2.1　誤差的基本概念

2.1.1　測(cè)量誤差的定義

測(cè)量誤差就是測(cè)量結(jié)果與被測(cè)量的真值之差，可用式（2.1）表示。

　　（2.1）

式中　δ——測(cè)量誤差；

X——測(cè)量結(jié)果；

X0——真值。

上述表示方法也稱為絕對(duì)誤差表示法，通常絕對(duì)誤差簡稱誤差。

真值是在一定條件被測(cè)量的客觀實(shí)際值，是與被測(cè)量定義一致的量值，是被測(cè)量本身所具有的真實(shí)大小，只有通過完善的測(cè)量才能獲得。實(shí)際上，由于被測(cè)量的定義和測(cè)量都不可能完善，因而真值往往是未知的，真值只是一個(gè)理想的概念。

①理論真值。如三角形內(nèi)角和為180°，同一量值自身之比為1等。

②約定真值。是被承認(rèn)的或是約定的值，是真值的最佳估計(jì)值。如約定1kg為鉑銥合金的國際千克原器的質(zhì)量；約定1K是水處于三相點(diǎn)時(shí)溫度值的1/273.16等。此外，在給定地點(diǎn)由測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)所復(fù)現(xiàn)的量值可取作約定真值，如由各級(jí)計(jì)量機(jī)構(gòu)（國際、國家或省）確定了若干物理量的不同準(zhǔn)確度等級(jí)的標(biāo)準(zhǔn)。其中以國際標(biāo)準(zhǔn)或國家標(biāo)準(zhǔn)為各物理量的定值依據(jù)，用這些約定真值代替真值進(jìn)行量值傳遞和儀表的計(jì)量、校驗(yàn)，還可以用某量的多次測(cè)量結(jié)果確定約定真值。顯然，約定真值是具有不確定度的。

因?yàn)椋媒^對(duì)誤差難以比較不同測(cè)量值的準(zhǔn)確程度，因而采用相對(duì)誤差的表示形式。相對(duì)誤差為絕對(duì)誤差與真值之比，用百分率表示為

當(dāng)絕對(duì)誤差很小時(shí)可有以下近似表達(dá)式。

用符號(hào)表示為

　　（2.2）

在多擋和連續(xù)刻度的儀表中，因各擋示值和對(duì)應(yīng)真值均不同，這時(shí)若按式（2.2）計(jì)算相對(duì)誤差，所用分母也不一樣。為此，又定義了最大引用誤差，其分母一律取儀表量程L（即最大刻度值與最小刻度值之差）；其分子為在測(cè)量范圍內(nèi)產(chǎn)生的最大絕對(duì)誤差|δ|max，用qmax表示最大引用誤差。其表達(dá)式為

　　（2.3）

實(shí)際應(yīng)用時(shí)，常用最大引用誤差表示儀表的質(zhì)量，進(jìn)行準(zhǔn)確度分級(jí)。

2.1.2　誤差來源

分析誤差的來源是測(cè)量誤差分析的重要環(huán)節(jié)，只有了解誤差源才能消除或減少測(cè)量誤差。主要有以下幾種誤差源。

（1）設(shè)備裝置誤差

①標(biāo)準(zhǔn)器誤差。標(biāo)準(zhǔn)器即由各級(jí)計(jì)量機(jī)構(gòu)確定的提供標(biāo)準(zhǔn)量值的基準(zhǔn)器，如標(biāo)準(zhǔn)量塊、標(biāo)準(zhǔn)電池和活塞壓力計(jì)等，它們本身體現(xiàn)出來的量值，不可避免地含有誤差。這些誤差隨時(shí)間和空間位置變化的不均勻性也引起誤差，如激光波長的長期穩(wěn)定性和電池的老化等引起的誤差。

②儀器儀表誤差。儀器儀表是用來直接或間接地將被測(cè)量和測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)比較的設(shè)備。這些儀器儀表，如傳感器、記錄儀和電壓表等本身均具有誤差。由于工藝制造、加工和長期磨損而產(chǎn)生設(shè)備機(jī)構(gòu)誤差。

③輔助設(shè)備和附件誤差。儀器儀表或?yàn)闇y(cè)量創(chuàng)造必要條件的設(shè)備在使用時(shí)沒有調(diào)整到理想的正確狀態(tài)。此外，參與測(cè)量的各種輔助附件，如電源、導(dǎo)線和開關(guān)等也會(huì)引起誤差。

（2）環(huán)境誤差

由于各種環(huán)境因素與要求的標(biāo)準(zhǔn)狀態(tài)不一致，而引起測(cè)量裝置和被測(cè)量本身的變化所造成的誤差，如溫度、濕度、壓力、振動(dòng)（外界條件及測(cè)量人員引起的振動(dòng)）、照明（視差）、電磁場(chǎng)、重力加速度等所引起的誤差。通常儀器儀表在規(guī)定條件下使用產(chǎn)生的示值誤差稱為基本誤差，超出此條件使用引起的誤差稱為附加誤差。

