六、計(jì)算題

1假定某消費(fèi)者的效用函數(shù)為U＝x^0.2y^0.8，P_x＝1，P_y＝4。如果給定效用水平為100，那么，該消費(fèi)者應(yīng)該如何選擇X、Y兩商品的需求數(shù)量x、y，才能使自己實(shí)現(xiàn)這一效用水平的支出最小化？相應(yīng)的最小支出又是多少？

解：根據(jù)消費(fèi)者的均衡條件MRS_xy＝P_x/P_y，其中MRS_xy＝MU_x/MU_y，可得：（0.2x^－0.8y^0.8）/（0.8x^0.2y^－0.2）＝1/4，整理得：x＝y(tǒng)。

將x＝y(tǒng)代入效用約束等式x^0.2y^0.8＝100，得：x＝100，y＝100。

將x＝100，y＝100代入目標(biāo)支出等式M＝x＋4y，得最小支出為：M＝1×100＋4×100＝500。

2某消費(fèi)者消費(fèi)兩種商品X和Y，假定無差異曲線在各點(diǎn)斜率的絕對值均為y/x，x、y為兩種商品的數(shù)量。

（1）說明每一種商品的需求數(shù)量均不取決于其他另一種商品的價(jià)格。

（2）每一種商品的需求價(jià)格彈性均等于1。

（3）每一種商品的需求收入彈性均等于1。

（4）每一種商品的恩格爾曲線的形狀如何？

解：（1）根據(jù)題意可得，該消費(fèi)者在效用最大化均衡點(diǎn)上有：MRS_xy＝y(tǒng)/x＝P_x/P_y。

整理得：y＝（P_x/P_y）x。

代入預(yù)算約束等式P_xx＋P_yy＝M，有：P_xx＋P_y（P_x/P_y）x＝M。

解得：x＝M/（2P_x）。

代入預(yù)算約束等式，得y＝M/（2P_y）。

由此可見，X商品的需求數(shù)量與Y商品的價(jià)格P_y無關(guān)，Y商品的需求數(shù)量與X商品的價(jià)格P_x無關(guān)。

（2）X商品和Y商品的需求的價(jià)格彈性分別為：

即每一種商品的需求價(jià)格彈性均等于1。

（3）X商品和Y商品的需求收入彈性分別為：

即X和Y商品的需求收入彈性均等于1。

（4）由X商品的需求函數(shù)x＝M/（2P_x），可得dx/dM＝1/（2P_x），即X商品的恩格爾曲線的斜率為1/（2P_x）；由Y商品的需求函數(shù)y＝M/（2P_y），可得dy/dM＝1/（2P_y），即Y商品的恩格爾曲線的斜率為1/（2P_y）。兩商品的恩格爾曲線的斜率均為正的常數(shù)。而且，當(dāng)收入為零時(shí)，兩商品的需求數(shù)量均為零。由此可見，X和Y商品的恩格爾曲線均為一條從原點(diǎn)出發(fā)且斜率為正的直線，即每一種商品均有一條從原點(diǎn)出發(fā)的斜率為正的線性恩格爾曲線。

3某消費(fèi)者的效用函數(shù)為U＝x²y，收入為20000元，x、y分別表示對商品X和Y的消費(fèi)量。他將全部收入購買X和Y兩種商品，這兩種商品的價(jià)格分別為P_X＝100，P_Y＝60。假定政府征收的個(gè)人所得稅稅率為10%，商品X的銷售稅稅率為20%，商品Y的銷售稅稅率為0。求該消費(fèi)者實(shí)現(xiàn)效用最大化時(shí)兩種商品的購買量。

