考點3　比例問題模塊

一、基本比例問題

比例問題是數學運算考查的重點題型。比例問題常作為許多問題（如工程問題、濃度問題、利潤問題）的基礎題型。

比例問題的基本知識：

1.若a∶b=c∶d。那么有：ad=bc；

2.若a∶b=c∶d。那么有

3.若a∶b=c∶d。那么有

若有a∶b=c∶d，則有（a+c）：（b+d）=c：d，（a-c）：（b-d）=c：d。

解題思路：兩個分量的比例為a：b，可設總量為a、b的最小公倍數。三個分量比例為a：b：c，可設總量為a、b、c的最小公倍數。

小試牛刀　1.少年宮學習美術、舞蹈和唱歌專業的學生共有90人，美術和舞蹈專業的學生比例為2∶3，舞蹈和唱歌專業的學生比例為3∶4。則學生人數最多的專業有（　）人。

A.25　B.30　C.35　D.40

【解析】D 比例問題。根據題干可知美術∶舞蹈∶唱歌=2∶3∶4，共9份，共有90人，則知每份為10人，可知唱歌最多為40人。故選D。

2.今年某高校數學系畢業學生為60名，其中70%是男生，男生中有選擇繼續攻讀碩士學位，女生選擇攻讀碩士學位的人數比例是男生選擇攻讀碩士學位人數比例的一半，那么該系選擇攻讀碩士學位的畢業生共有（　）。

A.15位　B.19位　C.17位　D.21位

【解析】C 比例問題。男生人數是60×70%=42，男生中攻讀碩士的有人。女生人數60-42 =18人，女生中攻讀碩士的有人。所以一共有17人攻讀碩士學位。故選C。

二、濃度問題

濃度問題是考查溶液、溶質、溶劑之間變化關系的問題。濃度問題通常涉及溶液的配比、稀釋和濃縮等變化。濃度問題最常用的計算方法就是十字交叉法。

基本核心公式：濃度

濃度問題中的十字交叉法公式

解題思路：抓住不變量列式計算。

小試牛刀　1.有含糖率15%的糖水200克，要使糖水含糖率達到30%，則需要蒸發掉水（　）克。

A.30　B.50　C.80　D.100

【解析】D 考查溶液的蒸發問題。蒸發問題中的不變量是溶質的質量。結合本題來看：原溶液中溶質糖的質量=200×15%=30克。連續蒸發，溶質糖的質量始終保持不變，溶劑水在不斷減少，當含糖量為30%時，此時溶液質量=30÷30%=100克，所以蒸發掉的水的質量是200-100=100克。故選D。

2.現有一種殺蟲劑，由甲、乙兩種不同濃度的溶液配置而成。若從甲中取2100克，乙中取700克，則混合而成的殺蟲劑的濃度為3%;若從甲中取900克，乙中取2700克，則混合而成的殺蟲劑的濃度為5%。則甲、乙兩種溶液的濃度分別為（　）。

A.3%，6%　B.3%，4%　C.2%，6%　D.4%，6%

【解析】C 濃度問題。根據式子交叉法可知，混合溶液濃度介于甲、乙濃度之間。所以甲、乙溶液濃度必有小于3%的和大于5%的。排除A、B、D。故選C。

三、工程問題

工程問題是數學運算最常見的題型之一。解答工程問題的關鍵是，把全部工程看作整體“1”，再求出一個單位時間的工作量占全部工作量的幾分之幾，也就是工作效率，然后根據工作量、工作效率和工作時間這三個量的關系解題。

工程問題中總量一般為不變量，可以設總量為時間的最小公倍數，進而求出效率。

基本公式：工作總量=工作效率×工作時間。

解題思路：將工作總量化為一個適當的整數。必要的時候結合使用方程法。

小試牛刀　1.一項工程，甲、乙合作12天完成，乙、丙合作9天完成，丙、丁合作12天完成。如果甲、丁合作，則完成這項工程需要的天數是（　）。

A.16　B.18　C.24　D.26

【解析】B 工程問題。設工程總量為“1”，以甲、乙、丙、丁分別表示相應的工作效率，則：甲+乙，乙+丙，丙+丁，可知：甲+丁=（甲+乙）+（丙+丁）-（乙+丙）=。因此甲、丁合作完成這項工程需要的天數為18。

2.修一條水渠，單獨修，甲隊需要20天完成，乙隊需要30天完成。如果兩隊合作，由于彼此施工有影響，他們的工作效率就要降低，甲隊的工作效率是原來的乙隊工作效率只有原來的現在計劃16天修完這條水渠，且要求兩隊合作的天數盡可能少，那么兩隊要合作（　）天？

A.6　B.8　C.10　D.12

【解析】C 工程問題。可設總工作量為60。則甲的效率為3，乙的效率為2。甲乙二人合作的效率為3× 0.8+2×0.9=4.2。現在要求16天完成，則需要合作x天，甲單獨做y天，根據題意可列方程：x+y=16，4.2x +3y=60；解得x=10。故選C。