六、計算題

1假定某市場由高收入者H和低收入者L構成，他們的需求函數和收入分別為：

Q_HD＝50－P＋0.2Y_H；Y_H＝200

Q_LD＝60－2P＋0.3Y_L；Y_L＝80

（1）求市場需求函數Q_D＝Q_D（P）。

（2）當P＝6時，高收入者H和低收入者L的購買量各是多少？整個市場的銷售量又是多少？

（3）假定政府執行一項轉移支付政策，向高收入者H征稅20并全部支付給低收入者L。求市場需求函數。

（4）執行此項轉移支付政策后，當P＝6時，高收入者H和低收入者L的購買量又各是多少？整個市場的銷售量又是多少？

（5）比較以上（2）和（4）的結果，并分析政府此項執行轉移支付政策的效果。

解：（1）根據題意，高收入者H和低收入者L的需求函數分別為：

Q_HD＝50－P＋0.2×200＝90－P

Q_LD＝60－2P＋0.3×80＝84－2P

由此得市場需求函數為：Q_D＝Q_HD＋Q_LD＝（90－P）＋（84－2P），即：Q_D＝174－3P。

（2）方法一：當P＝6時，高收入者H和低收入者L的購買量分別為：Q_HD＝90－6＝84，Q_LD＝84－2×6＝72。故整個市場的銷售量為：Q_D＝Q_HD＋Q_LD＝84＋72＝156。

方法二：當P＝6時，整個市場的銷售量Q_D＝174－3P＝174－3×6＝156。

（3）當政府執行轉移支付政策后，高收入者H和低收入者L的需求函數分別為：

Q_HD′＝50－P＋0.2×（200－20）＝86－P，即Q_HD′＝86－P

Q_LD′＝60－2P＋0.3×（80＋20）＝90－2P，即Q_LD′＝90－2P

由此得市場需求函數為：Q_D′＝Q_HD′＋Q_LD′＝（86－P）＋（90－2P）＝176－3P，即Q_D′＝176－3P。

（4）方法一：執行此項轉移支付政策后，當P＝6時，高收入者H和低收入者L的購買量分別為：Q_HD′＝86－6＝80，Q_LD′＝90－2×6＝78。整個市場的銷售量為：Q_D′＝Q_HD′＋Q_LD′＝80＋78＝158。

方法二：執行此項轉移支付政策后，當P＝6時，整個市場的銷售量Q_D′＝176－3P＝176－3×6＝158。

（5）比較以上（2）和（4）的結果，可以發現，政府執行此項轉移支付政策后，高收入者H的購買量減少4（＝84－80）單位，而低收入者L的購買量增加6（＝78－72）單位。此外，整個市場的銷售量增加2（＝－4＋6）單位。