解：根據(jù)題意，該消費(fèi)者的可支配收入為20000×（1－10%）＝18000。

購買兩商品實(shí)際支付的價(jià)格為：P_X＝100×（1＋20%）＝120；P_Y＝60。

于是，消費(fèi)者的預(yù)算約束等式為：120x＋60y＝18000。

整理得：y＝300－2x。

將上式預(yù)算約束條件代入效用函數(shù)，得：U＝x²y＝x²（300－2x）＝300x²－2x³。

效用最大化的一階條件為：dU/dx＝600x－6x²＝0。

由此求得：x＝100或者x＝0。

效用最大化的二階條件為：d²U/dx²＝600－12x。

當(dāng)x＝0時(shí)：d²U/dx²＝600＞0。

顯然x＝0不符合題意，故舍去；當(dāng)x＝100時(shí)，有：d²U/dx²＝600－12x＜0。

所以，x＝100是效用最大化的解。將x＝100代入預(yù)算約束等式得y＝100，則該消費(fèi)者實(shí)現(xiàn)效用最大化時(shí)商品X和Y的購買量都為100。

4已知某消費(fèi)者關(guān)于X、Y兩商品的效用函數(shù)為U＝x^0.5y^0.5，其中x、y分別為對商品X、Y的消費(fèi)量。

（1）求該效用函數(shù)的邊際替代率表達(dá)式。

（2）在總效用水平為6的無差異曲線上，若x＝3，求相應(yīng)的邊際替代率是多少？

（3）在總效用水平為6的無差異曲線上，若x＝4，求相應(yīng)的邊際替代率是多少？

（4）該無差異曲線的邊際替代率是遞減的嗎？

解：（1）根據(jù)題意，該效用函數(shù)的邊際替代率的表達(dá)式為：

MRS_xy＝MU_x/MU_y＝（0.5x^－0.5y^0.5）/（0.5x^0.5y^－0.5）＝y(tǒng)/x

（2）當(dāng)U＝x^0.5y^0.5＝6，x＝3時(shí)，則有y＝12。于是，該商品組合點(diǎn)（3，12）的邊際替代率為：

MRS_xy＝y(tǒng)/x＝12/3＝4

（3）當(dāng)U＝x^0.5y^0.5＝6，x＝4時(shí)，則有y＝9。于是，該商品組合點(diǎn)（4，9）的邊際替代率為：

MRS_xy＝y(tǒng)/x＝9/4＝2.25

（4）在無差異曲線上，當(dāng)商品組合由點(diǎn)（3，12）移動(dòng)到點(diǎn)（4，9）時(shí)，邊際替代率由4下降為2.25。顯然，該效用函數(shù)符合邊際替代率遞減規(guī)律。

5設(shè)某人消費(fèi)商品X和商品Y的無差異曲線為y＝80－3x^1/3，試問：

（1）組合（27，71）點(diǎn)的斜率是多少？

（2）組合（64，68）點(diǎn)的斜率是多少？

（3）MRS_xy是否有遞減的性質(zhì)？

解：根據(jù)無差異曲線方程y＝80－3x^1/3，可知其斜率為dy/dx＝－x^－2/3。

（1）當(dāng)x＝27時(shí)，由于斜率dy/dx＝－x^－2/3＝－1/9，故無差異曲線y＝80－3x^1/3在（27，71）點(diǎn)的斜率是－1/9，邊際替代率為1/9。

（2）當(dāng)x＝64時(shí)，由于斜率dy/dx＝－x^－2/3＝－1/16，故無差異曲線y＝80－3x^1/3在（64，68）點(diǎn)的斜率是－1/16，邊際替代率為1/16。

（3）點(diǎn)（27，71）的邊際替代率為1/9，而點(diǎn)（64，68）的邊際替代率為1/16，因而該無差異曲線存在邊際替代率遞減的可能性。且由于邊際替代率為MRS_xy＝－dy/dx＝x^－2/3，而邊際替代率的導(dǎo)數(shù)為（x^－2/3）′＝－2x^－5/3/3＜0，所以該無差異曲線存在邊際替代率MRS_xy遞減規(guī)律。

