第二部分　投資組合理論[視頻講解]

第5章　從歷史數據中學習收益和風險

5.1　本章要點

●掌握一些關于利率的概念，如年百分比利率、實際利率、有效利率等

●知道如何計算持有期收益率、以及期望收益率和方差

●理解正態分布以及偏離正態分布的指標

●理解超額收益、風險以及夏普比率

●理解非正態分布的風險度量指標

●了解歷史上不同資產收益率的時間序列特征

5.2　重難點導學

一、利率（收益率）概念

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（1）基本概念

利率是貨幣的時間價值。是投資收益率的一種表現形式。

貨幣時間價值的來源：消費延期回報（消費的時間偏好）；生產投資收益；風險補償；通貨膨脹

利率用于資產和債務不同時期的等值計算（如終值和現值計算）

 

（2）名義利率與實際利率

名義利率是貨幣增長率，實際利率是購買力增長率。

設名義利率為R，實際利率為r，通脹率為i，則有r≈R－i，換句話說，真實利率等于名義利率減去通脹率。

嚴格上講，名義利率和真實利率之間有下式成立：

顯然可以看出由r≈R-i得出的近似值高估了真實利率1＋i倍。

（3）稅收和實際利率

假設給定一個稅率t和名義利率R，稅后的名義利率則為R（1-t）。稅后實際利率近似等于稅后名義利率減去通貨膨脹率：。

（4）年百分比利率和有效年利率

年百分比利率（APR＝Annual Percentage Rate）：在金融合約中標示利息支付時一般使用的標示利率。為簡單計，短期投資（依照約定，T<1年）利率通常采用APR而不是復利，APR與短期利率關系為

。

有效（實質）年利率（EAR = Effective Annual Rate）：是真正反映借貸價格的利率。

EAR與APR的關系為或。兩者差異源于1年內的計息次數。特別地，當τ=1時兩者一致。

表5-1　年百分比利率（APR）與有效年利率（EAR）

（5）連續復利收益率

連續復利收益率：當T趨于零的時候，利用以上EAR與APR的關系定義連續復利r_cc為：

其中e的取值為2.71828。

為從有效年利率中求r_cc，從上式可以得到：

在連續復利利率框架下，對于任意一個時期T，總收益r_cc（T）就可以簡單等于exp（T×r_cc）。而且實際利率為r、名義利率為R，與通貨膨脹率i之間的關系精確地表述為：r_cc（實際）=r_cc（名義）-i。

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二、利率水平的決定因素

（1）真實利率均衡

真實利率均衡由四個基本因素決定：資金供給、資金需求、政府行為和通貨膨脹率。圖5-1描繪了市場均衡利率的確定。

圖5-1　均衡實際利率的決定

（2）名義均衡利率

資產的實際收益率等于名義利率減去通脹率，因此，當通脹率增加時，投資者會對其投資提出更高的名義利率要求，從而保證投資項目所提供的真實利率不變。

假設目前的預期通脹率將為E（i），歐文·費雪（1930）等式為：R=r＋E（i）。這表明名義利率可以被視為是名義上無風險資產的必要收益率加上通脹的預測值。如果真實利率是穩定的，名義利率的上漲意味著更高的通脹率。

