第二版說明

《初等數論》出版已經10年了。根據教學實踐，經考慮再版仍保持原書的定位、體系與風格，對第一版內容除在文字敘述、解釋上略作改進潤色，改正了若干疏誤外，還稍作調整與補充。它們主要是：

（一）在第一章，把原來4中最大公約數與最小公倍數的定義及和帶余數除法無關的性質（即4的第一部分）移至2；把原5“輾轉相除法”全部合并到3；原6，7與8分別改為5，6與7；增加了8“容斥原理與π（x）的計算公式”。當然，習題也作了相應調整。

此外，為了加深對整數、整除及整除理論的概念、方法的理解與掌握，相應地在附錄二中增加了（i）有關一元有理系數多項式集合Q［x］與一元整系數多項式集合Z［x］的整除理論的習題（第9～19題）；（ii）有關代數數、代數整數的概念與性質以及Gauss整數Z［］的整除理論的習題（第20～30題）。這些對需要進一步學習數論知識的讀者是有幫助的。

（二）在第二章2中，稍為仔細地討論了單位圓周上的有理點。

（三）第三章，在2中引進了整數與整數集合的“和”及“積”的概念和符號，以及用此來證明同余類與剩余系的性質；在3的最后極簡單地描述了所謂“公開密鑰密碼系統”。

（四）在第四章，增加了9“多元同余方程、Chevalley定理”。

（五）第五章習題一增加了第33題，第九章習題二增加了第29，30題，它們分別給出了命題：“首項為1的算術數列中有無窮多個素數”的兩個不同證明。

（六）第九章2中Mobius反轉公式的講述和證明作了改變。雖然這較簡潔，但原來的有其優點。

（七）在附錄四，補充了本書第一版以后各屆國際數學奧林匹克競賽中與數論有關的題。至今共43屆，82道題。

（八）改進了一些習題的提示與解答，附錄中增加的題都沒有給出提示。現正文中共有797道題，附錄中共有131道題。

（九）增加了名詞索引。

保持本書的原樣并作以上改動的依據是考慮了：10年來采用本書作為教材的教師們所提出的寶貴意見；學生們在學習中提出的問題、進行的討論和給出的漂亮的習題解答；本書責任編輯劉勇副編審的寶貴意見；10年來，我們對自己為不同的對象（包括中學生、中學教師、大學生以及研究生），按本書內容的不同組合，以不同的方式來進行教學所作的不斷總結，仔細尋找教材的不足并加以改進。在這里我謹向以上所有的同志表示衷心感謝！

好像沒有一門學科像“初等數論”那樣，它最基本的內容可以同時作為中小學師生、大學生以及研究生的一門課程，當然在內容的深淺難易上各有不同。這是一門有其自身特點、不可缺少的基礎課。我們深深感到應該也期望有適合不同對象的初等數論教材出現，而這正是我國目前所缺少的。當然，教材必需遵循初等數論的基本理論體系，既不能“把它看做一些互不相關的有趣的智力競賽題”的匯集，也不能認為它“只是一些簡單的例子，僅把它作為學習代數的預備知識”（見第一版序）。因為，數學是人類文化最重要的組成部分之一，它是日益顯示其重要性的一種科學的語言，一種科學的思維方式和強有力的科學工具，而初等數論的思想、概念、方法和理論則是數學思維鏈中不可或缺的重要一環。盡管近代數論可以包容它，但不能代替它。而且，事實證明：不學好初等數論大概是什么數論也學不好的。

正如第一版序中所說，承洞和我“深知要寫好一本初等數論的教材絕非易事”，現在再版修訂只能由我一人來承擔，錯漏不當之處更為難免，切望讀者多多指正。

潘承彪2002年中秋