1.5 ADAMS動力學分析

1.5.1 ADAMS動力學方程

ADAMS中用剛體 B 的質心笛卡兒坐標和反映剛體方位的歐拉角作為廣義坐標，即q=[x, y, z, ψ, θ, φ]T，令R=[x, y, z]T、γ=[ψ, θ, ?]T、q=[RT,γT]T。

構件質心參考坐標系與地面坐標系間的坐標變換矩陣為：

定義一個歐拉轉軸坐標系，該坐標系的3個單位矢量分別為上面3個歐拉轉動的軸，因而3個軸并不相互垂直。該坐標系到構件質心坐標系的坐標變換矩陣為：

構件的角速度表達為：

ADAMS中引入變量ωe為角速度在歐拉轉軸坐標系分量：

考慮約束方程則系統的動力學方程，ADAMS利用帶拉格朗日乘子的拉格朗日第一類方程的能量形式得到如下方程：

T為系統廣義坐標表達的動能，qj為廣義坐標，Qj為在廣義坐標qj方向的廣義力，最后一項涉及約束方程和拉格朗日乘子，表達了在廣義坐標qj方向的約束反力。

ADAMS中近一步引入廣義動量：

簡化表達約束反力為：

這樣方程就簡化為：

動能近一步表達為：

其中，M為構件的質量陣，J為構件在質心坐標系下的慣量陣。

將式（1-41）分別表達為移動方向與轉動方向：

其中，

式（1-43）簡化為：

M=QR-CR

Pγ==BTJB

B中包含歐拉角，為了簡化推導，ADAMS中并沒有進一步推導，而是將其作為一個變量求解。

這樣ADAMS中每個構件就具有了如下15個變量（而非12個）和15個方程（而非12個）。

集成約束方程ADAMS可自動建立系統的動力學方程——微分-代數方程：

其中，P為系統的廣義動量，H為外力的坐標轉換矩陣。

為了更好地說明ADAMS的建模過程，下面以一個單擺為例進行建模推導。

假設單擺的質量為M、慣量為I，桿長為2L，并在O點以轉動副與大地相連接約束在大地的OXY平面內。在單擺質心處建立單擺的跟隨坐標系——局部構件參考坐標系Op-Xp-Yp，其坐標在地面坐標系OXY中為（x, y），單擺的姿態角為θ。

系統的動能表達式：T=(M+M+I)

廣義動量表達式：

外力表達式：HTF=

約束方程：

約束方程的雅克比矩陣：Φq=

約束對應的拉格朗日乘子：λ=

力、力矩平衡方程：

動量矩表達式：P=?Pθ=Iωθ

運動學關系方程：u=?

其方程集成表達為：

其中，系統需求解變量為：

1.5.2 初始條件分析

在進行動力學、靜力學分析之前，ADAMS會自動進行初始條件分析，以便在初始系統模型中各物體的坐標與各種運動學約束之間達成協調，保證系統滿足所有的約束條件。

初始條件分析通過求解相應的位置、速度、加速度目標函數的最小值得到。

（1）對初始位置分析，需滿足約束最小化問題。

Minimize: C=(q-q0)T W(q-q0)

Subject to: Φ(q)=0

q 為構件廣義坐標，W 為權重矩陣，q0為用戶輸入的值，若用戶輸入的值為精確值，則相應權重較大，并在迭代中變化較小。利用拉格朗日乘子將上述約束最小化問題變為如下極值問題：

L取最小值，則由得：

因約束函數中存在廣義坐標，故該方程為非線性方程，須用Newton-Raphson迭代求解。迭代方程如下：

（2）對初始速度分析，需滿足約束最小化問題。

Minimize: C=

Subject to：

其中，為用戶設定的準確的或近似的初始速度值，或者為程序設定的默認速度值；W為對應的加權系數。

再利用拉格朗日乘子將上述約束最小化問題變為如下極值問題：

L取最小值，得：

該方程為線性方程組，可求解如下方程：

（3）對初始加速度、初始拉氏乘子的分析可直接由系統動力學方程和系統約束方程的兩階導數確定。

1.5.3 ADAMS動力學方程的求解

對于微分-代數方程的求解，ADAMS采用兩種方式求解：第一種為對DAE方程的直接求解；第二種為DAE方程利用約束方程將廣義坐標分解為獨立坐標和非獨立坐標，然后化簡為ODE方程求解。DAE方程的直接求解將二階微分方程降階為一階微分方程，通過引入u=將所有拉格朗日方程均寫成一階微分形式，該方程為I3微分代數方程。

（1）I3積分格式

運用一階向后差分公式，上述方程組對(u q λ)求導可得Jacobian矩陣，然后利用Newton-Rapson求解。當積分步長h減小并趨近于0時，上述Jacobian矩陣呈現病態。為了有效地監測速度積分的誤差，可采用降階積分方法（Index reduction methods）。通常來說，微分方程的階數越少，其數值求解穩定性越好。

ADAMS還采用兩種方法來降階求解，即SI2（Stabilized-Index Two）和SI1（Stabilized-Index One）方法。

（2）SI2積分格式

上式能同時滿足Φ和求解不違約且當步長h趨近于0時Jacobian矩陣不會呈現病態現象。

（3）SI1積分格式

上式中，為了對方程組降階，引入和來替代拉格朗日乘子，即=λ,=μ。這種變化有效地將上述方程組的階數降為1。因為只需要微分速度約束方程一次來顯式地計算表達式和。

運用SI1積分器能夠方便地監測q、u、η和ζ 的積分誤差，系統的加速度也趨向于更加精確。在處理有明顯的摩擦接觸問題時，SI1積分器十分敏感并具有挑剔性。