第三版說明

自本書第二版出版以來，又是一個十年過去了，這是我較輕松的十年，一些早就不該過問的事我不再參與了。

十年間與本書有關的事是：在我大學畢業后就工作至退休的北京農業機械化學院（即現在的中國農業大學）的應用數學系，很高興地為四屆學生講了初等數論課；繼續為參加國內外中學高年級數學競賽的學生進行輔導，這種輔導是對初等數論與競賽有關的內容，結合問題作較系統嚴格的理論、方法與技巧上的講述；我注意到了不少讀者在網上對本書的關心，他們提出了許多十分有益的意見、建議和批評，對此我深表感謝。

自寫本書以來，我們一直在思考的一個問題是，在原有的框架和內容下，如何使本書讓教初等數論的老師更好用，學初等數論的讀者更易學，特別是自學。雖在第二版中有所改進，但我自己總覺得本書在這方面還有不少不足之處。所以，這十年間在做以上工作時就特別注意考慮這一問題。

大約兩年前，本書責任編輯劉勇同志建議再版本書時，我談了修改的想法，得到了他的贊同和支持。

在本版中，除了附錄四之外，本書內容整體上沒有增加或減少。在附錄四中補充了這十年國際數學奧林匹克競賽中與數論有關的試題24道題（至今共有104道題），以及增加了典型試題（共40道題）的解法舉例一節。在這一節中由淺入深地按照所用的初等數論的思想、概念、結論、方法和技巧，對這些題分類給出我自己的解法，盡可能講清楚我是如何分析問題，探索、確定該題是否與初等數論有關及與哪一部分有關，以及解題所需要用到的初等數論方法和知識。這是我近三十年間參與中學高年級數學競賽輔導的經驗心得。我認為做競賽題能激發學習數學的興趣，但不能為競賽而競賽，為解題而解題，它必須與系統學習數學知識相結合，逐步了解數學，喜愛數學。

本版所作的主要改變是對本書的結構、編排和一些內容的講述作了改進：把討論同一問題的內容加以合并；對原來的“節”盡可能劃分成若干“小節”，以突出每節內容中的重點，使得各個重點內容及它們之間的聯系更加清晰；盡可能地對主要的基本思想、理論、方法、定理的重要意義和內涵及它們之間的關系加以清楚闡述。我想這些改進，對教與學都應該是有幫助的。具體的改變有以下幾個方面：

（1）把原來第一章的8“容斥原理與π（x）的計算公式”和第八章的1“Eratosthenes篩法”合并為第八章的1“Eratosthenes篩法與π（N）”（第一版就是這樣按排的），并分為四小節，因為原來的兩節討論的是同一個問題。

（2）第一章的4“最大公約數理論”，它是講述建立最大公約數理論的三個途徑，原來放在一起討論顯得有點雜亂。現在先把最大公約數理論的八個定理一起放在4的一開始，然后分成三小節講證明的三個途徑，并說明它們之間的聯系與區別。

（3）把第一章原來的5和6合并為5并分成兩小節，因為原來的兩節討論的是同一個問題“算術基本定理”。新的6是“整除理論小結”，這沒有增加新內容，而是把原來闡述整除理論的重要性和關系的內容放在一起，說得更清楚一些。

（4）在第四章3的3.2小節“孫子定理與同余類、剩余系的關系”中，穾出講述了這一重要關系。

（5）把習題都放在每節之后，并按需要把有的節的習題相應地按小節分為若干部分。

本書的定義、定理（包括引理、推論）和公式均仍按每節編號。

本書的內容當然遠遠超出了一學期的授課學時，我建議一學期的授課可以學習以下初等數論的基本內容：第一章（5.2小節可不講，同時接下來可以選學第七章的1和2，第八章的1.1～1.3小節），第二章，第三章，第四章的1～6，第五章的1和2，第六章的1和2.1小節，第九章的1和2。以上這些內容有的可以讓學生自學（例如第一章的6，第四章的3.2小節）。本書其他內容可供有興趣的學生自己選學，這對進一步了解這一學科是有益的。在第一、二版中，一些較難的內容加了“*”號，在本版中“*”號均取消了，由讀者自行確定。

我對劉勇及曾琬婷同志對本版內容的編排、表述所作的許多精心修改，以及提出的不少有益建議，特別是劉勇同志長期以來對本書出版的支持和關心，表示衷心感謝！我也希望讀者對本版多多提出意見、建議和批評，讓我們共同努力使本書更好地適合教與學。

潘承彪

2012年9月13日