6某個(gè)學(xué)生即將參加研究生考試，現(xiàn)只有6天時(shí)間復(fù)習(xí)，每門課的復(fù)習(xí)時(shí)間與對應(yīng)的預(yù)期成績?nèi)绫?-1：

表3-1　每門課的復(fù)習(xí)時(shí)間與對應(yīng)的預(yù)期成績

問：為使三門課的預(yù)期成績總分最高，應(yīng)如何安排復(fù)習(xí)時(shí)間？并說明你的理由。

解：（1）為使三門課的預(yù)期成績總分最高，該學(xué)生應(yīng)用三天復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)，用兩天復(fù)習(xí)英語，用一天復(fù)習(xí)經(jīng)濟(jì)學(xué)。

（2）該題可以運(yùn)用消費(fèi)者效用最大化條件解答。在6天的時(shí)間預(yù)算約束下，為了使分?jǐn)?shù)最高，學(xué)生應(yīng)該選擇最優(yōu)的時(shí)間組合，使得三門功課的時(shí)間安排符合以下的條件：學(xué)生復(fù)習(xí)每一門功課最后一天的邊際分?jǐn)?shù)相等。該學(xué)生復(fù)習(xí)每門功課的邊際分?jǐn)?shù)如表3-2所示。

表3-2　復(fù)習(xí)每門功課的邊際分?jǐn)?shù)

所以，在用三天復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)，用兩天復(fù)習(xí)英語，用一天復(fù)習(xí)經(jīng)濟(jì)學(xué)時(shí)，每一門功課的邊際分?jǐn)?shù)都為10，這時(shí)的總分最高，為217分（＝75＋62＋80），其他的組合都不能達(dá)到這個(gè)分?jǐn)?shù)。

7設(shè)有一居民李四，其效用函數(shù)為U（x，y）＝x¹⁴y³⁴，其中，x為食品消費(fèi)量；y為其他商品消費(fèi)量。另外，該居民的收入為5000元，x與y的價(jià)格均為10元，請計(jì)算：

（1）該居民的最優(yōu)消費(fèi)組合。

（2）若政府提供該居民2000元的食品兌換券，此兌換券只能用于食品消費(fèi)，則該居民的消費(fèi)組合有何變化？

解：（1）李四的預(yù)算約束方程為：10x＋10y＝5000。

根據(jù)消費(fèi)者效用最大化的一階條件：MU₁/MU₂＝p₁/p₂。

其中，MU₁＝14x¹³y³⁴，MU₂＝34x¹⁴y³³。

將邊際效用函數(shù)和商品價(jià)格代入一階條件，可得：（14/34）（y/x）＝10/10。

將上式代入預(yù)算約束方程，可以得到：x＝875/6，y＝2125/6。

（2）政府提供2000元的食品兌換券，消費(fèi)者效用最大化時(shí)，食品消費(fèi)量不能低于200單位。

假設(shè)政府提供該居民2000元的食品兌換券為2000元現(xiàn)金，此時(shí)李四的預(yù)算約束方程為：7000＝10x＋10y。

則李四的最優(yōu)消費(fèi)組合為：x＝1225/6，y＝2975/6。

從李四的最優(yōu)消費(fèi)組合可知x＝1225/6＞200，即李四不僅消費(fèi)了2000元的食品兌換券，還花費(fèi)125/3單位收入用于食品消費(fèi)。因此，x＝1225/6，y＝2975/6為政府提供了2000元食品兌換券后的最優(yōu)消費(fèi)組合。

8假設(shè)一個(gè)消費(fèi)者的效用函數(shù)為：U（x₁，x₂）＝x₁²x₂，其中，x₁為食品的消費(fèi)量；x₂表示所有其他商品的消費(fèi)量。假設(shè)食品的價(jià)格為p₁，所有其他商品的價(jià)格為p₂，消費(fèi)者的收入為m元。

