第3章　非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

3.1　 復(fù)習(xí)筆記

按照過程進(jìn)行的特點(diǎn)，非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程可以分為周期性的和瞬態(tài)的兩大類。

一、非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程的類型和特點(diǎn)

非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱是指物體的溫度隨時(shí)間而變化的導(dǎo)熱過程。

1．瞬態(tài)非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程的特點(diǎn)

圖3-1 瞬態(tài)導(dǎo)熱的基本概念

物體的加熱或冷卻過程中溫度分布的變化可以劃分為三個(gè)階段。

（1）非正規(guī)狀況階段

溫度變化從邊界面逐漸地深入到物體內(nèi)部，此時(shí)物體內(nèi)各處溫度隨時(shí)間的變化率是不一樣的，溫度分布受初始溫度分布的影響很大。

（2）正規(guī)狀況階段

隨著時(shí)間的推移，初始溫度分布的影響逐漸消失，此時(shí)物體內(nèi)各處溫度隨時(shí)間的變化率具有一定的規(guī)律。

（3）建立新的穩(wěn)態(tài)階段

在理論上需要經(jīng)過無限長的時(shí)間才能達(dá)到，事實(shí)上經(jīng)過一段長時(shí)間后，物體各處的溫度就可近似地認(rèn)為已達(dá)到新的穩(wěn)態(tài)。

2．周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的特點(diǎn)

（1）物體內(nèi)各處的溫度按一定的振幅隨時(shí)間周期地波動(dòng)；

（2）同一時(shí)刻物體內(nèi)的溫度分布也是振蕩變化的。

圖3-2 周期性導(dǎo)熱的基本概念及特點(diǎn)

二、無限大平壁的瞬態(tài)導(dǎo)熱

1．加熱或冷卻過程的分析解法

如圖3-3所示，這是一維瞬態(tài)導(dǎo)熱問題。

圖3-3 第三類邊界條件下的瞬態(tài)導(dǎo)熱

（1）導(dǎo)熱微分方程式

（2）初始條件及邊界條件

引入新的變量，稱為過余溫度。

（3）特征方程

當(dāng)Bi→∞時(shí)，特征值為

當(dāng)Bi→0時(shí)，特征值為β₁＝0，β₂＝π，β₃＝2π，…β_n＝（n－1）π。

（4）第三類邊界條件下無限大平壁冷卻時(shí)壁內(nèi)的溫度分布

（5）傅里葉準(zhǔn)則

上式中是一個(gè)無量綱參數(shù)用符號(hào)Fo表示，稱為傅里葉準(zhǔn)則，它是非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程的無量綱時(shí)間。

2．正規(guī)狀況階段—Fo準(zhǔn)則對(duì)溫度分布的影響

（1）當(dāng)Fo≥0.2時(shí)，用級(jí)數(shù)的第一項(xiàng)來描述無量綱溫度，即

（2）當(dāng)Fo＜0.2時(shí)

（3）經(jīng)過τ小時(shí)每平方米平壁在冷卻過程中放出的熱量

（4）冷卻率

①冷卻率的定義

m稱為冷卻率（或加熱率），是過余溫度對(duì)時(shí)間的相對(duì)變化率。

②冷卻率的影響因素

在進(jìn)入正常情況以后，即Fo≥0.2，冷卻率m僅取決于物體的熱物性參數(shù)、形狀和尺寸以及物體表面的邊界條件。

3．集總參數(shù)法—Bi準(zhǔn)則對(duì)溫度分布的影響

（1）畢渥準(zhǔn)則

它表示物體內(nèi)部導(dǎo)熱熱阻與物體表面對(duì)流傳熱熱阻的比值。

（2）Bi準(zhǔn)則對(duì)無限大平壁溫度分布的影響

①當(dāng)Bi→∞時(shí)意味著表面?zhèn)鳠嵯禂?shù)趨于無限大，亦即對(duì)流傳熱的熱阻趨于零，這時(shí)平壁的表面溫度幾乎從冷卻過程一開始立即降低到等于流體的溫度t_f，即，平壁內(nèi)的溫度分布如圖3-4（a）所示。

②當(dāng)0＜Bi＜∞時(shí)，平壁內(nèi)溫度分布如圖3-4（b）所示。

③當(dāng)Bi→0時(shí)意味著物體的導(dǎo)熱熱阻趨于零，這時(shí)物體內(nèi)的溫度分布趨于均勻一致，如圖3-4（c）所示。

圖3-4 Bi準(zhǔn)則對(duì)無限大平壁溫度分布的影響

（3）集總參數(shù)法

①定義

當(dāng)Bi＜0.1時(shí)，可以近似地認(rèn)為物體的溫度是均勻的，這種忽略物體內(nèi)部導(dǎo)熱熱阻，認(rèn)為物體溫度均勻一致的分析方法稱為集總參數(shù)法。

②推導(dǎo)過程

根據(jù)物體冷卻過程的熱平衡關(guān)系可寫出

積分整理可得

式中V／A具有長度的量綱，用符號(hào)L表示，稱為定型尺寸。這樣

故θ＝θ₀exp（－BiFo）。

由上式可知，采用集總參數(shù)法分析時(shí)，物體中的過余溫度隨時(shí)間按指數(shù)曲線變化。

（4）時(shí)間常數(shù)

上述計(jì)算中ρcV/（hA）具有時(shí)間的量綱，稱為時(shí)間常數(shù)。時(shí)間常數(shù)的數(shù)值越小表示測溫元件越能迅速地反映流體的溫度變化。