（3）預測利率的基本因素

利率水平及其未來價值的預測是投資決策的諸多投入中最為重要的部分。預測利率首先基于以下一些基本因素：

?  存款人特別是居民的資金供給；

?  企業由于購置廠房設備及存貨而進行項目融資所引發的資金需求；

?  政府通過聯邦儲備銀行運作產生的資金凈供給或凈需求。

三、風險和風險溢價

（1）持有期收益率

持有期收益率（HPR）的定義為：

（2）期望收益與標準差

期望收益是所有情形下收益的加權平均值。假設p（s）為各種情形的概率，r（s）為任一情形的持有期收益率HPR，各種情形的集合以s表示，可以得到期望收益為：

收益的標準差σ用來測度風險，它定義為方差的平方根：

（3）超額收益和風險溢價

回報分為兩種：一種是投資于指數基金（風險資產）的期望總收益；一種是投資于譬如國庫券、貨幣市場工具或銀行存款上（無風險資產）的無風險利率。

任何特定時期風險資產同無風險資產收益之差稱為超額收益。風險溢價就是期望的超額收益。

（4）夏普比率（風險報酬－風險比率）

金融中通常使用超額收益（風險溢價）與標準差的比率評估投資組合的吸引力。

這種收益波動的衡量方法廣泛應用于評價投資管理者的績效。它在度量分散化投資組合風險－收益的關系時是一種合適的方法，但是其運用在單個資產比如作為大的投資組合中的一部分股票時是不合適的。

（5）非正態分布的風險度量

股票投資組合的收益都不是精確的正態分布，由此導致標準差可能不適合度量風險。在業內還有三種常用的方法用來度量風險：風險價值（VaR）、尾部條件期望（CTE）和下偏標準差（LPSD）。

風險價值（VaR = value at risk）：是一個分布的分位數，對應一定置信水平（置信度）和一定持有期內，某一金融工具或其組合在未來資產價格波動下所面臨的最大損失額。它是專業投資者廣泛使用的一種度量方法，此方法關注負極端收益的潛在損失。

尾部條件期望（conditiona1 tai1 expectation，CTE）：尾部條件期望值改善了風險價值VaR，因為它考慮了分布整個尾部，特別是最壞的情況，更像一個期望值，因此提供了一個全面的潛在損失的描述，包括小概率事件發生的損失。

下偏標準差（lower partia1standard deviation，LPSD）：只考慮低于期望收益值時的標準差，以度量“下偏風險”。許多從業者甚至用下偏標準差代替正常的標準差來計算夏普比率。

四、歷史收益率數據的時間序列分析

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（1）時間序列與情景分析

預測未來的情形可以設定一組相關情形和相應投資結果（收益率），對每種情況設置一個概率值，計算出它們的風險溢價（收益）和標準差（風險）。

與此對應地，資產和投資組合的歷史數據只是以時間序列的收益率形式存在，必須從有限的數據中尋找出相應的概率分布。

當使用歷史數據時，常常將每種觀察到的結果都看作一種“情形”。如果有n個觀察事件，公式中的p（s）取可能的概率1／n。

（2）期望收益：算術平均值或幾何平均值

兩者關系：幾何平均值顯著小于算術平均值。如果收益服從正態分布，這種差異可以確切地等于方差的一半，也就是幾何平均值=算術平均值-σ²／2。

（3）方差和標準差

（4）收益率分布的正態性

①正態分布：“好”的性質

圖5-2　正態分布

②偏離正態

■偏度（skew）：度量分布的不對稱性或者“偏度”。正態分布的偏度為零。

圖5-3　正態分布和偏度分布（均值=6％，SD=17％）

當分布偏度為正的時候（偏度大于0），標準差高估風險，因為期望中正的極值偏離（這不是投資者關心的內容）會增加波動。相反，當分布偏度為負的時候，標準差將低估風險。

■峰度（kurtosis）：度量厚尾的程度,它關注均值兩邊極值出現的可能性。一個正態分布的峰度被定義為0，任何峰度大于0時表明其分布相對于正態分布存在厚尾特征。

圖5-4在正態分布的基礎上疊加了一個同樣均值和方差的厚尾分布，盡管對稱性仍然存在，但是其標準差會低估極端事件帶來的大損失或大收益的風險。

圖5-4　正悉分布和厚尾分布

（5）時間序列相關性

在完全有效的資本市場里，超額收益的時間序列相關系數為0。

這樣的分析不能應用于短期國庫券的收益率，因為它的收益事先就可以知道。國庫券的收益率連續相關系數為正（過去40年為0.83）。

（6）歷史數據時間序列