（1）求最優(yōu)的食品需求量。食品對該消費(fèi)者來說是低檔物品嗎？食品對消費(fèi)者來說是吉芬商品嗎？

（2）在許多國家，窮人的食品消費(fèi)會(huì)得到政府的補(bǔ)貼，常見的補(bǔ)貼辦法是政府向窮人出售食品券。當(dāng)然，食品券的價(jià)格要低于食品的市場價(jià)格。假如我們這里考慮的消費(fèi)者是一個(gè)受補(bǔ)貼的窮人，食品券的價(jià)格為p₁^s＝1，而食品的市場價(jià)格為p₁＝2，所有其他商品的價(jià)格被標(biāo)準(zhǔn)化為p₂＝1，消費(fèi)者的收入為m＝150。在得到補(bǔ)貼后，消費(fèi)者的消費(fèi)行為會(huì)發(fā)生怎樣的變化？

解：（1）消費(fèi)者最優(yōu)選擇條件為：MU₁/MU₂＝p₁/p₂。

其中，MU₁＝2x₁x₂，MU₂＝x₁²。

由此，可以得到：p₁x₁＝2p₂x₂，再聯(lián)立消費(fèi)者預(yù)算約束：p₁x₁＋p₂x₂＝m。

可以得到：x₁＝2m/（3p₁），x₂＝m/（3p₂）。

由于：dx₁/dp₁＝－2m/（3p₁²）＜0。

因此食品對消費(fèi)者來說不是吉芬商品；

由于：dx₁/dm＝2/（3p₁）＞0。

因此食品對消費(fèi)者來說不是低檔物品。

（2）在政府補(bǔ)貼前，消費(fèi)者的預(yù)算約束方程為：150＝2x₁＋x₂。

消費(fèi)者的最優(yōu)消費(fèi)組合為：x₁^*＝（2×150）/（3×2）＝50，x₂^*＝150/（3×1）＝50。

在政府補(bǔ)貼后，消費(fèi)者的預(yù)算約束方程為：150＝x₁＋x₂。

消費(fèi)者的最優(yōu)消費(fèi)組合為：x₁^*＝（2×150）/（3×1）＝100，x₂^*＝150/（3×1）＝50。

因此，政府補(bǔ)貼后消費(fèi)者對食品的消費(fèi)由50上升到100，對其他消費(fèi)品的消費(fèi)保持不變。

9已知效用函數(shù)為：U（x，y）＝alnx＋blny，若收入為m，商品X和商品Y的價(jià)格分別為p_x、p_y，求：

（1）兩種商品的需求函數(shù)。

（2）當(dāng)p_x＝1，p_y＝2，m＝120時(shí)，求邊際替代率，并求出此時(shí)商品X和商品Y的需求價(jià)格彈性及收入彈性。

解：（1）消費(fèi)者效用最大化問題為：

構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：L（x，y，λ）＝alnx＋blny＋λ（m－p_xx－p_yy）。

一階條件為：

?L/?x＝a/x－λp_x＝0

?L/?y＝b/y－λp_y＝0

?L/?λ＝m－p_xx－p_yy＝0

聯(lián)立求解可得商品X與商品Y的需求函數(shù)分別為：x＝am/[（a＋b）p_x]，y＝bm/[（a＋b）p_y]。

（2）商品X對商品Y的邊際替代率為：MRS_xy＝MU_x/MU_y＝p_x/p_y＝1/2。

商品X的需求價(jià)格彈性為：

商品X的收入彈性為：e_m＝（dx/dm）×（m/x）＝1。

同理，可以得到商品Y的需求價(jià)格彈性e_y＝1，商品Y的收入彈性e_m＝1。

10某人僅消費(fèi)商品x和商品y兩種商品，其效用函數(shù)為：U＝50x－0.5x²＋100y－y²＋100，其收入I＝672，P_x＝4。

（1）推導(dǎo)出此人對商品y的需求函數(shù)。

（2）如果P_y＝14，此人將消費(fèi)多少商品x？

（3）在均衡狀態(tài)下，計(jì)算此人對商品x的需求收入點(diǎn)彈性e_i。

解：（1）由效用函數(shù)U＝50x－0.5x²＋100y－y²＋100，可得商品x的邊際效用為：MU_x＝－x＋50；商品y的邊際效用為：MU_y＝－2y＋100。