三、半無限大物體的瞬態(tài)導(dǎo)熱

1．半無限大物體的定義

半無限大物體是指以無限大的yz平面為界面，在正x方向伸延至無窮遠(yuǎn)的物體。

2．半無限大物體瞬態(tài)導(dǎo)熱的計(jì)算

（1）第一類邊界條件

①溫度變化的微分方程和單值性條件可表示如下

②半無限大物體內(nèi)溫度場分布

式中，。

（2）第二類邊界條件

①在常熱流密度作用下，非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱過程的微分方程和單值性條件可表示如下

②半無限大物體內(nèi)的熱流密度

③半無限大物體內(nèi)的溫度分布

有上述可知，在表面熱流密度q_w作用下，半無限大物體的表面溫度在加熱過程中隨時(shí)間的增加而增大；半無限大物體中的溫度變化在某一厚度范圍內(nèi)比較明顯。

3．滲透厚度

δ（τ）稱為滲透厚度，它反映在所考慮的時(shí)間范圍內(nèi)，界面上熱作用的影響所波及的厚度，它是隨時(shí)間而變化的。

4．ierfc（u）

ierfc（u）是高斯誤差補(bǔ)函數(shù)的一次積分，當(dāng)x＝0時(shí)，，第二類邊界條件下半無限大物體表面溫度為

可改寫為

則

四、其他形狀物體的瞬態(tài)導(dǎo)熱

1．無限長圓柱體和球體

（1）溫度分布函數(shù)

（1）熱量

第三類邊界條件下，無限長圓柱體初始溫度變化到等于周圍流體溫度時(shí)所吸收或放出的熱量

（2）定型尺寸

對(duì)于無限長圓柱體和球體，F(xiàn)o≥0.2時(shí)，它們的加熱或冷卻過程進(jìn)入正常情況階段；當(dāng)Bi＜0.1時(shí)，可以采用集總參數(shù)法分析。

①對(duì)于無限大平壁，F(xiàn)o和Bi準(zhǔn)則中的定型尺寸采用半壁厚δ；

②對(duì)于無限長圓柱體和球體，F(xiàn)o和Bi準(zhǔn)則中的定型尺寸采用半徑R；

③對(duì)于其他不規(guī)則形狀物體，F(xiàn)o和Bi準(zhǔn)則中的定型尺寸采用L＝V／A。

2．無限長直角柱體、有限長圓柱體和六面體

（1）無限長直角柱體

無限長直角柱體的過余溫度場是厚度為2δ_x和厚度2δ_y兩塊無限大平壁過余溫度場的乘積，即

（2）有限長圓柱體

對(duì)長度為2l和直徑為2R的短圓柱體，把它看成是直徑為2R的無限長圓柱體和厚度為2l的無限大平壁垂直相交得到。短圓柱體的溫度分布可表述為

（3）六面體

邊長為2δ_x、2δ_y和2δ_z的正六面體可看成是三塊厚度分別為2δ_x、2δ_y和2δ_z的無限大平壁彼此垂直相交形成的，它的溫度分布為

五、周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱

1．周期性非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的顯著特征

（1）溫度波的衰減現(xiàn)象

溫度波的衰減是指振幅逐層減小的現(xiàn)象。

（2）溫度波的延遲現(xiàn)象

溫度波的延遲是指最大值出現(xiàn)時(shí)間逐層推遲的現(xiàn)象。

2．半無限大物體周期性變化邊界條件下的溫度波

（1）周期性變化邊界條件的特點(diǎn)：

①由于邊界條件是周期性變化的，使得物體中各處的溫度也處于周而復(fù)始的周期性變化中，故已不存在所謂初始條件；

②邊界條件可以認(rèn)為是一個(gè)簡諧波。

（2）半無限大物體表面溫度的變化

（3）周期性變化邊界條件下溫度分布表達(dá)式

（4）周期性變化邊界條件下溫度分布的特點(diǎn)

①溫度波的衰減

a．任意平面x處溫度簡諧波的振幅

b．衰減度

c．影響溫度波衰減的主要因素

第一、物體的熱擴(kuò)散率α；在熱擴(kuò)散率大的物體內(nèi)，周期性溫度波傳播時(shí)的衰減度小，即溫度波衰減緩慢，溫度波影響也越深；

第二、波動(dòng)周期T；當(dāng)波動(dòng)的頻率高，即周期越短，振幅衰減越快，所以日變化溫度波比年變化溫度波衰減要快得多；

第三、深度x。

②溫度波的延遲

任何深度x處溫度達(dá)到最大值的時(shí)間比表面溫度達(dá)到最大值的時(shí)間落后一個(gè)相位角φ，延遲時(shí)間用ξ表示，則

熱擴(kuò)散率α對(duì)溫度波的衰減與延遲的影響程度相同，但與周期T的關(guān)系則相反，周期長的溫度波，延遲的相位角φ也大。

③向半無限大物體傳播的溫度波特性

a．給定物體表面溫度的第一類邊界條件

半無限大物體中溫度波的波長x₀就是同一時(shí)刻溫度分布曲線上相角相同的兩相鄰平面之間的距離。

以波長為x₀和振幅不斷衰減的溫度波向半無限大物體深度方向的傳播就是溫度波的傳播特性。

圖3-6 半無限大物體內(nèi)的溫度波

b．給定物體表面溫度的第三類邊界條件

給出半無限大物體與周圍介質(zhì)之間的對(duì)流傳熱系數(shù)h和周圍介質(zhì)溫度周期性變化的規(guī)律，即

此時(shí)半無限大物體內(nèi)的溫度分布為

3．周期性變化的熱流波

（1）熱流密度

（2）表面熱流密度的振幅A_q

（3）蓄熱系數(shù)

s稱為材料的蓄熱系數(shù)，它表示當(dāng)物體表面溫度波振幅為1℃時(shí)，導(dǎo)入物體的最大熱流密度。s的數(shù)值與材料的熱物性以及波動(dòng)的周期有關(guān)。