五、證明題

1設消費者所消費的兩種商品組合集U⁰（Q_i⁰，Q_j⁰）和U¹（Q_i¹，Q_j¹）分別代表兩個不同的效用總量U⁰和U¹（亦即U⁰≠U¹）。求證：這兩種組合集所描出的無差異曲線U⁰和U¹在平面（i，j）上不相交。

證明：假設這兩種組合集所描述的無差異曲線U⁰和U¹在平面（i，j）上相交，交點為E點，如圖3-7所示。E點對應的兩種商品的消費量分別為Q_i^E和Q_j^E。

根據無差異曲線的定義，由無差異曲線U⁰可得E、F兩點的效用水平是相等的，由無差異曲線U¹可得E、H兩點的效用水平是相等的。因此，根據偏好可傳遞性的假定，必定有F和H這兩點的效用水平是相等的。但是，觀察和比較圖中F和H這兩點的商品組合，可以發現H組合中每一種商品的數量都多于F組合。因此，根據偏好的非飽和性假定，必定有H點的效用水平大于F點的效用水平。

圖3-7　任意兩條無差異曲線不能相交

此時產生矛盾：該消費者在認為F點和H點無差異的同時，又認為H點要優于F點，這就違背了偏好的完全性假定。由此證明：對于任何一個消費者來說，兩條無差異曲線相交是錯誤的。所以，這兩種組合集所描出的無差異曲線U⁰和U¹在平面（i，j）上不相交。

2證明：如果某消費者對商品X₁和商品X₂的效用函數為：U（X₁，X₂）＝10（X₁²＋2X₁X₂＋X₂²）－50，則對該消費者來說，商品X₁和商品X₂之間存在完全替代的特性。

證明：完全替代品是指消費者愿意以固定比例用一種商品替代另一種商品。在完全替代情況下，商品的邊際替代率為非零的常數，無差異曲線是一條直線。存在完全替代時，消費者對商品相對價格的變動非常敏感，一般會購買價格較低的那種商品。

商品的邊際替代率可以表示為：MRS₁₂＝－ΔX₂/ΔX₁＝MU₁/MU₂。

根據已知的效用函數可知，商品X₁、X₂的邊際效用分別為：

MU₁＝?U/?X₁＝20（X₁＋X₂）

MU₂＝?U/?X₂＝20（X₁＋X₂）

因此，該消費者消費商品X₁、X₂的邊際替代率為：MRS₁₂＝MU₁/MU₂＝[20（X₁＋X₂）]/[20（X₁＋X₂）]＝1。

由于商品X₁、X₂的邊際替代率為1，因此，對該消費者來說，商品X₁和商品X₂之間存在完全替代的特性。

3證明：如果預算線給定，一條無差異曲線U（Q_x，Q_y）與其相切。試證明，切點E的坐標為最優商品組合，切點E為消費者均衡點。

證明：如圖3-8所示，不妨假設預算線AB的斜率為－1，切點E的坐標為（Q_x，Q_y）。由于E點為U（Q_x，Q_y）與AB線的切點，所以在E點有MRS_xy＝P_x/P_y，而在E點左上方有MRS_xy＞P_x/P_y，E點右下方有MRS_xy＜P_x/P_y，其中，P_x/P_y＝1。

圖3-8　消費者最優選擇

（1）在E點左上方的a點與U（Q_x，Q_y）沒有交點和切點，只與U′（Q_x，Q_y）有交點a。由圖3-8可知，在a點有MRS_xy＞P_x/P_y。

設MRS_xy＝1/0.5＞P_x/P_y＝1，則從不等式右邊看，在市場上，消費者減少消費1單位Y可獲得1單位X；從不等式左邊看，依消費者意愿，他減少消費1單位Y，只需多消費0.5單位X，即可保持原有的滿足程度。這樣，消費者如果少消費1單位Y、多消費1單位X，就可用X彌補少消費Y的損失后還額外多獲得0.5單位X的效用，因而總效用增加。這時，理性的消費者一定會再多購買X、少購買Y。可見，a點不是最優組合。

（2）在E點右下方的b點與U（Q_x，Q_y）沒有交點和切點，只與U′（Q_x，Q_y）有交點b。

在b點處，可得：MRS_xy＜P_x/P_y。設MRS_xy＝0.5/1＜P_x/P_y＝1，此時，從不等式右邊看，在市場上，消費者減少消費1單位X可獲得1單位Y；從不等式左邊看，依消費者意愿，他減少消費1單位X，只需多消費0.5單位Y，即可保持原有的滿足程度。這樣，消費者如果少消費1單位X、多消費1單位Y，就可用Y彌補了少消費X的損失后還額外多獲得0.5單位Y的效用，因而總效用增加。這時，理性的消費者一定會多購買Y、少購買X。可見，b點也不是最優組合。

可見，E點左上方、右下方都沒有最優商品組合點，所以E點本身就是最優商品組合點。由于E點是消費者效用最大點，并且在預算線上，所以E點就是消費者均衡點。

4已知消費者對兩種商品q₁和q₂的效用函數為：U＝q₁q₂，預算約束方程為：y＝p₁q₁＋p₂q₂，其中，y為消費者的收入；p₁、p₂分別為兩種商品量q₁和q₂的市場價格。求證：在效用最大化條件下，消費者對這兩種商品的需求函數分別為q₁＝y/（2p₁）和q₂＝y/（2p₂）。

證明：消費者效用最大化的一階條件為：MU₁/MU₂＝p₁/p₂。其中，MU₁＝q₂，MU₂＝q₁。

將邊際效用函數代入一階條件，可得：q₂/q₁＝p₁/p₂。

將上式代入預算約束方程，可得：q₁＝y/（2p₁），q₂＝y/（2p₂）。