1.2　課后習題詳解

1．（1）在0℃及101.325 kPa下，純干空氣的密度為1.293×10-3g·m-3，試求空氣的表觀摩爾質量；

（2）在室溫下，某氮氣鋼瓶內的壓力為538 kPa，若放出壓力為100 kPa的氮氣160 dm3，鋼瓶內的壓力降為132 kPa，試估計鋼瓶的體積。設氣體近似作為理想氣體處理。

解：（1）根據理想氣體狀態方程，有

即

（2）根據Dalton分壓定律，在相同體積，相同壓力條件下，可得

根據理想氣體狀態方程，在相同溫度條件下，可得

則

因此鋼瓶體積為39.4dm3。

2．兩個體積相同的燒瓶中間用玻管相通，通入0.7 mol氮氣后，使整個系統密封。開始時，兩瓶的溫度相同，都是300 K，壓力為50 kPa，今若將一個燒瓶浸入400 K的油浴內，另一燒瓶的溫度保持不變，試計算兩瓶中各有氮氣的物質的量和溫度為400 K的燒瓶中氣體的壓力。

解：兩體積相同的燒瓶中，在溫度為300K，壓力為50kPa的條件下通入0.7mol氮氣，則兩燒瓶中均有(0.7/2)mol＝0.35（mol）的氮氣。

根據理想氣體狀態方程，燒瓶的體積為

將一個燒瓶浸入400K油浴中，另一燒瓶保持300K。當兩燒瓶平衡后，兩燒瓶的壓力相等，對應的兩燒瓶體積也相等，設400K的燒瓶中氮氣的物質的量為n₁，300K燒瓶中氮氣的物質的量為n₂，則有

，，

又因為充入氮氣的總量為0.7mol，則，代入上式得

，

400K燒瓶中的壓力為

即400K燒瓶中氮氣的物質的量為0.3mol，壓力為57kPa，另一燒瓶中氮氣的物質的量為0.4mol。

3．在293 K和100 kPa時，將He（g）充入體積為1 dm3的氣球內。當氣球放飛后，上升至某一高度，這時的壓力為28 kPa，溫度為230 K，試求這時氣球的體積是原體積的多少倍?

解：在氣球可承受范圍內，將He（g）充入，此時氣球內壓力、溫度均與外界相等，即p₁＝100kPa，T₁＝293K，V₁＝1dm3；當上升至某一高度，p₂＝28kPa，T₂＝230K時，根據理想氣體狀態方程，有，因此

4．有2.0 dm3潮濕空氣，壓力為101.325 kPa，其中水氣的分壓為12.33 kPa。設空氣中O₂（g）和N₂（g）的體積分數分別為0.21和0.79，試求

（1）H₂O（g），O₂（g），N₂（g）的分體積；

（2）O₂（g），N₂（g）在潮濕空氣中的分壓力。

解：（1）在潮濕空氣中，水氣的分壓為12.33kPa。

根據Dalton分壓定律，有

根據Amagat分體積定律，有

（2）由Dalton分壓定律，知

5．3.45ｇH₂（g）放在10 dm3的密閉容器中，從273 K加熱到373 K，問需提供多少能量？H₂（g）的根均方速率是原來的多少倍？已知H₂（g）的摩爾等容熱容。