（3）方法誤差

方法誤差有多種情況，如由于采用近似的測(cè)量方法而造成的誤差；又如測(cè)量圓軸直徑d采用測(cè)其圓周長S，然后用d=S/π計(jì)算的方法，由于π取值不同會(huì)引起誤差。由于測(cè)量方法錯(cuò)誤而引起的誤差，如測(cè)量儀表安裝和使用方法不正確。此外，還包括測(cè)量時(shí)所依據(jù)的原理不正確而產(chǎn)生的誤差。

（4）人員誤差

由于測(cè)量者受分辨能力的限制，因工作疲勞引起的視覺器官的生理變化、反應(yīng)速度及固有習(xí)慣引起的誤差，以及精神因素產(chǎn)生的一時(shí)疏忽所引起的誤差。

必須注意以上幾種誤差來源，有時(shí)是聯(lián)合作用的，在給出測(cè)量結(jié)果時(shí)要進(jìn)行全面分析，力求不遺漏、不重復(fù)，特別要注意對(duì)誤差影響較大的因素。

2.1.3　誤差的分類

 按照誤差的特點(diǎn)與性質(zhì)，誤差可分為系統(tǒng)誤差、隨機(jī)誤差和粗大誤差。

（1）系統(tǒng)誤差

系統(tǒng)誤差是被測(cè)量的數(shù)學(xué)期望與真值之差，其數(shù)學(xué)期望是指無限多次測(cè)量結(jié)果的平均值。它是在同一條件下（指測(cè)量程序、測(cè)量者、測(cè)量儀器和地點(diǎn)均相同的情況下，在短時(shí)間內(nèi)進(jìn)行的重復(fù)測(cè)量）多次重復(fù)測(cè)量同一量值時(shí)，誤差的絕對(duì)值和符號(hào)保持不變；或在條件改變時(shí)，按某一確定規(guī)律變化的誤差，表示測(cè)量結(jié)果偏離真值的程度。

（2）隨機(jī)誤差

隨機(jī)誤差是測(cè)量值與數(shù)學(xué)期望之差。它是在同一條件下多次測(cè)量同一量值時(shí)，誤差的絕對(duì)值和符號(hào)以不可預(yù)測(cè)的規(guī)律隨機(jī)變化的誤差，表示測(cè)量結(jié)果的分散程度。

因?yàn)閷?shí)際測(cè)量中不可能進(jìn)行無限多次，也不可能得到真值，因此，以上兩種誤差是定性的概念，不可能得到準(zhǔn)確值。

（3）粗大誤差

粗大誤差是明顯歪曲測(cè)量結(jié)果的誤差。它一般是由測(cè)量者主觀原因引起，如由于測(cè)量者的粗心大意、疲勞和缺乏經(jīng)驗(yàn)等而讀錯(cuò)、記錯(cuò)數(shù)據(jù)引起的誤差。此外，由于測(cè)量條件意外地改變，如機(jī)械沖擊、電源瞬時(shí)波動(dòng)等引起的誤差。含有粗大誤差的測(cè)量值稱為壞值或異常數(shù)值。正確的結(jié)果不應(yīng)包含粗大誤差，因而，處理數(shù)據(jù)時(shí)要把所有異常數(shù)值剔除。

必須注意系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差之間在一定條件下是可以相互轉(zhuǎn)化的。對(duì)某一具體誤差，在A條件下為系統(tǒng)誤差，而在B條件下可能為隨機(jī)誤差，反之亦然。如尺子的刻度誤差，對(duì)于制造尺子來說是隨機(jī)誤差；但將它作為基準(zhǔn)去測(cè)量某長度時(shí)，則刻度誤差就會(huì)造成測(cè)量結(jié)果的系統(tǒng)誤差。掌握誤差轉(zhuǎn)換的特點(diǎn)，在有些情況下可將系統(tǒng)誤差轉(zhuǎn)化為隨機(jī)誤差，用增加測(cè)量次數(shù)并進(jìn)行數(shù)據(jù)處理的方法減小誤差的影響；或者將隨機(jī)誤差轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)誤差，用修正的方法減小其影響。

2.1.4　測(cè)量的準(zhǔn)確度、精密度

為了反映不同性質(zhì)誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響，人們提出了準(zhǔn)確度和精密度的概念。

（1）準(zhǔn)確度

準(zhǔn)確度又稱精確度，表示測(cè)量結(jié)果與真實(shí)值接近的程度，簡稱為精度，反映系統(tǒng)誤差與隨機(jī)誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果綜合影響的程度。準(zhǔn)確度與誤差是反映測(cè)量結(jié)果真實(shí)性的兩個(gè)相輔相成的概念。誤差表示測(cè)量值偏離真值的程度，準(zhǔn)確度表示測(cè)量值接近真值的程度。它與誤差的大小相對(duì)應(yīng)，也是一個(gè)定性的概念。但實(shí)際應(yīng)用中人們需要用定量的概念來描述，以確定測(cè)量儀器示值接近真值的能力。這一描述常采用其他術(shù)語來定義，如準(zhǔn)確度等級(jí)、測(cè)量儀器的引用誤差等。

（2）精密度

精密度表示測(cè)量值重復(fù)一致的程度，反映了隨機(jī)誤差影響的程度，是一個(gè)定性的概念。隨機(jī)誤差越小，測(cè)量結(jié)果越精密。一般建議用重復(fù)性代替這一概念。