假定政府執行此項轉移支付政策的目的是為了縮小收入差距，提高低收入者的消費水平，并在一定程度上刺激整個市場的消費水平，那么，可以說該政策是有一定效果的。

2某地方蘋果價格從32美分提高到40美分，漲價后蘋果市場的均衡消費量減少12%，漲價后蘋果市場的均衡消費量為880萬公斤，試求需求的價格弧彈性。

解：由題設有P₁＝32，P₂＝40，Q₂＝880，Q₁＝880/（1－12%）＝880/88%＝1000。

根據需求的價格弧彈性定義，有：

因此，需求的價格弧彈性為0.57。

3已知消費者對某種商品的需求函數為Q＝100－2P，寫出相應的總收益函數和邊際收益函數。在什么價格水平上，需求價格彈性系數為1？

解：（1）由已知可得反需求函數為P＝（100－Q）/2，則可得：

總收益函數為：TR＝PQ＝Q（100－Q）/2＝50Q－0.5Q²；

邊際收益函數為：MR＝50－Q。

（2）由需求價格彈性定義公式有：e_d＝－（dQ/dP）×（P/Q）。

即：e_d＝－（－2）×[P/（100－2P）]＝1。

解得P＝25。故在價格水平為P＝25上，需求價格彈性系數為1。

4設某商品的需求價格彈性e_d＝2，并且當價格P＝1時，需求量Q＝10，求該商品的需求函數。

解：商品的需求價格彈性公式為：e_d＝－（dQ/dP）×（P/Q）＝2。

即：dQ/Q＝－2（dP/P）。

在方程兩邊積分，可得lnQ＝－2lnP＋lnC，整理可得Q＝CP^－2。

由于價格P＝1時商品需求量Q＝10，把有關參數代入商品需求函數可得C＝10，因此需求函數為Q＝10P^－2。

5試構造需求收入彈性為常數的一個需求函數。

解：設需求收入彈性為常數K，根據需求收入彈性公式得：e_m＝（dQ/dM）×（M/Q）＝K。

可得：dQ/Q＝K×（dM/M）。

在方程兩邊積分，可得lnQ＝KlnM＋C（C為任意常數），求解可得需求函數為Q＝M^Ke^C，C＝0時該函數為Q＝M^K。

6假定對應價格P與需求量Q的需求函數為P（Q），且連續、可微，利用數理方法說明需求價格彈性與收益的關系。

解：總收益函數為TR＝PQ，總收益對價格的導數為：dTR/dP＝Q＋P×（dQ/dP）＝Q（1－e_d）。

其中需求價格彈性為：e_d＝－（dQ/dP）×（P/Q）。

由該關系式可知：

（1）當需求價格彈性e_d＞1時，有dTR/dP＜0，從而總收益TR與商品價格P反方向變動。即當商品需求富有價格彈性時，降價會帶來總收益的增加，漲價反而會引起總收益的減少。

（2）當需求價格彈性e_d＜1時，有dTR/dP＞0，從而總收益TR與商品價格P同方向變動。即當商品需求缺乏價格彈性時，漲價會帶來總收益的增加，降價反而會引起總收益的減少。

（3）當需求價格彈性e_d＝1時，有dTR/dP＝0，從而商品價格P對收益TR沒有影響。即當商品的需求為單位價格彈性時，漲價和降價對廠商的總收益沒有影響。

（4）當需求價格彈性e_d＝0時，dTR/dP＝Q，從而總收益TR與商品價格P同比例變化。即當商品需求價格彈性為0時，廠商降價會使得總收益同比例于價格的下降而減少，漲價會使得總收益同比例于價格的上升而增加。

（5）當需求價格彈性e_d＝∞時，dTR/dP＝∞，商品價格P的微小變化會使總收益TR產生大幅度變化。即當商品需求彈性趨于無窮大時，在既定價格下，收益可以無限增加，因此，廠商不會降價，若漲價，則廠商的總收益會減少為零。

7若某商品的需求函數為

試求在價格P＝60的情況下，該商品的需求價格彈性，并說明對該商品應采取的漲價或降價的政策。

解：（1）當價格P＝60時，代入商品需求函數可得：

求解得到Q＝1600。

根據商品需求函數可得：Q＝（100－P）²，從而dQ/dP＝－2×（100－P）＝－80。

根據需求價格彈性的定義，有：e_d＝－（dQ/dP）×（P/Q）＝－（－80）×（60/1600）＝3。

即該商品的需求價格彈性e_d＝3。

（2）上述計算表明，在價格等于60的情況下，商品的需求價格彈性大于1。由于當需求價格彈性大于1時，商品銷售總收益與價格成反方向變動，因此需要對該商品采取降價政策，以便提高商品銷售收入。

8已知某商品的需求價格彈性系數為0.5，當價格為每公斤3.2元時，銷售量為1000公斤。若價格下降10%，銷售量是多少？該商品降價后，總收益是增加了還是減少了？增加或減少了多少？

解：（1）假設該商品價格P＝3.2元，銷售量Q＝1000公斤。若價格下降10%，即ΔP＝－0.32，把上述參數代入該商品的需求價格彈性系數公式，即：e_d＝－（ΔQ/ΔP）×（P/Q）＝0.5。

可得：－[ΔQ/（－0.32）]×（3.2/1000）＝0.5。

求解可得ΔQ＝50（公斤），即降價后的銷售量為1050公斤。

（2）該商品在價格為3.2元、銷售量為1000公斤的條件下，需求價格彈性系數為0.5，即價格下降1%、銷售量上升0.5%，表明銷售量的上升不足以彌補價格下降導致的總收益減少，因此降價后總收益減少了。

