第7章　優化風險投資組合

7.1　本章要點

●明晰風險資產組合之投資組合機會集合、最小方差組合

●熟悉最優風險投資組合的概念及計算方法

●掌握基于最優風險投資組合的投資組合決策方法

●掌握馬克維茨的投資組合選擇模型

●理解風險分散、風險聚集和風險分擔等

7.2　重難點導學

一、兩種風險資產的投資組合

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（1）投資組合收益和風險計算

①資產組合的收益與風險

兩資產的資產組合的收益（D為債券，E為股權）：

兩資產的資產組合的方差：

②相關系數與資產組合方差

根據相關系數ρ計算出協方差。由得

協方差越大，在ρ_DE越大時，投資組合的方差越大。

當完全正相關時，ρ_DE=1，上式可簡化為

當完全負相關時，ρ_DE=-1，上式可簡化為σ_P=|w_Dσ_D-w_Eσ_E|

此時可構造完全對沖頭寸：

　　

③組合期望收益率、標準差作為投資比例（資產權重）的函數（如圖7-1和圖7-2所示）

圖7-1　投資組合期望收益率作為投資比率的函數

圖7-2　投資組合標準差作為投資比例的函數

（2）最小方差投資組合（minimum-variance portfolio）

最小方差投資組合：使得投資組合方差最小的資產組合（如圖7-2所示）

風險分散效應：相關系數越低，分散化就越有效，投資組合風險就越低（至少在兩種資產的持有量為正時）。

（3）投資組合機會集

投資組合機會集：顯示了由兩種相關資產構造的所有投資組合的期望收益與標準差（不同資產組合比例）。

圖7-3　投資組合的期望收益作為標準差的函數

二、資產在股票、債券與短期國庫券之間的配置（資產配置）

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（1）最優風險資產組合：兩種風險資產和一種無風險資產

資本配置線：無風險資產、兩種風險資產的組合（風險組合機會集）。

圖7-4　債務與股權基金的可行集和兩條可行的資本配置線

最優風險資產組合：使資本配置線的斜率最大的風險資產組合，這樣表示邊際風險報酬最大。

最優風險組合求解：

（2）最優整體投資組合

最優整體資產組合為投資者（效用）無差異曲線與最優資本配置線的切點處組合，最優整體組合包含風險資產組合（債券和股票）以及無風險資產。

圖7-5　最優全部投資組合的決策

（3）完成一個完整的投資組合的步驟：

①確定所有各類證券的收益特征（例如期望收益、方差、協方差等）。

②建造風險資產組合：

a．計算最優風險資產組合P；

b．運用步驟a中確定的權重計算資產組合P的資產。

③把基金配置在風險資產組合和無風險資產上：

a．計算資產組合P（風險資產組合）和國庫券（無風險資產）的權重；

b．計算出完整的資產組合中投資于每一種資產和國庫券上的投資份額。

三、馬科維茲的資產組合選擇模型

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“不要把所有的雞蛋放在一個籃子里”這句俗語在現代財務理論出現前就已經存在很長時間了。直至1952年，哈里·馬科維茨發表了投資組合選擇的標準模型，揭示了分散化的原則，他因此獲得1990年諾貝爾經濟學獎。

（1）最小方差邊界（前沿）

最小方差邊界表示為在給定期望收益的條件下，資產組合方差的最低的點的集合。

圖7-6　風險投資組合的最小方差邊界

（2）風險資產的有效邊界

落在全局最小方差以上的邊界被稱為風險資產的有效邊界。因為在全局最小方差邊界以下部分的資產組合是無效的。

（3）最優風險資產組合

圖7-7　有最優資本配置線的風險資產的有效率邊界

有最高斜率的資本配置線如圖7-7所示。該資本配置線與有效率邊界相切于風險資產組合P。資產組合P是最優風險資產組合。

（4）完整的資產組合

最優完整資產組合為投資者無差異曲線與資本配置線的切點處組合，最優完整組合包含風險資產組合（債券和股票）以及無風險資產（國庫券）。

在進行最優的風險組合決策時，可能會遇到各種限制（例如賣空限制和最低收益率限制等），這些限制能夠影響有效率邊界和最優風險組合。

（5）資產分割與資本配置

①分離定理（性質）

分離定理是指資產組合管理人將給所有客戶提供相同的風險資產組合P，而不顧他們的風險厭惡程度。不同的風險厭惡程度可通過在資本配置線上選擇不同的點來實現。

②資產分割

資產組合選擇問題可分為兩個相互獨立的工作。第一項工作是決定最優風險資產組合，這是完全技術性的。第二項工作是根據個人的偏好，決定資本在國庫券和風險資產組合中的分配，這時客戶是決策者。