消費(fèi)者效用的最大化條件為：MU_x/MU_y＝p_x/p_y。

代入有關(guān)參數(shù)可得：（50－x）/（100－2y）＝4/P_y。

將約束條件4x＋P_yy＝672代入均衡條件，推導(dǎo)出此人對y的需求函數(shù)為：y＝（1600＋427P_y）/（P_y²＋32）。

（2）如果將P_y＝14代入均衡條件，可得：（50－x）/（100－2y）＝4/14＝2/7。

化簡得：7x－4y＝150，把約束條件4x＋14y＝672代入，求得此人將消費(fèi)商品x的數(shù)量為：x＝42。

（3）由于在均衡狀態(tài)下，x和y兩種商品的消費(fèi)量滿足7x－4y＝150。

代入約束條件：4x＋14y＝I，可得：x＝2I/57＋350/19。

所以此人對商品x的需求收入點(diǎn)彈性為：e_i＝（dx/dI）×（I/x）＝2/57×672/42≈0.56。

11已知效用函數(shù)為：U（x₁，x₂）＝（x₁^ρ＋x₂^ρ）^1/ρ，0≠ρ＜1，求需求函數(shù)x_i＝f（p₁，p₂，y），其中，p_i，y分別為常量的價(jià)格和收入，i＝1，2。

解：消費(fèi)者效用最大化問題為：

構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：L（x₁，x₂，λ）＝（x₁^ρ＋x₂^ρ）^1/ρ＋λ（y－p₁x₁－p₂x₂）。

效用最大化的一階條件為：

?L/?x₁＝（1/ρ）×（x₁^ρ＋x₂^ρ）^{1/（ρ－1）}×ρx₁^（ρ－1）－λp₁＝0

?L/?x₂＝（1/ρ）×（x₁^ρ＋x₂^ρ）^{1/（ρ－1）}×ρx₂^（ρ－1）－λp₂＝0

?L/?λ＝y(tǒng)－p₁x₁－p₂x₂＝0

則消費(fèi)者的需求函數(shù)分別為：

x₁＝（yp₁^（ρ－1））/（p₁^ρ＋p₂^ρ）

x₂＝（yp₂^（ρ－1））/（p₁^ρ＋p₂^ρ）

λ＝ρ/（ρ－1）

12假定某消費(fèi)者的效用函數(shù)U＝xy，商品X和商品Y的價(jià)格分別為p_x＝p_y＝2，收入m＝40元。

（1）該消費(fèi)者的均衡購買量是多少？最大的效用是多少？

（2）若p_y降為1，替代效應(yīng)使其購買的兩種商品數(shù)量變?yōu)槎嗌伲渴杖胄?yīng)使其購買的兩種商品數(shù)量變?yōu)槎嗌伲?/p>

解：（1）消費(fèi)者效用最大化問題為：

構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：L（x，y）＝xy＋λ（40－2x－2y）。

效用最大化的一階條件為：

?L/?x＝y(tǒng)－2λ＝0

?L/?y＝x－2λ＝0

?L/?λ＝40－2x－2y＝0

解得：x＝y(tǒng)＝10，可得最大效用為：U＝xy＝100。

（2）商品Y降價(jià)后的效用最大化問題變?yōu)椋?/p>

求解可得：x＝10，y＝20，即商品Y價(jià)格下降后對商品X和商品Y購買量的總效應(yīng)增大。

替代效應(yīng)是指消費(fèi)者效用保持100不變的條件下，商品Y的價(jià)格下降導(dǎo)致商品Y的消費(fèi)量的變化，即：

求解可得：

因此，替代效應(yīng)使商品Y的消費(fèi)量增加：

使商品X的消費(fèi)量減少：

收入效應(yīng)使商品Y的消費(fèi)量增加：

使商品X的消費(fèi)量增加：

13已知某君每月收入120元，全部花費(fèi)于商品X和商品Y兩種商品，他的效用函數(shù)U＝xy，商品X的價(jià)格是2元，商品Y的價(jià)格為3元。求：

