1.8 利用鏡子測量高度

[題] 借助鏡子也可以測量樹木的高度，你知道嗎？如圖1-14所示，如果把一面鏡子平放在被測樹木附近的C點上，使C點和大樹保持一定的距離，然后觀測者從C點退后到D點，使得在D點時可以從鏡中看到樹頂A點。那么這時候樹高AB是觀測者身高ED的多少倍？從鏡子到樹根的距離BC是從鏡子到觀測者距離CD的多少倍？請說出原因。

圖1-14 使用鏡子測量樹的高度

[解] 可以用光的反射定律來證明。樹頂A（圖1-15）倒映在A′點上，所以AB=A′B。又因為三角形BCA′和三角形DCE相似，可得：

A′B∶ED=BC∶CD

圖1-15 用鏡子測高的幾何示意圖

又因為A′B與AB相等，因此比值可求。

鏡子測高法與光的反射定律相關，在任何天氣條件下都可以使用，十分簡便易行。不過也存在局限，就是只能測量獨立的樹木，在密林當中測量樹木不宜使用。

[題] 如果我們因為某種原因無法靠近樹木，用鏡子測高法能否測出樹木高度呢？如果可以，如何使用？

[解] 可以測出。通過兩次運用上面的方法即可。首先把鏡子放在兩個地方進行測量，利用兩個相似三角形的比例關系可推出，樹高應為人眼距地面的距離乘以鏡子兩次測量位置的距離與觀測者和鏡子距離之差的比。

其實這道題是600年前的經典古題，中世紀數學家安東尼·德·可莫雷納曾在其著作《土地的實用測量》（1400年）中對其作過詳細研究。

我們已經討論了很多關于測量樹高的問題，最后我給讀者留一道與之相關的計算題，供大家思考。