1.3 平面匯交力系的簡化與平衡
各力的作用線在同一平面內同時匯交于一點的力系稱為平面匯交力系。平面匯交力系的求解方法有兩種：幾何法和解析法。幾何法，可根據力的平行四邊形法則將各分力兩兩合成，最后得到一個合力，或者用力的多邊形法則，即將各分力的矢量首尾相接，最后將起點和終點連接起來得到合力；解析法，將各力向坐標投影后進行計算，又稱為投影法。本節僅討論應用更為廣泛的解析法。
1.3.1 平面匯交力系的簡化 （解析法）
（1）力的投影
在工程應用中，引入力在坐標軸上的投影這個概念。如圖1-9所示，假設力F作用在M點，在力F作用線所在平面取直角坐標系Oxy，從力F的起點M和終點N分別向x軸和y軸作垂線，得垂足a、b、c、d，則線段cd和ab分別稱為力F在x軸上和y軸上的投影，并分別用Fx和Fy表示。
圖1-9 力的投影
設力F與x軸所夾銳角為α，則力F的投影表達式為：
（1-2）
需要注意：雖然力是矢量，但是力在坐標軸上的投影是代數量，方向用正負號規定。當與坐標軸的正方向一致時為正，用“+”表示，與坐標軸方向相反為負，用“-”表示。
（2）合力投影定理
設在剛體上作用有一平面匯交力系F1、F2、…、Fn，合力為F，其在直角坐標系上的投影分別為F1 x、F2 x、…、Fnx，合力為Fx。因力系對剛體的作用效果等效于合力F對該剛體的作用效果，所以合力在某軸上的投影一定等于各分力在同一軸上的投影的代數和，這一結論稱為合力投影定理。即：
（1-3）
1.3.2 平面匯交力系的平衡條件
平面匯交力系平衡的必要和充分條件是：該力系的合力F等于零，由式（1-3）可得：
（1-4）
式（1-4）稱為平面匯交力系的平衡方程。由此平衡方程得出，平面匯交力系平衡的必要和充分條件是：力系中各力在x、y兩個坐標軸上投影的代數和分別等于零。
【例1-2】梁AB承受力F=10N，a=2m，方向如圖1-10所示，求支座A、B處的約束反力。
圖1-10 例題1-2附圖
解 ①取梁AB為研究對象。
②受力分析。主動力為F，A為固定鉸鏈支座約束，B為滾動鉸鏈支座約束，如圖1-10（b）所示。
③列平衡方程。
∑Fx=0 FAx-FBsin30°=0
∑Fy=0 FAy-F+FBcos30°=0
∑MA（Fi）=0 -Fa+FB2acos30°=0
解上述方程式，得：
FAx=2.9N FAy=5N FB=5.8N