根據總收益公式可得，該商品降價前的總收益為：TR＝PQ＝3.2×1000＝3200（元）

降價后的總收益為：TR＝3.2×（1－10%）×1050＝3024（元）

因此商品降價導致的總收益減少為：3024－3200＝－176（元）。

9在某個市場上，需求方程為Q＝400－P，供給方程為Q＝P＋100。

（1）求均衡價格、均衡交易量和此時的需求價格彈性。

（2）若政府在消費者購買該商品時對每單位商品征收10元的消費稅，求新的均衡價格、均衡交易量和相應的需求價格彈性。

解：（1）當供給等于需求時，市場達到均衡，則有：400－P＝P＋100；

解得均衡價格為P＝150（元），從而均衡交易量為Q＝250。

根據需求價格彈性公式，此時的需求價格彈性為：e_d＝－（dQ/dP）×（P/Q）＝0.6。

（2）若政府在消費者購買該商品時對每單位商品征收10元的消費稅，則供給函數為：Q＝（P－10）＋100＝P＋90。需求函數不變，解得此時的均衡價格為P＝155（元），均衡交易量為Q＝245。

此時的需求價格彈性為：e_d＝－（dQ/dP）×（P/Q）≈0.63。

10已知某產品的需求函數為Q＝50－2P，供給函數為Q＝－25＋3P。

（1）求均衡點的需求價格彈性和供給價格彈性。

（2）如果政府對每單位產品征收5元的銷售稅，則買者與賣者各自承擔了多少稅額？

解：（1）聯立求解需求函數和供給函數，即：50－2P＝－25＋3P。

可得均衡價格和均衡產量分別為P＝15，Q＝20。根據需求價格彈性公式和供給價格彈性公式，代入有關參數可得：

e_d＝－（dQ/dP）×（P/Q）＝2×（15/20）＝1.5

e_s＝（dQ/dP）×（P/Q）＝3×（15/20）＝2.25

（2）消費者的稅收轉嫁因子為：2.25/（2.25＋1.5）＝0.6，政府對每單位產品征收5元銷售稅，則消費者承擔稅額為5×0.6＝3（元/每單位）；生產者承擔稅額為5－3＝2（元/每單位）。

11據估計，居民消費的電力需求的長期價格彈性為1.2。電力與天然氣需求的交叉彈性為0.2。如果長期中電力價格上升1%，天然氣的價格需要變化多少才能抵消電力價格上升對電力需求量的影響？

解：（1）由于電力需求的長期價格彈性為1.2，因此電力價格上升1%將使電力消費減少1.2%。

（2）由于電力與天然氣需求的交叉彈性為0.2，兩者又是替代品，因此天然氣的價格上升1%，將導致電力的消費量增加0.2%。所以，天然氣的價格只有上升6%，才能抵消電力價格上升而減少的電力消費1.2%。

12對某鋼鐵公司某種鋼的需求受到該種鋼的價格P_X、鋼的替代品鋁的價格P_Y以及收入M的影響，所估計的各種價格彈性如下：鋼需求的價格彈性e_d＝2.5；鋼需求對于鋁價格的交叉彈性e_XY＝2；鋼需求的收入彈性e_m＝1.5。下一年，該公司打算將鋼的價格提高8%。根據公司預測，明年收入將增加6%，鋁的價格將下降2%。

（1）如果該公司今年鋼的銷售量是24000噸。在給定以上條件下，該公司明年鋼的需求量是多少？

（2）如果該公司明年將鋼的銷售量仍維持在24000噸，在收入增加6%、鋁的價格下降2%的條件下，鋼鐵公司將把鋼的價格定在多高？

解：（1）根據題意，明年該種鋼的需求變動率為：ΔQ/Q＝－e_d×8%＋e_m×6%＋e_XY×（－2%）。

代入有關參數可得：ΔQ/Q＝－2.5×8%＋1.5×6%＋2×（－2%）＝－15%。

因此明年該種鋼的需求量為：Q_T＝24000×（1－15%）＝20400（噸）。

（2）若該公司明年將該種鋼的銷售量維持不變，即該種鋼的需求變動率為0，則有：0＝－e_d（ΔP/P）＋e_m×6%＋e_XY×（－2%），代入有關參數可得：0＝－2.5（ΔP/P）＋1.5×6%＋2×（－2%）。

