯然：

　　（3-4）

由式（3-4）可知，當鑄件材料一定時，其凝固過程所釋放的結晶潛熱與固相質量分數f_s和實際凝固溫度T有關。因此，等效比熱容法的關鍵是確定凝固過程中f_s與T之間的關系。通常，利用鑄件合金的平衡相圖可以較好地解決該問題。

圖3-1是某二元合金相圖的一部分，其中：C₀、C_S、C_L分別為給定合金的原始成分（組元B的質量分數，下同）、溫度為T時的固相成分和液相成分，T_f、T_L、T_S分別為組元A的熔點、合金C₀開始結晶的液相線溫度和結晶完畢的固相線溫度。為了簡化數學處理，假設相圖中的液相線和固相線均為直線，因而在凝固區間的任何溫度下，液固兩相的濃度（成分）分配比為一常數，即：

　　（3-5）

針對圖3-1應用杠桿定理，可計算獲得凝固溫度為T時，單位質量合金C₀結晶出的固相質量分數

　　（3-6）

將式（3-5）代入式（3-6）得到液相成分C_L與原始成分C₀、已結晶固相質量分數f_s和濃度分配比k之間的關系。

　　（3-7）

由于假設液相線為直線，因此有：

　　（3-8）

將式（3-7）代入式（3-8）并化簡，得：

于是有：

　　（3-9）

　　（3-10）

如果合金凝固期間液、固兩相的濃度分配比k不為常數或未知，則可借助下述方法處理?f_s/?T：

先利用熱分析法求出合金凝固開始溫度T_L和結束溫度T_S，然后假設如下：

①T與f_s呈線性關系，即T=T_L-（T_L-T_S）f_s，于是

　　（3-11）

②T與f_s呈二次關系，即，于是

　　（3-12）

根據應用情況，將?f_s/?T代入式（3-4），即可獲得二元合金凝固過程中的等效比熱容c_E。需要注意的是，合金凝固過程中的等效比熱容選取與實際冷卻溫度T有關，一般

　　（3-13）

式中　c_L，c_S——液態和固態下的合金比熱容；

　　c——真實比熱容（可以理解為無結晶潛熱的系統比熱容）。

等效比熱容法適合于處理凝固溫度區間較寬合金的潛熱問題。對于凝固溫度區間較窄合金和共晶合金的潛熱處理必須進行溫度修正，否則便會產生顯著誤差。

（2）熱焓法

熱焓法是利用鑄件凝固過程中的熱焓隨溫度變化來處理結晶潛熱。對于歷經凝固的已知成分合金系統，其熱焓H被定義為：

　　（3-14）

式（3-14）對溫度求導：

　　（3-15）

將式（3-15）代入式（3-1）即得：

　　（3-16）

熱焓法與等效比熱容法類似，適用于有一定結晶溫度范圍的合金。

（3）溫度回升法

對于純金屬或凝固溫度區間很窄或共晶成分合金的結晶潛熱處理，通常采用溫度回升法。

就上述合金或純金屬而言，在整個凝固過程中，其溫度基本上維持在凝固點附近。這是由于鑄件凝固釋放的結晶潛熱補償了其“顯”熱的散失，從而抵消了冷卻傳熱造成的溫度下降。假設在時間Δt內，從液相中結晶出質量分數為f_s的固相釋放熱量

Q₁=Lf_s　　（3-17）

同一時間內，該固相散失熱量

Q₂=cf_sΔT　　（3-18）

式中　ΔT——因熱量散失導致的溫度下降。

當Q₁=Q₂時，意味著釋放的潛熱完全彌補了冷卻的散熱，于是又使溫度回升ΔT。最后由式（3-17）和式（3-18）可得：

L=ΔTc　　（3-19）

式（3-19）即是利用溫度回升法導出的結晶潛熱表達式。

3.2.1.4　鑄件/鑄型系統的其他傳熱方式

（1）對流傳熱

鑄液與鑄型內壁、鑄液與已凝固鑄件層、鑄型外壁與周圍空氣以及鑄液內部存在對流換熱。對流換熱的數理描述通常依據牛頓（Newton）冷卻公式

q_f=α（T_f-T_w）　　（3-20）

式中　q_f——熱流密度（單位面積界面上的對流傳熱量）；

　α——對流傳熱系數；

　T_f——流體（例如鑄液、空氣等）溫度；

　T_w——固體（例如鑄型、已凝固鑄件層等）邊界溫度。

需要注意的是，式（3-20）并不涉及鑄液（流體）內部的對流傳熱。由于處理對流傳熱比處理單純熱傳導復雜，因此，在實際計算中常予以簡化。

（2）輻射傳熱

鑄件、鑄型與周圍空氣之間的換熱方式還包括輻射傳熱，特別是在靜止空氣中冷卻且鑄件或鑄型溫度相對較高時，鑄件或鑄型表面與大氣之間的換熱以輻射方式為主。輻射傳熱遵循斯忒藩-玻耳茲曼定律（Stefan-Boltzman）定理