解：已知H₂（g）的摩爾等容熱容，因H₂在密閉容器中加熱，所以能量為

由根均方速率公式得

6．計算293 K和373 K時，H₂（g）的平均速率、根均方速率和最概然速率。

解：在293K時，H₂（g）的平均速率為

根均方速率為

最概然速率為

因此，有

同理，在373K時，有

由可得

7．計算分子動能大于10 kJ的分子在總分子中所占的比例。

解：若在298K時有

即

則分子動能大于10kJ的分子在總分子中幾乎沒有。

8．在一個容器中，假設開始時每一個分子的能量都是2.0×10-21J，由于相互碰撞，最后其能量分布適合于Maxwell分布。試計算：

（1）氣體的溫度；

（2）能量介于1.98×10-21J到2.02×10-21J之間的分子在總分子中所占的分數。（由于這個區間的間距很小，故用Maxwell公式的微分式）

解：（1）由題意可知，每一個分子的能量為。

則1mol分子的平均平動能為

又因為，所以

（2）由于各分子的能量，微分得，代入下式

可得

9．根據速率分布公式，計算分子速率在最概然速率以及大于最概然速率1.1倍（即）的分子在總分子中所占的分數（由于這個區間的間距很小，可用微分式）。

解：分子速率在最概然速率以及之間的分子在總分子中的所占分數為

10．在293 K和100 kPa時，N₂（g）分子的有效直徑約為0.3 nm，試求

（1）N₂（g）分子的平均自由程；

（2）每一個分子與其他分子的碰撞頻率；

（3）在1.0 m3的體積內，分子的互碰頻率。

解：（1）N₂（g）分子的平均自由程只有一個分子移動，則其平均自由程為

根據理想氣體狀態方程，有

n為單位體積內的分子個數，所以

（2）由

得每一個分子與其他分子的碰撞頻率為

（3）根據分子的互撞次數公式，可得

11．在一個容積為0.5m3的鋼瓶內，放有16 kg溫度為500 K的CH₄（g），試計算容器內的壓力。

（1）用理想氣體狀態方程；

（2）由van der Waals方程。已知CH₄（g）的常數，，。

解：（1）根據理想氣體狀態方程，可得

（2）根據VanderWaals方程，可得

12．已知CO₂（g）的臨界溫度、臨界壓力和臨界摩爾體積分別為：T_c＝304.3K，p_c＝73.8×105Pa，試計算

（1）CO₂（g）的van der Waals常數a，b的值；

（2）313 K時，在容積為0.005 m3的容器內含有0.1 kgCO₂（g），用van der Waals方程計算氣體的壓力；

（3）在與（2）相同的條件下，用理想氣體狀態方程計算氣體的壓力。

解：（1）常數a，b的值：

（2）根據VanderWaals方程

可得

（3）根據理想氣體方程，可得

13．熱膨脹系數的定義為：試列式表示熱膨脹系數與溫度、體積的關系。

（1）設氣體為理想氣體；

（2）設氣體為van der Waals氣體。

解：（1）假設氣體為理想氣體，則根據理想氣體狀態方程，有，從而。

所以

此時熱膨脹系數與溫度的倒數成正比。

（2）設氣體為vander Waals氣體，則將vander Waals方程寫成

所以

則此時熱膨脹系數與體積有一定的關系。

14．NO（g）和CCl₄（g）的臨界溫度分別為177 K和550 K，臨界壓力分別為64.7×105Pa和45.5×105Pa。試用計算回答：

（1）哪一種氣體的van der Waals常數a較小？