求解可得ΔP/P＝2%，即公司將把該種鋼的價格提高2%。

13表2-1是B物品的價格（P_B）為8元和12元時A物品的需求表。

表2-1　A物品需求表

計算A物品為6、7、8三種價格時，A物品與B物品之間需求的交叉彈性e_AB，然后判斷A物品和B物品是互補品還是替代品？

解：根據需求交叉彈性公式：e_AB＝（ΔQ_A/Q_A）/（ΔP_B/P_B）。

則當P_A＝8時，需求交叉價格彈性為：e_AB＝（ΔQ_A/Q_A）/（ΔP_B/P_B）＝（2000/2000）/（4/8）＝2。

當P_A＝7時，需求交叉價格彈性為：e_AB＝（ΔQ_A/Q_A）/（ΔP_B/P_B）＝（2000/4000）/（4/8）＝1。

當P_A＝6時，需求交叉價格彈性為：e_AB＝（ΔQ_A/Q_A）/（ΔP_B/P_B）＝（2000/6000）/（4/8）＝2/3。

由于商品B價格的提高會導致商品A需求量的增加，且交叉價格彈性系數為正數，因此商品A和商品B互為替代品。

14假設某市場由個人1和個人2組成，他們對商品X的需求函數分別為：Q₁＝（P_y＋K₁R₁）/P_x，Q₂＝（K₂R₂）/P_x。其中，P_y為商品Y的價格，R₁、R₂為個人1、個人2的收入。

（1）求商品X的市場需求函數。

（2）計算對商品X的市場需求價格彈性，商品X和商品Y的需求交叉彈性。

（3）在個人1和個人2收入總和不變的條件下，通過收入再分配使得個人2的部分收入轉移到個人1，會對商品X的需求產生什么影響？

解：（1）商品X的市場需求為個人1和個人2對商品X的需求量加總之和，即：

Q_x＝Q₁＋Q₂＝（P_y＋K₁R₁）/P_x＋（K₂R₂）/P_x＝（P_y＋K₁R₁＋K₂R₂）/P_x

（2）根據商品X的市場需求函數可得：

dQ_x/dP_x＝－[（P_y＋K₁R₁＋K₂R₂）]/P_x²

dQ_x/dP_y＝1/P_x

根據需求價格彈性定義可得，商品X的市場需求函數為：

e_x＝－（dQ_x/dP_x）×（P_x/Q_x）＝1

根據需求交叉彈性定義可得，商品X和商品Y的需求交叉彈性為：

e_xy＝（dQ_x/dP_y）×（P_y/Q_x）＝P_y/（P_y＋K₁R₁＋K₂R₂）

（3）若個人2轉移到個人1的收入用ΔR≥0表示，那么收入再分配后，個人1、個人2的需求函數分別為：

Q₁¹＝[P_y＋K₁（R₁＋ΔR）]/P_x

Q₂¹＝K₂（R₂－ΔR）/P_x

商品X的市場需求為個人1和個人2對商品X的需求量加總之和，即：

Q_x¹＝Q₁¹＋Q₂¹＝[P_y＋K₁（R₁＋ΔR）]/P_x＋K₂（R₂－ΔR）/P_x＝Q_x＋ΔR（K₁－K₂）/P_x

收入再分配以后，商品X的市場需求變化為：

ΔQ_x＝Q_x¹－Q_x＝（K₁－K₂）ΔR/P_x

因此，當K₁＞K₂時，商品X的需求量增加；當K₁＝K₂時，商品X的需求量不變；當K₁＜K₂時，商品X的需求量減少。

15若一國糧食市場的需求函數為Q^d＝6－0.5P，供給函數為Q^s＝3＋P。為支持糧食生產，政府決定對糧食進行每千克0.5元的從量補貼（產量單位為億噸，價格單位為元/千克）。試問：

（1）實施補貼后，糧食的均衡價格和均衡產量分別是多少？

（2）每千克0.5元的補貼在生產者和消費者之間是如何分配的？

（3）補貼之后的財政支出增加額是多少？

解：（1）當政府對廠商進行補貼后，供給函數變為：Q^s＝3＋（P＋0.5）＝3.5＋P。

市場均衡條件為：Q^d＝Q^s，代入需求函數和供給函數可得：6－0.5P＝3.5＋P。

求解可得均衡價格和產量分別為：P＝5/3（元/千克），Q＝31/6（億噸）。

（2）假設無政府補貼，市場均衡條件為：6－0.5P＝3＋P。

求解可得均衡價格和均衡產量為：P＝2（元/千克），Q＝5（億噸）。

盡管政府補貼了廠商，但是消費者從中也可以得到好處。從兩個均衡價格的差價來看，消費者每千克糧食節省了1/3元，廠商每千克糧食多收1/6元。即在政府每千克0.5元的補貼中，消費者獲得了1/3元，廠商獲得了1/6元。

（3）補貼之后，政府財政支出的增加額為：（1/2）×（31/6）×1000≈2583（億元）。