四、風險分散化及有關問題

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（1）資產組合中的風險分散

投資組合方差的一般公式：

現在首先考慮一個單純的分散化策略，構建一個等權重的投資組合，每一證券有一個平均的權重，為w_i=1/n，此時上式可以簡化為：

如果定義證券的平均方差和平均協方差為

可以將投資組合方差的表達式改寫為

討論：分散化（n↑）對第一項（特有風險）和第二項（關聯風險、系統風險）的影響。

為了進一步考察系統風險與證券相關性的關系，假定所有證券有同樣的標準差σ，而且所有證券間的相關系數為ρ，每對證券的協方差為ρσ²，上式變為：

當ρ=0時，再次得到了保險原則，投資組合的方差在n足夠大時趨向于0，當ρ>0時，投資組合方差為正。實際上，當ρ=1時，投資組合的方差不管n為多大都等于σ²，這表明分散化沒有好處。一般來說，n足夠大時，上式表明系統風險為ρσ²。

表7-1中列出在證券數目增加，ρ=0和ρ=0.4的兩種情況下，投資組合的標準差。表中σ=50％，正如人們所意料的，投資組合風險在ρ=0.4時較大。更令人吃驚的是在相關性為正的情況下，當n增加時，投資組合的風險并不怎么減少，證券的相關性限制分散化的作用。

表7-1　相關及非相關等權重投資組合的風險降低情況

（2）系統性風險與非系統性風險

分散化能夠降低風險，但是當共同的風險來源影響所有的公司時，分散化就不能消除風險了。資產組合的標準差隨著證券種類的增加而下降，但是，它不能降至零。在最充分的分散條件下還存在著市場風險，它來源于與市場有關的因素，這種風險亦被稱為“系統風險”，或“不可分散風險”。而那些可被分散化消除的風險被稱為“獨特風險”、“特有公司風險”、“非系統風險”或“可分散風險”。（如圖7-8所示）

圖7-8　投資組合的分散化

（3）保險原理

當所有的風險都是對公司的特定影響時，分散化就可以把風險降至任意低的水平。其原因是所有風險都是獨立的，任何一種特殊來源的風險可以降低到可忽略的水平，這有時被稱為保險原理（insurance principle），因為保險公司通過向具有獨立風險來源的不同客戶開出許多保單，每個保單只占保險公司總投資組合的一小部分，用這種分散化的方法達到降低風險的目的。

（4）風險聚集、風險分擔與保險原理

需要注意的是，收益率的方差和損失概率都不能充分度量風險，因為它們沒包含損失的絕對數量信息。

增加另外一個風險資產到投資組合（風險聚集），實際只增加投資數目，即使對收益率有更精確地預測（標準差減少）也不能減少總的風險，因為這變成了在更大的投資下的不確定性。事實上，投資到更多資產，只會增加總風險。

例如，n個不相關的保單問題，假設每個保單期望獲利π美元，那么總期望獲利和標準差都隨保單數n變化：

其中，均值和標準差比不隨n變化而變化，所以很有意思的是風險一收益均衡不會因為增加新的保單得到改善。

如果風險聚集（增加出售新的獨立保單）不能解釋保險行業，那么怎樣才可以呢?答案是風險分擔，即把一定風險分散到眾多投資者身上。保險商從事于風險分擔，他們限制自己的支出于單一的風險，把風險分散給其他保險商，每位保險商通過許多項目分散大的固定組合風險，每個項目風險分擔到許多保險商身上：把固定的組合風險分擔成很多份。

（5）長期資產的風險

增加投資期類似的投資到更多資產，這增加了總風險。平均的收益率不能用來作為第一年度投資的風險投資組合和第二年度投資相同風險投資組合的比較值，應該比較兩年投資的（兩年持有期收益）財務終值：即用兩年投資的風險投資組合與一年投資的風險投資組合加一年的無風險投資相比。

雖然“投資期限越長，股票收益率的標準差越小”以及“投資期限越長，股票獲得低于無風險利率收益率或負收益率可能性越低”的說法正確，但這并不意味投資期限越長風險越低。因為，首先，真正風險體現在期末財富數量的不確定性。比如，假定年收益率完全不相關，盡管25年風險資產投資的年收益率標準差是1年期的1/5，但25年持有期的期末財富標準差卻是1年期結果的5倍。其次。持有期越長，盡管發生虧損的可能性降低，但發生嚴重虧損的可能性越大，綜合考慮虧損的可能性和虧損程度，投資的風險是變大了。