（1）為使獲得的效用最大，他購買的商品X和商品Y各為多少？

（2）貨幣的邊際效用和他獲得的總效用各為多少？

（3）假如商品X的價(jià)格提高44%，商品Y的價(jià)格不變，為使他保持原有的效用水平，其收入必須增加多少？

（4）假如某君原有的消費(fèi)品組合恰好代表全社會(huì)的平均數(shù)，因而他原來的購買可作為消費(fèi)品價(jià)格指數(shù)的加權(quán)數(shù)，當(dāng)商品X的價(jià)格提高44%時(shí)，消費(fèi)品價(jià)格指數(shù)提高多少？

（5）為使他保持原有效用水平，他的收入必須提高多少個(gè)百分比？

（6）你關(guān)于（4）和（5）的答案是否相同？假如不同，請解釋為什么某君的效用水平能保持不變。

解：（1）由效用函數(shù)U＝xy可得：?U/?x＝?（xy）/?x＝y(tǒng)，?U/?y＝?（xy）/?y＝x。

商品X和商品Y的價(jià)格分別為p_x＝2，p_y＝3，代入消費(fèi)者效用最大化條件：MU_x/p_x＝MU_y/p_y。

可得：y/2＝x/3，代入消費(fèi)者預(yù)算方程2x＋3y＝120，求解可得：x＝30，y＝20。

因此，為使消費(fèi)者獲得最大效用，他應(yīng)購買30單位的商品X和20單位的商品Y。

（2）由于商品X的邊際效用為：MU_x＝?U/?x＝y(tǒng)＝20。

商品X的價(jià)格為p_x＝2，因此，貨幣的邊際效用為：λ＝MU_x/p_x＝y(tǒng)/p_x＝20/2＝10。

總效用為：TU＝xy＝30×20＝600。

（3）現(xiàn)在，商品X的價(jià)格為：p_x＝2＋2×44%＝2.88。

代入消費(fèi)者效用最大化條件MU_x/p_x＝MU_y/p_y可得：y/2.88＝x/3。

而消費(fèi)者的效用水平保持不變，為U＝xy＝600，求解可得：x＝25，y＝24。

將x＝25，y＝24代入預(yù)算方程，可得該消費(fèi)者應(yīng)該擁有的收入為：M＝p_xx＋p_yy＝2.88×25＋3×24＝144（元）。

收入增加為：ΔM＝144－120＝24（元），因此，為保持原有的效用水平，收入必須增加24元。

（4）消費(fèi)品價(jià)格指數(shù)提高的百分率為價(jià)格指數(shù)增加額與原有價(jià)格指數(shù)之比，代入有關(guān)參數(shù)可得：

[（30×2.88＋20×3）－（30×2＋20×3）]/（30×2＋20×3）＝22%

（5）消費(fèi)者收入提高的百分率為24/120＝20%。

（6）消費(fèi)品價(jià)格指數(shù)提高22%，而收入提高20%，兩者明顯不同。因?yàn)樯唐稾的價(jià)格提高了44%，在商品Y的價(jià)格不變的情況下，為取得同樣的效用，均衡購買量發(fā)生了變化。一方面，商品X的購買量從30降為25，因而減少的支出為：2.88×（30－25）＝14.4（元）。

