2.2　隨機誤差

2.2.1　隨機誤差的正態分布性質

任何一次測量，隨機誤差的存在都是不可避免的。如對同一靜態物理量進行等精度重復測量，每一次測量所得的測定值各不相同，尤其是在各測定值的尾數上，總是存在差異，表現出不定的波動狀態。測定值的隨機性表明了測量誤差的隨機性質。

隨機誤差就其個體來說變化是無規律的，但在總體上卻遵循一定的統計規律。在對大量的隨機誤差進行統計分析后，可以總結出隨機誤差分布的如下幾點性質：

①有界性。在一定的測量條件下，測量的隨機誤差總是在一定的、相當窄的范圍內變動，絕對值很大的誤差出現的概率接近于零。也就是說，隨機誤差的絕對值實際上不會超過一定的界限。

②單峰性。隨機誤差具有分布上的單峰性。絕對值小的誤差出現的概率大，絕對值大的誤差出現的概率小，零誤差出現的概率比任何其他數值的誤差出現的概率都大。

③對稱性。大小相等、符號相反的隨機誤差出現的概率相同，其分布呈對稱性。

④抵償性。在等精度測量條件下，當測量次數趨于無窮大時，全部隨機誤差的算術平均值趨于零，即

　　（2.4）

理論和實踐都證明了：大多數測量的隨機誤差都服從正態分布的規律，其分布密度函數可用式（2.5）表示。

　　（2.5）

如果用測定值x本身來表示，則

（2.6）

式中，μ和σ是決定正態分布的兩個特征參數。μ代表被測參數的真值，完全由被測參數本身所決定。當測量次數趨于無窮大時，有

　　（2.7）

σ稱為均方根誤差，表示測定值在真值周圍的散布程度，由測量條件所決定。定義式為

　　（2.8）

μ和σ確定之后，正態分布就完全確定了。正態分布密度函數f（x）的曲線如圖2.1所示。由曲線可以看出：正態分布很好地反映了隨機誤差的分布規律。

應該指出，在測量技術中并非所有隨機誤差都服從正態分布，還存在著一些非正態分布（如均勻分布、反正弦分布等）的隨機誤差。由于大多數測量誤差服從正態分布，或可以由正態分布來代替，而且以正態分布為基礎可使得隨機誤差分析處理大為簡化，所以重點討論以正態分布為基礎的隨機誤差的分析和處理。

2.2.2　正態分布密度函數與概率積分

由式（2.6）可以看出，正態分布密度函數是一個曲線族，其參變量是特征參數μ和σ。在靜態條件下，被測量真值μ是一定的。σ的大小表征著諸測定值在真值周圍的彌散程度。不同σ值的正態分布密度曲線如圖2.2所示。由圖可見，σ值越小，曲線越尖銳，幅值越大；反之，σ值越大，幅值越小，曲線越趨于平坦。σ值小表明測量列中數值較小的誤差占優勢；σ值大則表明測量列中數值較大的誤差相對比較多。因此可用參數σ表征測量的精密度。σ越小，表明測量的精密度越高。σ與真誤差δ具有相同的量綱，因而把σ稱為均方根誤差。

隨機誤差出現的性質決定了人們不可能準確地獲得單個測量值的真誤差δi的數值，只能在一定的概率意義之下估計測量隨機誤差數值的范圍，或者求得誤差出現在某個區間的概率。