　　（3-21）

式中　　q_r——單位面積界面上的輻射傳熱量；

E——鑄件或鑄型的表面黑度；

S——Stefan-Boltzman常數；

T，T_∞——鑄件或鑄型的表面溫度和環境（空氣）溫度。

3.2.1.5　熱傳導控制方程的差分格式

根據第2章介紹的有限差分原理，將式（3-1）中的各項改寫成差分格式，例如

當 Δx=Δy=Δz（微元體邊長相等）時，有

綜合上述各式，得鑄件/鑄型系統熱傳導控制方程的差分格式（假設k_x=k_y=k_z=λ）

　　（3-22）

式中　T——當前（即t）時刻溫度；

　T'——下一（即t+Δt）時刻溫度；

　Δt——時間步長。

3.2.1.6　溫度場數值解穩定收斂的基本條件

將式（3-22）改寫成數值迭代形式

　　 （3-23）

式中　——熱擴散系數；。

令［與微元i相鄰的6個微元溫度的平均值（見圖3-2）］，于是有

　　（3-24）

無相變時（例如鑄型導熱），式（3-24）轉變成

　　（3-25）

此時，微元i的溫度變化ΔT取決于該微元當前溫度T與相鄰6個微元平均溫度之差。差值即為驅使微元i溫度變化的動力，而微元i溫度變化的終極目標是趨向周圍6個相鄰微元溫度的平均值，即ΔT=0。作為實際過程數值模擬的迭代計算，必須真實地反映這一現象：任何時刻，任何單元都不能出現溫度變化的反常。顯然，如果式（3-25）中的時間步長Δt取值不當，就會造成迭代計算的溫度值振蕩。換句話說，Δt的取值必須保證微元溫度的變化ΔT滿足條件

　　（3-26）

將式（3-25）代入式（3-26），有

化簡得到溫度場數值解穩定收斂的基本條件

　　（3-27）

即：按式（3-27）選取時間步長，可保證式（3-25）在無相變前提下存在穩定收斂的數值解。對存在液、固相變的鑄件導熱，將3.2.1.3小節對結晶潛熱處理的表達式代入式（3-24），然后再代入式（3-26），同樣可推導出相應熱傳導控制方程的有限差分格式和穩定數值解的收斂條件。

3.2.1.7　初邊值條件的設定

（1）初始條件

根據基本假設①和②，當t=0時，有

通常將鑄件初始溫度T_c定義為等于或略低于鑄液澆注溫度，鑄型初始溫度T_m定義為鑄型預熱溫度或室溫。若假設充型結束時，鑄液與鑄型完全接觸，且其界面溫度瞬間趨于一致（如圖3-3所示），于是可用下式計算t=0時的界面溫度T₀

　　（3-28）

式中　b_c，b_m——鑄件和鑄型的儲熱系數，；

　a_c，a_m——鑄件和鑄型的熱擴散系數。

（2）邊界條件

計算鑄件凝固過程溫度場的邊界條件參見第2章式（2-36）～式（2-38），其中最重要的邊界條件是界面傳熱（換熱）系數h。涉及鑄造凝固傳熱的界面按物質分類通常有：鑄件/鑄型、鑄件/空氣、鑄件/涂料、涂料/鑄型、鑄件/冷鐵、冷鐵/砂型、冒口/空氣、鑄型/空氣以及鑄型/大地等。應根據生產實際（如鑄造方法、鑄型類別、界面性質等）分別設置各界面的傳熱系數。此外，還需重視一些特殊邊界的處理。例如：當鑄件和鑄型之間無涂料過渡時，應考慮界面間隙的輻射傳熱或（和）空氣對流傳熱；同理，在金屬型鑄造或鑄件明冒口頂部不加覆蓋劑的場合，需適當考慮對流傳熱和輻射傳熱。又例如：當鑄件/鑄型系統的幾何形狀和邊界條件之間存在某種對稱關系時，為了節約計算工作量，往往只對鑄件/鑄型系統中的一部分區域進行求解，此時的對稱邊界類似絕熱邊界，即在對稱邊界上，求解熱傳導方程式（3-1）的第一、第二類邊界條件應設置為。表3-1是金屬鑄造成形中常見界面傳熱系數的經驗值，可作為一般數值計算參考。

應嚴格說來，界面傳熱系數是溫度和界面性質的函數，如果條件允許，應盡可能選擇（或通過物理實驗獲取）真實的界面傳熱系數。