第2章　平面機構的運動分析

2.1　考點歸納

一、分析方法

1．圖解法

（1）機構速度及加速度的一般圖解法（矢量方程圖解法）

①利用同一構件上兩點間的速度及加速度矢量方程作圖求解；

②利用兩構件重合點間的速度及加速度矢量方程作圖求解。

（2）機構速度分析的便捷圖解法

①速度瞬心法；

②綜合法。

2．解析法

（1）機構的封閉矢量位置方程

（2）復數矢量法

（3）矩陣法

3．實驗法

二、速度瞬心法

1．速度瞬心

（1）定義

互作平面相對運動的兩構件上瞬時速度相等的重合點稱為此兩構件的速度瞬心，簡稱瞬心。

（2）分類

①絕對瞬心：絕對速度為零的瞬心；

②相對瞬心：絕對速度不為零的瞬心。

（3）數目

機構中每兩構件間就有一個瞬心，故由N個構件（包含機架）組成的機構的瞬心總數為

（4）瞬心位置的確定

①根據定義確定

a．當兩構件組成轉動副時其瞬心就位于轉動副中心處；

b．當兩構件組成移動副時其瞬心位于垂直于導路無窮遠處；

c．當兩構件組成純滾動的高副時其瞬心位于其高副接觸點處；

d．當兩構件組成有相對滑動的高副時其瞬心位于過接觸點的公法線上。

②根據三心定理確定

a．三心定理

三個彼此作平面平行運動的構件的三個速度瞬心必位于同一條直線上。

b．適用條件

用于確定不通過運動副直接相連的兩構件之間的瞬心位置。

2．運動分析

（1）原理

利用兩構件在其瞬心處絕對速度相等的條件求解。

（2）應用實例

①鉸鏈四桿機構

圖2-1

確定構件1和3的速度瞬心P₁₃后，由

得到原動件1與從動件3的瞬時角速度之比

a．如果P₁₃在P₃₄和P₁₄的同一側，因此ω₁和ω₃的方向相同；

b．如果P₁₃在P₃₄和P₁₄之間，則ω₁與ω₃的方向相反。

②曲柄滑塊機構

圖2-2

已知各構件的長度、位置及構件1的角速度ω₁，求滑塊C的速度。

a．根據三心定理確定構件1、3的相對速度瞬心P₁₃。

b．滑塊3作直線移動，其上各點速度相等，將P₁₃看成是滑塊上的一點，則有v_C=v_P13。

c．。式中μ_l為機構的長度尺寸比例尺，量綱為m／mm。

③既作滾動又作滑動的高副機構（齒輪機構和擺動從動件凸輪機構）

圖2-3

a．構件2和3的速度瞬心P₃₂位于接觸點處的公法線上。

b．三個構件的速度瞬心位于同一直線上。

確定P₃₂后，有

得到角速度比

3．適用范圍

（1）只能用于機構的速度分析，不能用于加速度分析；

（2）適用于構件數目較少的機構。

三、矢量方程圖解法（相對運動圖解法）

1．基本原理

理論力學中剛體的平面運動合成原理和點的復合運動原理。

2．分析方法

利用機構中構件上各點之間或兩構件上重合點之間的相對運動關系，列出它們之間的速度和加速度矢量方程式，然后按一定比例尺根據方程作矢量多邊形進行求解。

3．兩類問題

（1）同一構件上兩點之間的速度和加速度關系

圖2-4

鉸鏈四桿機構中，已知各構件的長度及構件1的位置、角速度ω₁和角加速度α₁。求構件2的角速度ω₂、角加速度α₂及其上點C和E的速度和加速度，以及構件3的角速度ω₃和角加速度α₃。

①確定速度和角速度

a．列出相對速度矢量方程

從已知參數的構件1開始，列出速度矢量方程式

b．作出速度多邊形

第一，在圖上任取一點P，作代表v_B的矢量，其方向垂直于AB，指向與ω₁轉向一致，長度等于v_B/μ_v，其中μ_v為速度比例尺，單位為，它表示圖上每1mm代表的速度值。

