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第二節(jié) 鉸鏈四桿機構(gòu)的運動分析

在圖1-2所示的鉸鏈四桿機構(gòu)中,已知各構(gòu)件的尺寸及原動件1的方位角θ1和勻角速度ω1,需對其位置、速度和加速度進行分析。

一、數(shù)學模型的建立

為了對機構(gòu)進行運動分析,先如圖1-2建立直角坐標系,并將各構(gòu)件表示為桿矢,為了求解方便,將各桿矢用指數(shù)形式的復數(shù)表示。

圖1-2 鉸鏈四桿機構(gòu)

1.位置分析

如圖1-2所示,由封閉圖形ABCDA可寫出機構(gòu)各桿矢所構(gòu)成的封閉矢量方程

 ?。?-1)

其復數(shù)形式表示為

 ?。?-2)

將式(1-2)的實部和虛部分離,得

 ?。?-3)

由于式(1-3)是一個非線性方程組,直接求解比較困難,在這里借助幾何方法進行求解,在圖中連接BD,由此得

 ?。?-4)

2.速度分析

將式(1-2)對時間t求一次導數(shù), 得速度關系

 ?。?-5)

將式(1-5)的實部和虛部分離,得

 ?。?-6)

若用矩陣形式來表示,則式(1-6)可寫為

 ?。?-7)

解式(1-7)即可求得兩個角速度ω2、ω3。

3.加速度分析

將式(1-2)對時間t求二次導數(shù),可得加速度關系表達式

  (1-8)

解式(1-6)即可求得兩個角加速度α2、α3。

二、計算實例

【例1-1】 如圖1-2所示,已知鉸鏈四桿機構(gòu)各構(gòu)件的尺寸為:l1=101.6mm,l2=254mm,l3=177.8mm,l4=304.8mm,原動件1以勻角速度ω1=250rad/s逆時針轉(zhuǎn)動,計算構(gòu)件2和構(gòu)件3的角位移、角速度及角加速度,并繪制出運動線圖。

三、程序設計

鉸鏈四桿機構(gòu)MATLAB程序由主程序crank_rocker_main和子函數(shù)crank_rocker兩部分組成。

1.主程序crank_rocker_main文件

*************************************************

%1.輸入已知數(shù)據(jù)

clear;

l1=101.6; l2=254; l3=177.8; l4=304.8;

omega1=250;

alpha1=0;

hd=pi/180; du=180/pi;


%2.調(diào)用子函數(shù) crank_rocker 計算鉸鏈四桿機構(gòu)位移,角速度,角加速度

for n1=1:361

 theta1=(n1-1)*hd;

?。踭heta,omega,alpha]=crank_rocker(theta1,omega1,alpha1,l1,l2,l3,l4);

 theta2(n1)=theta(1);theta3(n1)=theta(2);

 omega2(n1)=omega(1);omega3(n1)=omega(2);

 alpha2(n1)=alpha(1);alpha3(n1)=alpha(2);

end


%3.角位移、角速度、角加速度和四桿機構(gòu)圖形輸出

figure(1);

n1=1∶361;

subplot(2,2,1);  % 繪位移線圖

plot(n1,theta2*du,n1,theta3*du,'k');

title('角位移線圖');

xlabel('曲柄轉(zhuǎn)角 \theta_1/\circ')

ylabel('角位移/\circ')

grid on; hold on;

text(140,170,'\theta_3')

text(140,30,'\theta_2')


subplot(2,2,2);  % 繪角速度線圖

plot(n1,omega2,n1,omega3,'k')

title('角速度線圖');

xlabel('曲柄轉(zhuǎn)角 \theta_1/\circ')

ylabel('角速度/rad\cdots{-1}')

grid on;hold on;

text(250,130,'\omega_2')

text(130,165,'\omega_3')


subplot(2,2,3); % 繪角加速度線圖

plot(n1,alpha2,n1,alpha3,'k')

title('角加速度線圖');

xlabel('曲柄轉(zhuǎn)角 \theta_1/\circ')