另一方面，商品Y的購買量從20增加到24，因而增加的支出為：3×（24－20）＝12（元）。

兩者相抵，凈節(jié)省2.4元（＝14.4－12），占原有收入120元的2%。因此，當(dāng)價(jià)格指數(shù)提高22%時(shí)，收入只需要提高20%就夠了。

14若消費(fèi)者效用函數(shù)U＝x^ry，r＞0，那么收入-消費(fèi)曲線是一條直線。

解：收入-消費(fèi)曲線是在商品價(jià)格和消費(fèi)者偏好不變的情況下，隨著消費(fèi)者收入變動(dòng)，無差異曲線和預(yù)算線切點(diǎn)的軌跡，它經(jīng)過原點(diǎn)。設(shè)商品X的價(jià)格為p_x，商品Y的價(jià)格為p_y。

對于效用函數(shù)U＝x^ry，邊際效用分別為：?U/?x＝rx^r－1y，?U/?y＝x^r。

代入效用最大化條件MU_x/p_x＝MU_y/p_y，可得：rx^r－1y/p_x＝x^r/p_y，變形整理得：y/x＝p_x/（rp_y）。

由于p_x、p_y是固定不變的，r為常數(shù)，且r＞0，故p_x/（rp_y）是一個(gè)大于零的常數(shù)。因此，y/x是大于零的常數(shù)。又因?yàn)槭杖?消費(fèi)曲線過原點(diǎn)，所以y/x就是曲線的斜率，而y/x又是大于零的常數(shù)。因此，該消費(fèi)者的收入-消費(fèi)曲線是一條過原點(diǎn)且向右上方傾斜的直線。

15設(shè)某消費(fèi)者的效用函數(shù)U＝f（m）＝3m^δ（1＜δ），這里的m代表貨幣量。如果他在一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)中，有20%的幾率獲得200元，有80%的幾率獲得75元，抽獎(jiǎng)的費(fèi)用為100元，試問他會(huì)不會(huì)參加這一活動(dòng)？

解：根據(jù)消費(fèi)者的效用函數(shù)U＝f（m）＝3m^δ（1＜δ），可得：MU＝3δm^δ－1，dMU/dm＝3δ（δ－1）m^δ－2＞0。

因此此人是風(fēng)險(xiǎn)偏好者。

抽獎(jiǎng)活動(dòng)的期望收入為100元（＝0.2×200＋0.8×75）。而抽獎(jiǎng)的費(fèi)用也為100元，對于風(fēng)險(xiǎn)偏好者來說，確定性的100元的效用小于有風(fēng)險(xiǎn)的100元，所以他會(huì)參加抽獎(jiǎng)。

16某消費(fèi)者的效用函數(shù)U＝0.5＋R²。其中，U為效用，R為收益（千元）。他有1萬元錢，如果存在銀行里，年利率為2%；如果全部投資于股票，估計(jì)一年中有40%的概率獲得8000元的投資收益，有60%的概率損失5000元。

（1）該消費(fèi)者是風(fēng)險(xiǎn)偏好者、風(fēng)險(xiǎn)厭惡者還是風(fēng)險(xiǎn)中性者？

（2）他是否會(huì)選擇投資股票？

（3）如果投資股票，他的效用是多少？

解：（1）因?yàn)閐²U/dR²＝2＞0，該消費(fèi)者的效用函數(shù)為是嚴(yán)格向下凸出的，所以他是風(fēng)險(xiǎn)偏好者。

（2）該消費(fèi)者是將1萬元投資于股票還是存銀行取決于哪種投資渠道帶來的效用更大，如果該消費(fèi)者把1萬元存銀行，得到投資收益200元（＝10000×2%），此時(shí)的效用為0.5＋10.2²＝104.54；如果該消費(fèi)者把1萬元都投資于股票，期望效用為0.4×（0.5＋18²）＋0.6×（0.5＋5²）＝145.1＞104.54，因此該消費(fèi)者會(huì)選擇投資股票。

（3）該消費(fèi)者投資于股票的期望效用為145.1。