第二，過P點作直線垂直于代表v_C的方向線，再過點b作直線垂直于代表v_CB的方向線，這兩方向線交于點C。

c．求解

第一，如圖2-4b所示，矢量和便分別代表v_C和v_CB，其大小為及。

同理可求點E的速度v_E。

第二，構件2的角速度，將代表v_CB的矢量平移到機構圖上的點C，可知ω₂的轉向為順時針方向。

第三，構件3的角速度，將代表v_C的矢量平移到機構圖上的點C，可知ω₃的轉向為逆時針方向。

②確定加速度和角加速度

a．列出相對加速度矢量方程

從已知參數的構件1開始，列出相對加速度矢量方程式

或

b．作出速度多邊形

第一，在圖上任取一點π，作代表aⁿ_B，方向為平行于AB并從B指向A，長度為，其中μ_a為加速度比例尺，單位是，它表示圖上每1mm代表的加速度值；過b″作代表a^t_B，方向垂直，長度為，連接，它表示a_B。

第二，再過b′作代表aⁿ_CB，方向是平行于并從C指向B，長度為；過c″作垂直于代表a^t_CB的方向線c″c′。

第三，又用同一比例尺從點π作代表aⁿ_C，方向是平行于CD并從C指向D，長度為；接著過作垂直于代表a^t_C的方向線。該兩方向線c″c′和相交于c′，連接πc′。

c．求解

第一，矢量便代表a_C，其大小為。

同理可求點E的加速度。

③小結

a．速度多邊形

圖2-4b所示，由各速度矢量構成的多邊形pbec稱為速度多邊形。

b．速度影像

第一，△bce和△BCE相似，且兩三角形頂角字母bce和BCE的順序相同均為順時針方向，圖形bce稱為圖形BCE的速度影像。

第二，當已知一構件上兩點的速度時，則該構件上其他任一點的速度便可利用速度影像與構件圖形相似的原理求出。

第三，速度影像的相似原理只能應用于同一構件上的各點，而不能應用于機構的不同構件上的各點。

c．極點P

第一，在速度多邊形中，點P稱為極點，代表該構件上速度為零的點；

第二，連接點P與任一點的矢量便代表該點在機構圖中的同名點的絕對速度，其指向是從p指向該點；

第三，連接其他任意兩點的矢量便代表該兩點在機構圖中的同名點間的相對速度，其指向是與速度的角標相反，例如矢量代表v_CB而不是v_BC。

d．加速度多邊形

圖2-4c中由各加速度矢量構成的多邊形稱為加速度多邊形。

e．加速度影像

第一，與機構位置圖中△BCE相似，且兩三角形頂角字母順序方向一致，圖形稱為圖形BCE的加速度影像。

第二，當已知一構件上兩點的加速度時，利用加速度影像便能很容易地求出該構件上其他任一點的加速度。

第三，加速度影像的相似原理只能應用于機構中同一構件上的各點，而不能應用于不同構件上的各點。

f．極點π

第一，在加速度多邊形中，點π稱為極點，代表該構件上加速度為零的點；

第二，連接點π和任一點的矢量便代表該點在機構圖中的同名點的絕對加速度，其指向從π指向該點；

第三，連接帶有角標“′”的其他任意兩點的矢量，便代表該兩點在機構圖中的同名點間的相對加速度，其指向適與加速度的角標相反，例如矢量代表a_CB而不是a_BC；

第四，代表法向加速度和切向加速度的矢量都用虛線表示，例如和分別代表aⁿ_CB和a^t_CB。

（2）不同構件上兩重合點間的速度和加速度關系

圖2-5

如圖2-5a所示的四桿機構中，已知機構的位置、各構件的長度及構件1的等角速度ω₁，要求構件3的角速度ω₃和角加速度α₃。

①確定構件3的角速度ω₃

a．列速度矢量方程

已知構件1上B點的速度ω_B1=ω₁l_AB，其方向垂直于AB而指向與ω₁轉向一致；因為構件2與構件1用轉動副B相聯，所以v_B2=v_B1，構件2、3組成移動副，其重合點B的相對速度矢量方程式為

b．作速度多邊形

第一，任取一點P為極點，過P作代表點B₂的速度v_B2，其速度比例尺為

第二，過點b₂作v_B3B2的方向線b₂b₃，再過點P作v_B3的方向線pb₃，兩方向線交于點b₃，得速度多邊形pb₂b₃。

c．求解

矢量即代表v_B3，故構件3的角速度為

將代表v_B3的矢量平移到機構圖上的點B，可知ω₃的轉向為順時針方向。

②確定構件3的角加速度α₃

a．列加速度矢量方程

點B₃的絕對加速度與其重合點B₂的絕對加速度之間的關系為

其中

故

式中

第一，a^r_B3B2為點B₃對于B₂的相對加速度，在一般情況下，，但是在目前情況下，由于構件2和構件3組成移動副，所以aⁿ_B3B2=0，則a^r_B3B2=a^t_B3B2，其方向平行于相對移動方向。