ylabel('角加速度/rad\cdots{-2}')

grid on;hold on;

text(230,2e4,'\alpha_2')

text(30,7e4,'\alpha_3')


subplot(2,2,4); % 鉸鏈四桿機構(gòu)圖形輸出

x(1)=0;

y(1)=0;

x(2)=l1*cos(70*hd);

y(2)=l1*sin(70*hd);

x(3)=l4﹢l3*cos(theta3(71));

y(3)=l3*sin(theta3(71));

x(4)=l4;

y(4)=0;

x(5)=0;

y(5)=0;

plot(x,y);

grid on;hold on;

plot(x(1),y(1),'o');

plot(x(2),y(2),'o');

plot(x(3),y(3),'o');

plot(x(4),y(4),'o');

title('鉸鏈四桿機構(gòu)');

xlabel('mm')

ylabel('mm')

axis([-50 350-20 200]);%


%4.鉸鏈四桿機構(gòu)運動仿真

figure(2)

m=moviein(20);

j=0;

for n1=1:5:360

  j=j﹢1;

  clf;

  x(1)=0;

  y(1)=0;

  x(2)=l1*cos((n1-1)*hd);

  y(2)=l1*sin((n1-1)*hd);

  x(3)=l4﹢l3*cos(theta3(n1));

  y(3)=l3*sin(theta3(n1));

  x(4)=l4;

  y(4)=0;

  x(5)=0;

  y(5)=0;

  plot(x,y);

  grid on;hold on;

  plot(x(1),y(1),'o');

  plot(x(2),y(2),'o');

  plot(x(3),y(3),'o');

  plot(x(4),y(4),'o');

  axis([-150 350 -150 200]);

  title('鉸鏈四桿機構(gòu)'); xlabel('mm'); ylabel('mm')

  m(j)=getframe;

end

movie(m);

2.子函數(shù)crank_rocker 文件

*************************************************

function [theta,omega,alpha]=crank_rocker(theta1,omega1,alpha1,l1,l2,l3,l4)

%1.計算從動件的角位移

L=sqrt(l4*l4﹢l1*l1-2*l1*l4*cos(theta1));

phi=asin((l1./L)*sin(theta1));

beta=acos((-l2*l2﹢l3*l3﹢L*L)/(2*l3*L));

if beta<0

  beta=beta﹢pi;

end

theta3=pi-phi-beta;               % theta3 表示桿3轉(zhuǎn)過角度

theta2=asin((l3*sin(theta3)-l1*sin(theta1))/l2);     % theta2 表示桿2轉(zhuǎn)過角度

theta=[theta2;theta3]


%2.計算從動件的角速度

A=[-l2*sin(theta2), l3*sin(theta3);          % 機構(gòu)從動件的位置參數(shù)矩陣

  l2*cos(theta2), -l3*cos(theta3)];

B=[l1*sin(theta1); -l1*cos(theta1)];         % 機構(gòu)原動件的位置參數(shù)列陣

omega=A\(omega1*B);              % 機構(gòu)從動件的速度列陣

omega2=omega(1); omega3=omega(2);


%3.計算從動件的角加速度

A=[-l2*sin(theta2), l3*sin(theta3);

  l2*cos(theta2), -l3*cos(theta3)];

At=[-omega2*l2*cos(theta2), omega3*l3*cos(theta3);

  -omega2*l2*sin(theta2), omega3*l3*sin(theta3)];

B=[l1*sin(theta1); -l1*cos(theta1)];        % 機構(gòu)原動件的位置參數(shù)列陣

Bt=[omega1*l1*cos(theta1); omega1*l1*sin(theta1)];  % Bt=dB/dt

alpha=A\(-At*omega﹢alpha1*B﹢omega1*Bt);     % 機構(gòu)從動件的加速度列陣

  ***********************************************

四、運算結(jié)果

圖1-3為鉸鏈四桿機構(gòu)的運動線圖和機構(gòu)運動仿真圖。

圖1-3 鉸鏈四桿機構(gòu)運動線圖和機構(gòu)運動仿真圖

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