2.3 案例一 全混釜串聯(lián)反應(yīng)過程

2.3.1 反應(yīng)過程簡介

連續(xù)攪拌全混釜是化工過程中的典型反應(yīng)器，本節(jié)以全混釜中的串聯(lián)反應(yīng)過程為例，詳細(xì)研究系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)解隨操作參數(shù)變化而改變的情況。

該反應(yīng)過程的研究體系如圖2-4所示，反應(yīng)物A轉(zhuǎn)化為產(chǎn)物B，產(chǎn)物B進(jìn)一步反應(yīng)生成副產(chǎn)物C，該過程是在全混釜[19～23]的放熱反應(yīng)，反應(yīng)式如下：

A→B→C

2.3.2 反應(yīng)過程數(shù)學(xué)模型

物料平衡和能量平衡方程[22],[23]如下：

式（2）中變量描述如下：CA、CB為反應(yīng)器中A、B的濃度；CAf、CBf是進(jìn)料中A、B的濃度；Q為進(jìn)料流量；V為反應(yīng)器體積；k1（T）、k2（T）是隨溫度變化的化學(xué)反應(yīng)系數(shù)；T為反應(yīng)器溫度；Tf為反應(yīng)器出口溫度；ΔHA、ΔHB 為反應(yīng)熱；Cp為反應(yīng)器內(nèi)液體的定壓熱容；ρ為密度；U為傳熱系數(shù)；A為換熱面積；Tc 為冷卻夾套的溫度，Qc為冷卻介質(zhì)的流量；Vc 為冷卻夾套的體積；Tcf為冷卻夾套出口溫度；Cpc為冷卻介質(zhì)的定壓熱容。

將變量無因次化，得到如下的反應(yīng)方程：

無因次參數(shù)如下：

式（2-3）中增加的變量描述如下：CAf0為參照濃度；Tf0為參照溫度；Q0 為參照流量；E1、E2 是反應(yīng)A→B→C的兩個活化能。

微分方程式（2-2）變化率為0的非線性方程組如式（2-4）所示：

方程組中x1、x2、x3、x4、q、qc為未知數(shù)，其他是常數(shù)。

在式（2-4）中，當(dāng)q、qc 的數(shù)值確定后，方程組成為含有4個未知數(shù)的方程組。求解方程組，可以得到反應(yīng)器的多穩(wěn)態(tài)信息。

2.3.3 單參數(shù)變化時的多穩(wěn)態(tài)解現(xiàn)象

固定參數(shù)q、qc求解方程組，當(dāng)qc=0.3時，q的數(shù)值逐漸增大，求相應(yīng)的穩(wěn)態(tài)解。這里使用兩種方法計(jì)算，首先用一般的方法求解，再用擴(kuò)展的同倫延拓法求解。

1．用常規(guī)方法求解

在各增大過程中，用常規(guī)求解非線性方程組的方法對于每一個確定的q求出所有的解。表2-1列出了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解。

由表2-1可知，在qc=0.3時，隨著q的變化方程組的解的數(shù)值變化的同時解的個數(shù)也發(fā)生了變化。例如，當(dāng)q等于3.0、4.0、5.0時方程組有三組不同的解，而q等于1.0、2.0、6.0、7.0時只得到一組解。

同樣，以0.1作為q的步長求出在不同q值下x1、x2、x3、x4 的數(shù)值，繪制qc=0.3時x2 隨q變化的曲線。

圖2-5顯示了當(dāng)q從1到8變化過程中方程組的解x2 的數(shù)值變化過程。圖2-5也顯示了求解含有參數(shù)的方程組的一般方法，首先固定參數(shù)為某一確定值，當(dāng)qc=0.3時，只有一個參數(shù)q。求解q=1時的非線性方程組，得到一個解。同樣，當(dāng)q=2時，也得到一個解。當(dāng)q=3, q=4, q=5時可以得到3個解。當(dāng)q=6, q=7, q=8時也只得到一個解。將q以步長為0.1從0增大到8的過程中所有方程組的解繪制在曲線上得到圖2-5所示的解曲線。

2．使用擴(kuò)展的同倫延拓法求解

如果使用擴(kuò)展的同倫延拓法求解這個帶參數(shù)的非線性問題，那么固定qc的取值，將q看作變化過程的參數(shù)，計(jì)算得到的曲線如圖2-6所示。

從圖2-6看到計(jì)算結(jié)果上的點(diǎn)并不是隨參數(shù)q均勻分布的，這與通常的計(jì)算方法不同，但是計(jì)算量減小。

圖2-5、圖2-6顯示了x2 的多穩(wěn)態(tài)解的情況，用同樣的方法可以繪制x1、x3、x4的多穩(wěn)態(tài)解的情況。

這里是在固定qc的情況下逐漸改變q的數(shù)值獲取相應(yīng)的方程組解，如果同時改變qc和q的數(shù)值求解方程組，那么就可以得到穩(wěn)態(tài)解在操作變量q-qc構(gòu)成的空間中的分布。

2.3.4 穩(wěn)態(tài)解在操作參數(shù)空間中的分布

在這個體系中，如果同時改變進(jìn)料流量q、冷卻水流量qc，那么可以獲得穩(wěn)態(tài)解的空間分布曲面。通過計(jì)算將多穩(wěn)態(tài)解的情況繪制在如下的圖形中。

從圖2-7至圖2-10顯示了含參數(shù)的方程式（2-4）的穩(wěn)態(tài)解在操作空間q-qc上的分布情況。通過分析穩(wěn)態(tài)解的曲面，可以深入了解反應(yīng)器的穩(wěn)態(tài)特性。

在實(shí)際生產(chǎn)中，無論是人為操作還是不確定因素，例如氣溫的變化等，都會造成操作條件的變化，這些變化將如何影響系統(tǒng)呢？通過計(jì)算出的曲面可以看到當(dāng)操作變量變化時系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)解在曲面上的相應(yīng)變化過程，這對于設(shè)計(jì)和實(shí)際生產(chǎn)都具有重要意義。對于設(shè)計(jì)來說，可以找到滿足設(shè)計(jì)要求的最大的操作范圍，從而設(shè)計(jì)出更具操作靈活性的方案。對于實(shí)際生產(chǎn)來說，可以確定操作條件的改變是否會影響系統(tǒng)的穩(wěn)定性、是否能滿足生產(chǎn)的要求，從而減小改變操作條件帶來的風(fēng)險(xiǎn)。

2.3.5 結(jié)果討論

描述化工反應(yīng)系統(tǒng)的方程組具有強(qiáng)的非線性，對于非線性系統(tǒng)通常存在多個穩(wěn)態(tài)。這些穩(wěn)態(tài)值對于深入了解反應(yīng)系統(tǒng)的特性具有重要意義。

實(shí)例計(jì)算表明，本文提出的擴(kuò)展的同倫延拓法能有效求出系統(tǒng)在某個參數(shù)變化情況下的多個穩(wěn)態(tài)解的分布情況。在此基礎(chǔ)上，可以深入了解反應(yīng)系統(tǒng)在參數(shù)變化過程中具有的多穩(wěn)態(tài)特性，這些特性可為反應(yīng)過程的操作和設(shè)計(jì)改造提供依據(jù)。