（2）哪一種氣體的van der Waals常數b較大？

（3）哪一種氣體的臨界體積較大？

（4）在300 K和10×105 Pa的壓力下，哪一種氣體更接近理想氣體？

解：（1）因為，所以

故NO（g）的vander Waals常數a較小。

（2）因為，所以

故CCl₄（g）的van der Waals常數b較大。

（3）由于臨界體積，且由題（2）可知CCl₄（g）的Van der Waals常數b較大，由此可知CCl₄（g）的臨界體積較大。

（4）兩種氣體的對比壓力與對比溫度分別為

查壓縮因子圖知，，Z_CCl4與1相差較多。

因此，在300K，的條件下，NO（g）接近理想氣體。

15．273 K和100 kPa時，有1mol某實際氣體符合Virial型狀態方程，，已知第二Virial系數。試求該氣體在這時所占的體積。

解：由于氣體符合Virial型狀態方程，則利用前兩項求解，得1mol該氣體的體積為

16．373K時，1.0 kgCO₂（g）的壓力為5.07×103 kPa，試用下述兩種方法計算其體積。

（1）用理想氣體狀態方程式；

（2）用壓縮因子圖。

解：（1）利用理想氣體狀態方程式計算其體積，得

（2）查表知，CO₂（g）臨界溫度，臨界壓力分別為

根據壓縮因子圖，可得Z＝0.88，則1 mol氣體的體積為

所以

17．在273 K時，1 mol N₂（g）的體積為7.03×10-5 m3，試用下述幾種方法計算其壓力，并比較所得數值的大小。

（1）用理想氣體狀態方程式；

（2）用van der waals氣體狀態方程式；

（3）用壓縮因子圖（實測值為4.05×104 kPa）

解：（1）由理想氣體狀態方程式得

（2）根據vanderWaals氣體狀態方程，有，查表得vanderWaals常數為

所以

（3）查表得，則

，

根據壓縮因子圖，Z＝1.35所以

。

18．348 K時，0.3 kg NH₃（g）的壓力為1.61×103kPa，試用下述兩種方法計算其體積。試比較哪種方法計算出來的體積與實測值更接近（已知實測值為28.5dm3）。已知在該條件下NH₃（g）的臨界參數為：T_c＝405.6 K，p_c＝1.13×104 kPa；van derWaals氣體常數：a＝0.417 Pa·m6·mol-2，b＝3.71×10-5 m3·mol-1。

（1）用van der Waals氣體狀態方程式；

（2）用壓縮因子圖。

解：（1）根據vander Waals氣體狀態方程，有

（2），

由壓縮因子圖知，Z＝0.93所以，

由此可見，采用壓縮因子圖計算出來的體積和實測值更接近。

19．在Bessemar（柏塞麥）燃燒中充以含碳量為3％的鐵10000 kg。

（1）若使所有的碳完全燃燒，計算要通入27℃、100 kPa的空氣的體積。假定1/5的碳燃燒生成CO₂（g），4/5的碳燃燒生成CO（g）；

（2）求爐內放出各氣體的分壓力。

解：（1）

若碳完全燃燒，其中，1/5生成CO₂，4/5生成CO，則根據

可得

由于在空氣中，則有

所以，需要的空氣體積為

（2）計算得

20．制硫酸時需只制備SO₂（g）。在一定的操作情況下，每爐每小時加入硫30kg，通入過量的空氣（使硫燃燒完全），所產出的氣體混合物中含氧的摩爾分數為0.10，試問每小時要通入20℃、100 kPa的空氣的體積？