第二，a^k_B3B2為哥氏加速度，它的大小為，其中θ為相對速度v_B3B2和牽連角速度ω₂（=ω₃）矢量之間的夾角。但是對于平面運動，ω₂的矢量垂直于運動平面，而v_B3B2位于運動平面之內，故θ=90°，從而可得

哥氏加速度a^k_B3B2的方向是將v_B3B2沿ω₂的轉動方向轉90°（即圖2-5c中的方向）。

b．作加速度多邊形求解

第一，如圖2-5c所示，從任意極點π連續作矢量和代表a_B2和a^k_B3B2，其加速度比例尺；再過點π作矢量代表aⁿ_B3，然后過點k′作直線k′b′₃。

第二，平行于線段代表a^r_B3B2的方向線，并過點b″₃作直線b″₃b′₃垂直于線段，代表a^t_B3的方向線，它們相交于點b′₃，則矢量便代表a_B3。

第三，構件3的角加速度為將代表的矢量平移到機構圖上的點B₃，可知α₃的方向為逆時針方向。

四、解析法

1．分析過程

用解析法作機構運動分析的關鍵在于正確表示機構的封閉矢量位置方程式，并通過它對時間的一次和二次導數得到速度和加速度矢量方程式，然后用矢量運算法求出所需的運動參數。

2．常用方法

（1）機構的封閉矢量位置方程

在用矢量法建立機構的位置方程時，需將構件用矢量來表示，并作機構的封閉矢量多邊形。

（2）復數矢量法

將機構的封閉矢量位置方程式寫成復數矢量形式，運算過程中利用了復數運算十分簡便的優點，可利用計算器與計算機進行求解。

（3）矩陣法

將得到的機構速度和加速度方程寫成矩陣形式，方便地運用標準計算，程序或方程求解器等軟件包來求解，但需借助于計算機。

五、運動線圖

1．概念

用解析法或圖解法求出機構在彼此相距很近的一系列位置時的位移、速度和加速度或角位移、角速度和角加速度，然后將所得的這些值對時間或原動件轉角列成表或畫成圖，這些圖便稱為運動線圖。

2．特征

利用運動線圖，可以清楚地看出機構的位移、速度、加速度的變化規律，從而全面地了解機構的運動特性。

3．舉例

圖2-6

圖2-6所示為一曲柄滑塊機構及其滑塊C的運動線圖的作法。設曲柄以等角速度ω轉動。

（1）將圖2-6a中的曲柄銷B的軌跡分成若干等分（圖中為12等分），并用作圖法求出與它對應的點C的一系列位置。距離C₁C₂、C₁C₃、…是曲柄在各位置時（亦即每一一定時間內）滑塊C自其起始位置C₁的位移。

（2）如圖2-6b所示，作兩個坐標軸，并在橫軸上截取長L（mm）的線段來代表曲柄回轉一整周的時間T，那么其時間比例尺μ_t為

式中n為曲柄每分鐘的轉數。

（3）將線段L分為12等分作橫坐標，并將圖a中點C的位移投影在各個對應縱坐標上，最后將所得各點連成一光滑曲線，即為點C位移對時間的變化曲線。其縱坐標的比例尺μ_s即機構圖的比例尺μ_t。

（4）圖2-6中速度的正、負表示滑塊運動方向的不同，速度為正，滑塊向上運動；反之，則向下運動。當加速度與速度位于橫坐標同側時，滑塊作加速運動；反之，作減速運動。由此利用運動線圖，可以清楚地看出機構的位移、速度、加速度的變化規律，從而全面地了解機構的運動特性。

4．位移線圖、速度和加速度線圖的關系

由于，當給出機構的位移線圖后，可用電子計算機進行數字微分或用圖解微分的方法直接作出該機構相應的速度和加速度線圖。同樣，如給出的是加速度線圖，則可用數字積分或圖解積分的方法求出機構相應的速度線圖和位移線圖。