解：

若混合氣體中，則空氣通過硫燃燒爐時消耗了，同時生成的SO₂占空氣混合氣體的摩爾分數，則有

所以每小時需要通入的空氣體積為

21．發生爐煤氣（producer gas）系以干空氣通過紅熱的焦炭而獲得。設若有92％的氧變為CO（g），其余的氧變為CO₂（g）。

（1）在同溫同壓下，試求每通過一單位體積的空氣可產生發生爐煤氣的體積；

（2）求所得氣體中的摩爾分數。（空氣中各氣體的摩爾分數為，，，）

（3）每燃燒1 kg的碳，計算可得20℃，100 kPa下的發生爐煤氣的體積。

解：（1）假設空氣中O₂的摩爾分數為0.21，則一單位空氣（V）中含有0.21V的O₂，0.79V的其他氣體。O₂通過紅熱焦炭分別生成CO、CO₂。

則

則

（2）假設空氣的體積為V，則同溫、同壓下，根據等體積定律，有

根據題（1）可知

（3）設空氣為nmol，則

故

同理，由（1）題可知發生爐煤氣為則：

22．在壓力100 kPa時，當溫度為1572℃時銻蒸氣的密度是同溫同壓下空氣密度的12.43倍，在溫度為1640℃時，密度為同溫同壓下空氣的11.25倍。

（1）用上述數據分別求出每一式量（1formula weight，即1 mol Sb）所能產生的蒸氣的物質的量。

（2）假定銻蒸氣中僅有和兩種分子，試求各溫度下，兩種蒸氣的摩爾分數。

解：（1）根據理想氣體狀態方程，可得。

同溫同壓下，

則在100kPa，1572℃條件下

根據質量守恒定律，有

同理，在1640℃時

（2）假設Sb₂的摩爾分數為，則Sb₄的摩爾分數為1－。

所以，在1572℃條件下

即蒸氣Sb₂的摩爾分數為0.52，蒸氣Sb₄的摩爾分數為1－0.52＝0.48。

同理，在1640℃條件下

即蒸氣Sb₂的摩爾分數為0.66，蒸氣Sb₄的摩爾分數為。

23．設在一垂直的柱體中充滿理想氣體，當高度為0和h時，氣體的壓力分別為P₀和P，試根據理想氣體定律以及流體靜力學原理（hydrostatic principle），即：任一密度為的流體，當高度增加bh時，其壓力的減小值－dp等于單位橫截面上該流體的重量（以力的單位表示之）。

（1）試證明對于理想氣體，其表示式與Boltzmann公式相同；

（2）求高于海平面2000 m處的氣壓，假定在海平面的壓力為100 kPa，且把空氣看作是摩爾質量為29.0g/mol的單一物種。

解：（1）設在高度為h處氣體的壓力為p，高度處氣體的壓力為。已知其壓力的減少值－dp等于單位橫截面上該流體的重量，則

氣體符合理想氣體公式，把代入上式得

假設在0～h的高度范圍內溫度不變，對上式積分，

可得

表示式與Boltzmann公式相同。

（2）假設溫度不變，T＝273K，根據Boltzmann公式，有

24．在地球表面干空氣的組成用摩爾分數表示為：＝0.21,＝0.78,＝0.0094,＝0.0003,因空氣有對流現象，故可假定由地球表面至11 km的高空，空氣的組成不變。在此高度處的溫度為－55℃。今假定在此高度以上空氣的溫度恒為－55℃，且無對流現象，試求

（1）在高于地球表面60 km處氣體,,,的摩爾分數；

（2）該高度處的總壓力。

解：（1）由題設可知，由地球表面至11 km的高空，空氣的組成不變。設距地球表面11 km處空氣壓力為p₀，則各氣體的分壓為：

設高度為h時的壓力為p，則

所以海拔60 km處各氣體的壓強為

則60 km處，各氣體的摩爾分數為

（2）假定地球表面壓力為100 kPa，溫度為0℃，在11 km高空的溫度為－55 ℃，取其平均溫度為－27.5℃，在此范圍內空氣的組成不變，則11 km高空的壓力p₀為

所以60 km高空的總壓為

25．由于離心力的作用，在離心力場中混合氣體的組成將發生變化。今有一長為80 cm的長管，管內裝有等分子數的氫氣和氧氣的混合氣體，將長管放置在一個水平盤上，管的中部固定在盤中垂直的中心軸上，今以每分鐘3000轉的速度使盤在水平面上旋轉，并設周圍環境的溫度保持為20℃。

（1）求由于旋轉的原因在管之兩端，每一個氧氣分子以及每一個氫氣分子的動能。

（2）在達到平衡后，試根據Boltzmann公式分別計算兩種氣體在管端和管中央處的濃度比。

（3）假定設法保持在管之中心部位氫氣和氧氣的濃度比為1：1，總壓力為100 kPa（例如在管的中部即旋轉軸中心處，緩慢通入濃度比為1：1的氫氣氧氣混合氣體），試計算平衡后在管端處氫氣和氧氣的摩爾比。（離心力，m為質點的質量，l是中心與管端的距離，是質量的角速度）

解：（1）因為，，所以。（m_i為O₂分子和H₂分子的質量）

（2）向心力為：類似于重力場，可以使用Boltzmann公式

（3）因為，則。